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Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Systèmes d"équations linéaires

Méthode des tableaux

A. Claeys

GEA - IUT A - Lille 1

Septembre 2012

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Plan

1Systèmes de deux équations à deux inconnues.

Présentation du problème.

Pivot de Gauss - écriture des équations.

Pivot de Gauss - écriture des tableaux

Méthode du rectangle.

Exemple.

2Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Définition.

Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

3Cas des systèmes 33.Présentation du problème.

Méthode des tableaux sur un exemple.

Déterminant d"un système 33.Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Plan

1Systèmes de deux équations à deux inconnues.

Présentation du problème.

Pivot de Gauss - écriture des équations.

Pivot de Gauss - écriture des tableaux

Méthode du rectangle.

Exemple.

2Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Définition.

Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

3Cas des systèmes 33.Présentation du problème.

Méthode des tableaux sur un exemple.

Déterminant d"un système 33.Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.De quoi s"agit-il ?

Deux équations linéaires simultanées

ax+by=c a

0x+b0y=c0:a,b,ceta0,b0,c0réels donnés.xetyinconnues.But :

résoudre méthodiquement.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.De quoi s"agit-il ?

Deux équations linéaires simultanées

ax+by=c a

0x+b0y=c0:a,b,ceta0,b0,c0réels donnés.xetyinconnues.But :

résoudre méthodiquement.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.De quoi s"agit-il ?

Deux équations linéaires simultanées

ax+by=c a

0x+b0y=c0:a,b,ceta0,b0,c0réels donnés.xetyinconnues.But :

résoudre méthodiquement.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.De quoi s"agit-il ?

Deux équations linéaires simultanées

ax+by=c a

0x+b0y=c0:a,b,ceta0,b0,c0réels donnés.xetyinconnues.But :

résoudre méthodiquement.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.De quoi s"agit-il ?

Deux équations linéaires simultanées

ax+by=c a

0x+b0y=c0:a,b,ceta0,b0,c0réels donnés.xetyinconnues.But :

résoudre méthodiquement.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Exemple.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:Résolution par substitution.

Résolution par combinaisons linéaires.

But : résolution par la méthode des tableaux.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Exemple.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:Résolution par substitution.

Résolution par combinaisons linéaires.

But : résolution par la méthode des tableaux.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Exemple.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:Résolution par substitution.

Résolution par combinaisons linéaires.

But : résolution par la méthode des tableaux.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Exemple.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:Résolution par substitution.

Résolution par combinaisons linéaires.

But : résolution par la méthode des tableaux.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Plan

1Systèmes de deux équations à deux inconnues.

Présentation du problème.

Pivot de Gauss - écriture des équations.

Pivot de Gauss - écriture des tableaux

Méthode du rectangle.

Exemple.

2Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Définition.

Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

3Cas des systèmes 33.Présentation du problème.

Méthode des tableaux sur un exemple.

Déterminant d"un système 33.Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 1 : pivot - normalisation.

(S)8 :2x+4y=14L 1

5x+7y=20L2:Choix du pivot (coefficient non nul enxou eny) :2.

Normalisation :L1=27!L1.Report de la deuxième ligne :L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 1 : pivot - normalisation.

(S)8 :2x+4y=14L 1

5x+7y=20L2:Choix du pivot (coefficient non nul enxou eny) :2.

Normalisation :L1=27!L1.Report de la deuxième ligne :L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 1 : pivot - normalisation.

(S)8 :2x+4y=14L 1

5x+7y=20L2:(S1)8

:x2+2y2=72L

1=2!L1Choix du pivot (coefficient non nul enxou eny) :2.

Normalisation :L1=27!L1.Report de la deuxième ligne :L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 1 : pivot - normalisation.

(S)8 :2x+4y=14L 1

5x+7y=20L2:(S1)8

:x2+2y2=72L

1=2!L1

5x+7y=20L2:Choix du pivot (coefficient non nul enxou eny) :2.

Normalisation :L1=27!L1.Report de la deuxième ligne :L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 2 : zéro sous le pivot.

(S1)8 >:x+2y=7L

15x+7y=20L

2:(S2)8

:x+2y=7L

10x2y15L

25L1!L2:Report de la première ligne :L1.Elimination dexdans la ligneL2:L25L1!L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 2 : zéro sous le pivot.

(S1)8 >:x+2y=7L

15x+7y=20L

2:(S2)8

:x+2y=7L

10x2y15L

25L1!L2:Report de la première ligne :L1.Elimination dexdans la ligneL2:L25L1!L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 2 : zéro sous le pivot.

(S1)8 >:x+2y=7L

15x+7y=20L

2:(S2)8

:x+2y=7L

10x551-3y752=15205(7)L

25L1!L2:Report de la première ligne :L1.Elimination dexdans la ligneL2:L25L1!L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 3 : pivot - normalisation.

(S2)8 :x+2y=7L

13y=15L

2:(S3)8

>:x+2y=7L 1y5L

2=(3)!L2.Choix du pivot :3.

Report de la première ligneL1.Normalisation :L2=(3)!L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 3 : pivot - normalisation.

(S2)8 :x+2y=7L

13y=15L

2:(S3)8

>:x+2y=7L 1y5L

2=(3)!L2.Choix du pivot :3.

Report de la première ligneL1.Normalisation :L2=(3)!L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 3 : pivot - normalisation.

(S2)8 :x+2y=7L

13y=15L

2:(S3)8

>:x+2y=7L 1y5L

2=(3)!L2.Choix du pivot :3.

Report de la première ligneL1.Normalisation :L2=(3)!L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 3 : pivot - normalisation.

(S2)8 :x+2y=7L

13y=15L

2:(S3)8

>:x+2y=7L

1y(3)=5(3)L

2=(3)!L2:Choix du pivot :3.

Report de la première ligneL1.Normalisation :L2=(3)!L2.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 4 : zéro sur le pivot.

(S3)8 >:x+2y=7L 1y=5L

2:(S4)8

:x+0y=3L

12L2!L1y=5L

2:Report de la deuxième ligne :L2.Elimination deydans la ligneL1:L12L2!L1.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 4 : zéro sur le pivot.

(S3)8 >:x+2y=7L 1y=5L

2:(S4)8

:x+0y=3L

12L2!L1y=5L

2:Report de la deuxième ligne :L2.Elimination deydans la ligneL1:L12L2!L1.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 4 : zéro sur le pivot.

(S3)8 >:x+2y=7L 1y=5L

2:(S4)8

:x120+0y221=372(5)L

12L2!L1y=5L

2:Report de la deuxième ligne :L2.Elimination deydans la ligneL1:L12L2!L1.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Lecture de la solution.

(S4)8 :x=3L 1y=5L

2:Le système possède une unique solution.

S=f(3;5)g.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Lecture de la solution.

(S4)8 :x=3L 1y=5L

2:Le système possède une unique solution.

S=f(3;5)g.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Lecture de la solution.

(S4)8 :x=3L 1y=5L

2:Le système possède une unique solution.

S=f(3;5)g.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Plan

1Systèmes de deux équations à deux inconnues.

Présentation du problème.

Pivot de Gauss - écriture des équations.

Pivot de Gauss - écriture des tableaux

Méthode du rectangle.

Exemple.

2Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Définition.

Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

3Cas des systèmes 33.Présentation du problème.

Méthode des tableaux sur un exemple.

Déterminant d"un système 33.Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Ecriture du premier tableau.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau21111

1111

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Ecriture du premier tableau.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau21111

1111

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Ecriture du premier tableau.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau21111

1111

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Ecriture du premier tableau.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau21111

1111

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Ecriture du premier tableau.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau21111

1111

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Ecriture du premier tableau.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau21111

1111

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Ecriture du premier tableau.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau21111

1111

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 1 : pivot - normalisation.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau2127L

1=2!L15720L

2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 1 : pivot - normalisation.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau2127L

1=2!L15720L

2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 1 : pivot - normalisation.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau2122272L

1=2!L15720L

2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 1 : pivot - normalisation.

(S)2x+4y=14L1

5x+7y=20L2:xytableau12414L

15720L

2(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau2122272L

1=2!L15720L

2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 2 : zéro sous le pivot.

(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau2127L

1=2!L15720L

2(S2)x+2y=7

0x3y=15:xytableau3127L

10315L

25L1!L2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 2 : zéro sous le pivot.

(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau2127L

1=2!L15720L

2(S2)x+2y=7

0x3y=15:xytableau3127L

10315L

25L1!L2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 2 : zéro sous le pivot.

(S1)x+2y=7

5x+7y=20:xytableau2127L

1=2!L15720L

2(S2)x+2y=7

0x3y=15:xytableau3127L

10551375215205(7)L

25L1!L2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 3 : pivot - normalisation.

(S2)x+2y=7

3y=15:xytableau3127L

10315L

25L1!L2(S3)x+2y=7

y=5:xytableau4127L 1015L

2=(3)!L2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 3 : pivot - normalisation.

(S2)x+2y=7

3y=15:xytableau3127L

10315L

25L1!L2(S3)x+2y=7

y=5:xytableau4127L 1015L

2=(3)!L2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 3 : pivot - normalisation.

(S2)x+2y=7

3y=15:xytableau3127L

10315L

25L1!L2(S3)x+2y=7

y=5:xytableau4127L

10(3)1(3)5(3)L

2=(3)!L2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 3 : pivot - normalisation.

(S2)x+2y=7

3y=15:xytableau3127L

10315L

25L1!L2(S3)x+2y=7

y=5:xytableau4127L

10(3)1(3)5(3)L

2=(3)!L2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 4 : zéro sur le pivot.

(S3)x+2y=7 y=5:xytableau4127L 1015L

2=(3)!L2(S4)x+0y=3

y=5:xytableau5103L

12L2!L1015L

2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 4 : zéro sur le pivot.

(S3)x+2y=7 y=5:xytableau4127L 1015L

2=(3)!L2(S4)x+0y=3

y=5:xytableau5103L

12L2!L1015L

2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Opération 4 : zéro sur le pivot.

(S3)x+2y=7 y=5:xytableau4127L 1015L

2=(3)!L2(S4)x+0y=3

y=5:xytableau511500221372(5)L

12L2!L1015L

2

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Lecture de la solution.

(S4)x+0y=3 y=5:xytableau5103L

12L2!L1015L

2Le système possède une

unique solution.

S=f(3;5)g:Lecture deL1:x=3.

Lecture deL2:y=5.

S=f(3;5)g.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Lecture de la solution.

(S4)x+0y=3 y=5:xytableau5103L

12L2!L1015L

2Le système possède une

unique solution.

S=f(3;5)g:Lecture deL1:x=3.

Lecture deL2:y=5.

S=f(3;5)g.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Lecture de la solution.

(S4)x+0y=3 y=5:xytableau5103L

12L2!L1015L

2Le système possède une

unique solution.

S=f(3;5)g:Lecture deL1:x=3.

Lecture deL2:y=5.

S=f(3;5)g.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Lecture de la solution.

(S4)x+0y=3 y=5:xytableau5103L

12L2!L1015L

2Le système possède une

unique solution.

S=f(3;5)g:Lecture deL1:x=3.

Lecture deL2:y=5.

S=f(3;5)g.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Plan

1Systèmes de deux équations à deux inconnues.

Présentation du problème.

Pivot de Gauss - écriture des équations.

Pivot de Gauss - écriture des tableaux

Méthode du rectangle.

Exemple.

2Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Définition.

Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

3Cas des systèmes 33.Présentation du problème.

Méthode des tableaux sur un exemple.

Déterminant d"un système 33.Unicité de la solution.

Formules de Cramer.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.Cas d"unicité de la solution d"un système 22.Cas des systèmes 33.Passage du premier au troisième tableau.

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