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![[PDF] Pivot de Gauss Résolution dun système de Cramer](https://pdfprof.com/Listes/18/5707-18Diap-INFO-SUP-Cours-SIM-NUM-4.pdf.pdf.jpg "[PDF] Pivot de Gauss Résolution dun système de Cramer")
Pivot de Gauss
Résolution d'un système de Cramer
Ingénierie numérique et simulations
LYCÉECARNOT(DIJON), 2013 - 2014
Germain Gondor
Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 1 / 57
Sommaire
1Introduction
2Méthode de Gauss
3Approximations
4Technique de stockage et coût
5Application à un problème de treillis
Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 2 / 57
Introduction
Sommaire
1Introduction
Système d'équations linéaires
Méthode directe
Quelques facteurs influents
2Méthode de Gauss
3Approximations
4Technique de stockage et coût
5Application à un problème de treillis
Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 3 / 57 IntroductionSystème d'équations linéaires
Système d'équations linéaires
Dans les domaines du calcul de structure, de la simulation multiphy- sique ou encore en métrologie, il est fréquent d'avoir à résoudre des systèmes d'équations linéaires. Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 4 / 57 IntroductionSystème d'équations linéaires
Système d'équations linéaires
Dans les domaines du calcul de structure, de la simulation multiphy- sique ou encore en métrologie, il est fréquent d'avoir à résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'algorithme de Gauss permet de résoudre ces systèmes. Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 4 / 57 IntroductionSystème d'équations linéaires
Système d'équations linéaires
Dans les domaines du calcul de structure, de la simulation multiphy- sique ou encore en métrologie, il est fréquent d'avoir à résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'algorithme de Gauss permet de résoudre ces systèmes. Soit un système denéquations linéaires, on peut l'écrire sous la forme matricielleA.X=B:
11.x1+a12.x2+···+a1n.xn=b1
21.x1+a22.x2+···+a2n.xn=b2.
n1.x1+an2.x2+···+ann.xn=bn??
11a12···a1n
21a22···a11.
n1an2···ann? Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 4 / 57
IntroductionMéthode directe
Méthode directe
En utilisant la méthode de Gauss, l'objectif est de résoudre ce système enune fois. Ce type de méthode est appelé directeen opposition aux méthodes itérativespour lesquelles on répète des opérations jusqu'à ce que le résultat converge vers une solution. Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 5 / 57
IntroductionMéthode directe
Méthode directe
En utilisant la méthode de Gauss, l'objectif est de résoudre ce système enune fois. Ce type de méthode est appelé directeen opposition aux méthodes itérativespour lesquelles on répète des opérations jusqu'à ce que le résultat converge vers une solution. Les méthodes directes sont encore majoritairement employées dans les codes actuels car elles sont robustes et que l'on est capable de déterminer à l'avance leur coût (nombre d'opération, stockage nécessaire). Cependant, le coût pour la méthode de Gauss augmente fortement pour des systèmes de grande taille. Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 5 / 57
IntroductionQuelques facteurs influents
Quelques facteurs influents
Les systèmes auxquels on va s'intéresser dans la suite sont supposés linéairesetinversibles. Si la dimension de la matrice dim(A) =nest importante le nombre de données à stocker est très élevé (n2). Afin de réduire les ressources mémoire nécessaires, le stockage des données devra être optimisé. De plus, lors du stockage numérique de ces données, chaque nombre est codé sur un nombre fini de bits. Selon le principe de lavirgule flot- tante, des approximations sont donc commises. Or pour les systèmes de grande taille, ou mal conditionné, la méthode de Gauss a tendance à amplifier les erreurs d'arrondi (d'où une instabilité numérique). Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 6 / 57
Méthode de Gauss
Sommaire
1Introduction
2Méthode de Gauss
Principe du pivot
Inversion de matrice
3Approximations
4Technique de stockage et coût
5Application à un problème de treillis
Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 7 / 57
Méthode de GaussPrincipe du pivot
Transvection
Pour appliquer la méthode de Gauss, on procède par opérations élé- mentaires sur les lignesLid'un système d'équations. Or la solution d'un système linéaire ne change pas si : on multiplie tous les termes d'une équation par une constantenon nulle i←λ.Liavecλ?0 on remplace une équation par la somme, membre à membre de cette équationet d'une autre équation du système : i←Li+λ.Lj Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 8 / 57
Méthode de GaussPrincipe du pivot
On construit alors la matrice de transvectionTi,j(λ), de dimensionn, définie par :
λsik=ietl=j
0 sinon
?Ti,j(λ) =C ?1 0 1λ 0 1 ?=In+λ.Ei,j avecIn, la matrice identité de dimensionnetEi,jla matrice constituée de 0 sauf ligneiet colonnejoù elle admet 1 comme coefficient. Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 9 / 57
Méthode de GaussPrincipe du pivot
Triangularisation
L'idée principale de la méthode de Gauss est d'obtenir, par opérations élémentaires, un système triangulaire d'équations, où la ligneLi s'exprime en fonction dei(resp.n-i+1) inconnues dont une seule n'est pas apparue (resp. n'apparaît pas) dans les lignes précédentes (resp. suivantes) : ?11.x1+a?12.x2+···+a?1n.xn=b?1 ?22.x2+···+a?2n.xn=b?2 ?nn.xn=b?n?? ?11a?12···a?1n ?22···a?11 ?nn? Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 10 / 57
Méthode de GaussPrincipe du pivot
Pour triangulariser, il faut éliminer des coefficients sous la diagonale de la matrice. A l'étapei: ?k??i+1,n?,Lk←Lk-ak,i ai,i.Li
On utilise donc des
pivots, les coefficientsai,i. Il apparaît donc un problème mathématiquement siai,i=0 et numéri- quement siai,i?1. Pour éviter ce problème deux solutions existent: méthode du pivot partiel : permutation des lignes ou des colonnes?méthode simple méthode du pivot total : permutation des lignes et des colonnes?méthode plus robuste Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 11 / 57
Méthode de GaussPrincipe du pivot
Remontée
Une fois la matrice triangularisée, si le problème initial est un système de Cramer, on obtient simplement la solution, ligne par ligne : ?i??1,n?xi=1 i,j.(((((((( i-n k=i+1a i,k.xk)))))))) Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 12 / 57
Méthode de GaussInversion de matrice
Inversion de matrice
Balayage
Lorsque la matrice est triangularisée, on utilise une méthode identique à celle de la triangularisation pour diagonaliser la matriceA. Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 13 / 57
Méthode de GaussInversion de matrice
Résolution
Le système d'équation ayant été diagonalisé, le problème de Cramer initial peut alors s'écrire : ??11.x1=b??1 ??22.x2=b??2. ??nn.xn=b??n Informatique pour tous (MPSI-1)SIM-NUM-4 - Pivot de GaussAnnée 2013 - 2014 14 / 57
Méthode de GaussInversion de matrice
Résolution
Le système d'équation ayant été diagonalisé, le problème de Cramer initial peut alors s'écrire : ??11.x1=b??1 ??22.x2=b??2. ??nn.xn=b??n ??110···0
0a??22....
.......0
0...0a??nn?
??1 ??2. ??n?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4
[PDF] Déterminants de Cramer