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Systèmes d"équations linéaire ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques, conséquences théoriques
Gabriel LEPETIT
Mémoire de master 2 MEEF dirigé par GuyCASALEsur une leçon présentée en collaboration avec AntoineDIEZ.Table des matières
1 Théorie générale des systèmes linéaires 2
1.1 Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Cas général : le théorème de Rouché-Fontené . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.3 Le cas des systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 Sur les opérations élémentaires 7
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72.2 L"algorithme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82.3 Interprétation en termes d"actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92.4 Sur un anneau euclidien : l"algorithme des facteurs invariants . . . . . . . . . .
123 Résolution effective des systèmes linéaires 14
3.1 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143.2 Méthodes itératives de résolution d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . .
153.3 Méthodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173.3.1 Méthode de gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183.3.2 Méthode de gradient à pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 La résolution de systèmes linéaires sur un corps est un problème de base, aussi bien enalgèbre qu"en analyse. En effet, la résolution numérique d"un problème d"équations aux dé-
rivées partielles passe souvent par une discrétisation nécessitant la résolution d"un système
linéaire. En outre, le calcul de la transformée de Fourier rapide, central en traitement numé-
rique du signal, fait appel à cette notion. L"étude de systèmes linéaires sur un anneau dans
le cadre de la théorie des modules donne lieu à de riches développements en arithmétique.
La recherche de méthodes efficaces pour résoudre ce genre de systèmes est cruciale car les systèmes apparaissant dans la pratique sont souvent de très grande taille. notamment le théorème de Rouché-Fontené qui donne des conditions d"existence des solu-tions, puis on développera une méthode algorithmique de résolution par opérations élémen-
taires, le pivot de Gauss, qu"on interprétera en termes d"actions de groupe sur l"espace desmatrices. Enfin, la troisième partie sera l"occasion de s"intéresser à des méthodes directes ou
itératives efficaces de résolution. 11 Théorie générale des systèmes linéaires
On se donne un corpsKetA2 Mm,n(K),b2 Mm,1(K). On cherche à étudier le système linéaireAx=b. On se demande d"abord s"il admet des solutions, quelle est la structure de l"espace des solutions, s"il est possible de calculer ces solutions explicitement. La recherche de l"efficacité dans cette démarche fera l"objet des parties suivantes. Définition 1.1Le systèmeAx=best ditcompatibles"il admet au moins une solutionx2 Mm,1(K). Le rangdu système est le rang deA.1.1 Systèmes de Cramer
Définition 1.2On parle desystème de CramerquandAest dansGLn(K). Un système de Cramer admet donc une unique solutionx=A1b. x=0 @x 1... x n1 A où8i2J1,nK,xi=
a11...a1,i1b1a1,i+1...a1,n...............
a n,1an,i1bnan,i+1...an,n detA Démonstration.En notantC1,...,Cnles colonnes deA, on ab=nP i=1x iCi. On noteAkla matrice obtenue en remplaçant lak-ème colonne parb, etBi,kla matriceobtenue en remplaçant lak-ème colonne parCi. Par linéarité du déterminant par rapport à
lak-ème colonne et en utilisant son caractère alterné, on a : det(Ak) =n X i=1xidet(Bi,k) =xkdetBk,k=xkdetALe calcul de la solution demande de l"ordre de(n+1)! opérations. En effet, il faut calculer
n+1 déterminants, chacun se calculant enn! opérations.Exemple1.4.ConsidéronsA=0
@25 2 1 24 3461A etb=0 @7 3 51
A .Alorsonax1=146 75 2
3 24 546
5,x2=146
2 7 2 1 34 3 56 =1,x3=146 25 71 2 3 34 5
=1. 2
1.2 Cas général : le théorème de Rouché-Fontené
renuméroter les équations, on peut supposer que= a11...a1,r......
a r,1...ar,r 6=0 Définition 1.5On appelledéterminants caractéristiquesdu systèmeAx=bles déterminants s= a11...a1,rb1.........
a r,1...ar,rbr a s,1...as,rbs pours2Jr+1,nKThéorème 1.6 (Rouché-Fontené)Le systèmeAx=best compatible si et seulement sis=0pour touts2Jr+1,nK.
Dans ce cas, les solutions forment un espace affine de dimensionnr. Une solutionx est obtenue en donnant àxr+1,...,xndes valeurs arbitraires puis en calculant l"unique solution du système 8 :a11x1++a1,rxr=b1a1,r+1xr+1a1,nxn.........
a r,1x1++ar,rxr=brar,r+1xr+1ar,nxn La preuve présentée est issue de[5], p. 144. Démonstration.NotonsC1,...,Cnles colonnes deA. Commeest un mineur non nul de taillerde(C1...Cr), lesrpremières colonnes deAforment une famille libre, donc une base de ImA. Ainsi, le systèmeAx=best compatible si et seulement si(C1,...Cr,b)est liée, c"està dire de rangr, ce qui équivaut à la nullité de tous les mineurs de tailler+1 de(C1...Crb),
qui ne sont autre que les déterminants caractéristiquess, pours2Jr+1,nK. Sous ces conditions,B= (C1...Cnb)est de rangrdonc ses lignes constituent une famille de rangr. MaisB=0 BBBBB@a
11...a1r...a1nb1............
a r1...arr...arnbr......... a p1...apr...apnbp1 CCCCCAdonc puisque6=0, lesrpremières
lignes sont indépendantes. Lesprdernières lignes sont donc combinaisons linéaires desrpremières, ce qui permet leur élimination du système d"équations linéaires, qui devient
équivalent au système d"équations principalessuivant : 8 :a11x1++a1rxr+a1,r+1xr+1++a1,nxn=b1......
a r,1x1++ar,rxr+ar,r+1xr+1++ar,nxn...=br A nouveau, le fait que6=0 garantit qu"une foisxr+1,...,xnarbitrairement choisis, il existe un unique(x1,...,xr)tel que(x1,...,xn)soit solution deAx=b. En particulier, l"espace des solutions est un espace affine de dimensionnr.3 Exemple 1.7.Soit la matrice réelle de rang 2A=0 @1 21 1 1 0111 1 1 21
A etb=0 @1 1 m1 A ,m2R. Le seul déterminant caractéristique est=
1 2 1 1 0 1 1 1m =2(m+1). Le systèmeadmet donc des solutions si et seulement sim=1 et dans ce cas, il est équivalent à§x1=1+x3+x4
x 2=x4.1.3 Le cas des systèmes homogènes
Proposition 1.8SoitA2 Mm,n(K). SiAest de rangr, alors les solutions deAx=0constituent un espace vectoriel de dimensionnr. Ce résultat de base peut être appliqué par exemple pour prouver le théorème d"Artin, résultat de théorie de Galois. On s"appuie sur la démonstration de[6]. Lemme 1.9 (Dedekind)SoientK,Ldeux corps et('1,...,'n)une famille de morphismes de corps distincts de KdansL. Alors elle est linéairement indépendante surL: si8x2K,nP i=1 i'i(x) =0, on a1==n=0. i=1 i'i(x) =0. Quitte à réordonner les termes de la somme, on peut trouverr2Ntels que1,...,r
sont non nuls etr+1==n=0, et on peut choisir(i)ide sorte que cersoit minimal. i=1 i'i(yx) =rP i=1 i'i(y)'i(x).De plus,'1(y)rP
i=1 i'i(x) =0 donc en soustrayant ces deux équations,8x2K,r
X i=2 i('i(y)'1(x))'i(x) =0 Comme par hypothèser('r(y)'1(y))6=0, on a une combinaison linéaire à coefficients non tous nuls der1 termes de('i)ice qui contredit la minimalité der.Théorème 1.10 Si L est un corps etHest un groupe fini du groupe des automorphismes deL, alors si L H=fx2L:82H,(x) =xg,L=LHest une extension finie,jHj= [L:LH]etHestle groupe desLH-automorphismes deL.Démonstration.On notem= [L:LH](éventuellement égal à1) etn=jHj. On va vérifier
dans un premier temps quem=n.