1 Primitive d’une fonction continue sur un intervalle
4 Algorithme : Encadrement de l’intégrale d’une fonction continue, monotone, positive sur un intervalle, Méthode des rectangles On considère la fonction f définie surR par f(x) = (x+2)e x On note C la courbe représentant f dans un repère orthogonal On admet que f est continue, positive, décroissante sur [0;1]
1 Intégrale d’une fonction continue et positive
Une fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I Si F est l’une d’elles, les autres sont les fonctions x → F(x)+k, ou k est une constante réelle Propriété 4 Exemple 5 Soit f la fonction définie sur Rpar f(x)=x2 −x +3 1 Vérifier que la fonction G définie Rpar G(x)= x3 3 − x2 2 +3x est une primitive de
FONCTION CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE
Si f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I de IR, alors : 1) f est une bijection de I sur f(I) 2) La fonction réciproque f−1 de f est strictement monotone sur f(I) et elle admet le même sens de variation que f 3) Si de plus f est continue sur I alors f−1 est continue sur l’intervalle J=f(I)
Fonctions (I) Continuité, Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème admis: Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en a sans être dérivable en a C'est le cas par exemple, de la fonction x √ x Elle est continue en 0 car lim x→0 √ x = √ 0=0 mais elle n'est pas dérivable en 0
CONTINUITE Aspect global
3) Image d’un segment par une fonction continue (admis) Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes Corollaire : L’image d’un segment par une fonction continue est un segment Si f est continue sur a,b aveca b , on a : f a,b m,M où x a,b m min f x et
Cours sur les limites de fonctions et la continuité
Limite de fonctions et continuité 2 Règles de calcul sur les limites On considère dans ce paragraphe deux fonctions f et gdéfinies sur un même intervalle I Les limites sont prises en 1, +1, ou en un réel aqui, ou bien appartient à I, ou bien est une borne
LIMITE et CONTINUITE - bagbouton
1 LIMITE et CONTINUITE A DEFINITION, PROPRIETES 1) Limite finie et continuité en x0 ∈ℝ Soit f une fonction définie sur Df Définition 1 Soit x0 ∈ℝ On dit qu’une fonction f est définie au voisinage de x0 s’il existe un intervalle I contenant x0 ∈ℝ,
Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE
donc est continue à droite de en 1 1 1 1 1 1 ²1 lim lim lim 1 2 1 x x x1 x x x x f x x f o o ox z donc n’est pas continue à gauche de donc n’est pas continue en On 2dit que est discontinue en x 0 1 Exercice14 :: Soit la fonction ℎ définie par 3 2 1 32 x fx xx 1- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction
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h h f′(a) =h!0f(a+h)f(a) h f a f′(a) f x!0(x) x =x!0(x)(0) x =′(0) =(0) = 1 x!0e x1 x =x!0e xe0 x = (exp)′(0) =exp(0) = 1 x!0ln(x+ 1) x =x!0ln(x+ 1)ln(1) x =1 1 = 1 F 1 2 1
21 2 3 4 51234
C f x 3 1 4 f(x) 0 F @RF R F′(x) =f(x)
8 :F1(x) = 3x4+ 2x35x+ 4
F ′1(x) =f1(x) =12x3+ 6x5
8 >>>:F2(x) =1
(x2+ 5)8 F ′2(x) =f2(x) = 82x(x2+ 5)9 8 >:F
3(x) =(x2+ 4)
F ′3(x) =f3(x) = 2x x 2+ 4 f F f I f F IF f I
8 >>:F1(x) =(x) +x5
f1(x) =x+ 1 x F ′1(x=1 x + 1 =x+ 1 x 8 :F2(x) = (2x1)4
f2(x) = (2x1)3 F ′2(x) = 42(2x1)3 8 >>>:F3(x) =p
2x+ 5 f3(x) =1 p 2x+ 5 F ′3(x) =2 2 p2x+ 5=f3(x)
F1F2 f I
k x2IF2(x) =F1(x) +k2R(F(x) +)′=F′(x) + 0 =f(x) F+ fI
FG fg I
2RF+G f+gI
F fI x2I 2R(F)′(x) =f(x)
ā x2RG′(x) =g(x)
x2R (F+G)′(x) =f(x) +g(x) f+g F+Gf+g F+G F+G f+g f(x) =F(x) =
a2R ax+b R x x 2 2 R x nn2Zn̸=1 x n+1 n+ 1 1 x (x) ]0;;+1[ 1 p x 2 p x ]0;+1[ e x e x R (x) (x) R (x) (x) R f F u ′un 1 n+ 1un+1 n2Zn̸=1 u p u 2 p u u u u (u) u u ′eu e u8>>>>>><
>>>>>:f1(x) = 3x2+ 2x1
F1(x) =
x 3+x2x R 8 >>>>>>:f2(x) =x
x 2+ 1 F2(x) =
1 2 (x2+ 1) R 8 >>>>>>:f3(x) = (3x1)4
F3(x) =
1 3 (3x1)5 5 RFf F(1) = 2f(x) = 3x2+ 3x4 R
F(x) =x3+ 3x2
24x+KF(1) = 2)K=7
2 f(x) ∆x 1 234511234
C x=a x=b f(a)∆x+f(a+ ∆x)∆x+f(b∆x)∆x ∑f(x)∆x ∆x x dx b a f(x)x abf(x)dx f [a;b] f[a;b] b a b a f fg 2R ∫ b a (f+g) =∫ b aquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7