1 Primitive d’une fonction continue sur un intervalle
4 Algorithme : Encadrement de l’intégrale d’une fonction continue, monotone, positive sur un intervalle, Méthode des rectangles On considère la fonction f définie surR par f(x) = (x+2)e x On note C la courbe représentant f dans un repère orthogonal On admet que f est continue, positive, décroissante sur [0;1]
1 Intégrale d’une fonction continue et positive
Une fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I Si F est l’une d’elles, les autres sont les fonctions x → F(x)+k, ou k est une constante réelle Propriété 4 Exemple 5 Soit f la fonction définie sur Rpar f(x)=x2 −x +3 1 Vérifier que la fonction G définie Rpar G(x)= x3 3 − x2 2 +3x est une primitive de
FONCTION CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE
Si f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I de IR, alors : 1) f est une bijection de I sur f(I) 2) La fonction réciproque f−1 de f est strictement monotone sur f(I) et elle admet le même sens de variation que f 3) Si de plus f est continue sur I alors f−1 est continue sur l’intervalle J=f(I)
Fonctions (I) Continuité, Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème admis: Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en a sans être dérivable en a C'est le cas par exemple, de la fonction x √ x Elle est continue en 0 car lim x→0 √ x = √ 0=0 mais elle n'est pas dérivable en 0
CONTINUITE Aspect global
3) Image d’un segment par une fonction continue (admis) Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes Corollaire : L’image d’un segment par une fonction continue est un segment Si f est continue sur a,b aveca b , on a : f a,b m,M où x a,b m min f x et
Cours sur les limites de fonctions et la continuité
Limite de fonctions et continuité 2 Règles de calcul sur les limites On considère dans ce paragraphe deux fonctions f et gdéfinies sur un même intervalle I Les limites sont prises en 1, +1, ou en un réel aqui, ou bien appartient à I, ou bien est une borne
LIMITE et CONTINUITE - bagbouton
1 LIMITE et CONTINUITE A DEFINITION, PROPRIETES 1) Limite finie et continuité en x0 ∈ℝ Soit f une fonction définie sur Df Définition 1 Soit x0 ∈ℝ On dit qu’une fonction f est définie au voisinage de x0 s’il existe un intervalle I contenant x0 ∈ℝ,
Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE
donc est continue à droite de en 1 1 1 1 1 1 ²1 lim lim lim 1 2 1 x x x1 x x x x f x x f o o ox z donc n’est pas continue à gauche de donc n’est pas continue en On 2dit que est discontinue en x 0 1 Exercice14 :: Soit la fonction ℎ définie par 3 2 1 32 x fx xx 1- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction
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Limite de fonctions et continuité
Cours sur les limites de fonctions et la
continuitéM. HARCHYTS2-Lycée Agora-2015/2016
1 Limite d"une fonction
1.1 Limite à l"infini
1.1.1 Limite finie d"une fonction à l"infini
Définition 1
Soitfune fonction définie surRou sur un intervalle de la forme [a; +1[. Soit`un réel. On dit quefadmet pour limite`au voisinage de+1, ou encore queftend vers`au voisinage de+1, si tout intervalle ouvert contenant`contient tous les réelsf(x) pourxassez grand. Autrement dit, pour tout intervalle ouvertIcontenant`, il existe un réelBtel quef(x)2Isi x > B.Intuitivement:
On peut rendref(x) aussi proche de`que l"on veut à condition de prendrexassez grand. On dit aussi "fa pour limite (ou tend vers)`en +1» ou "f(x) tend vers`quandxtend vers +1».On note : lim
+1f=`ou limx!+1f(x) =`ouf(x)!x!+1`.Remarque :
Tout intervalle ouvert contenant`contient un intervalle de la forme ]`";`+"[.On peut donc se limiter à utiliser la propriété de la définition avec les intervalles de cette forme :
une fonctionfadmet une pour limite`en +1si pour tout réel" >0, il existe un réelBtel que pour toutx > B,jf(x)`j< "(c"est-à-diref(x)2]`";`+"[).Définition 2
Soitfune fonction définie surRou sur un intervalle de la forme ]1;b]. Soit`un réel. On dit quefadmet pour limite`au voisinage de1si tout intervalle ouvert contenant`contient tous les réelsf(x) pourxnégatif assez grand en valeur absolue. Autrement dit, pour tout intervalle ouvertIcontenant`, il existe un réelBtel quef(x)2Isi x < B.Exemples :
1. La f onctionconstan tedéfinie par f(x) =cpour tout réelxtend verscen1et en +1. 2. lim x!+11x = 0 et limx!11x = 0. 3. Pl usg énéralement,pour tout en tierp1, limx!+11x p= 0 et limx!11x p= 0.Page 1 sur 12
Limite de fonctions et continuité
4. lim x!+11px = 0.Définition 3 : Asymptote horizontale
Si lim
x!+1f(x) =`(resp. limx!1f(x) =`), la droite d"équationy=`est appeléeasymptote horizon- tale àCfau voisinage de +1(resp.1). Cela traduit le fait que les points de la courbeCfse rapprochent indéfiniment de la droitedd"équationy=`(c"est-à-dire leur ordonnée se rapproche indéfiniment de`) lorsque leur abscisse
tend vers l"infini. Pour étudier laposition relativedeCfet ded, c"est-à-dire la position deCfpar rapport àd, il faut étudier le signe de la différencef(x)`.Exercice 1
Soitfla fonction définie sur ]1; 0[[]0 ; +1[ parf(x) = 2+1x Étudier les asymptotes à la courbe représentant cette fonction.1.1.2 Limite infinie d"une fonction à l"infini
Définition 4
Soitfune fonction définie surRou sur un intervalle de la forme [a; +1[. On dit queftend vers+1au voisinage de+1, si tout intervalle ouvert de la forme ]A; +1[ contient tous les réelsf(x) pourxassez grand. Autrement dit : pour tout réelA, il existe un réelBtel quef(x)> Asix > B.Intuitivement:
on peut rendref(x) aussi grand que l"on veut à condition de prendrexassez grand.On dit queftend vers+1en1, si...
On dit queftend vers1en+1, si...
On dit queftend vers1en1, si...
Exemples
1. lim x!+1x2= +1et limx!1x2= +1. 2. lim x!+1x3= +1et limx!1x3=1. 3.Pl usg énéralement,pour tout en tierp1 :
lim x!+1xp= +1limx!1xp=(+1sipest pair1sipest impair
4. lim x!+1px= +1.Page 2 sur 12
Limite de fonctions et continuité
Définition 5 : Asymptote oblique
S"il existe un couple (a;b) de réels tels quea,0 et limx!+1(f(x)(ax+b))= 0 , la droite d"équation
y=ax+best appeléeasymptote oblique àCfau voisinage de +1(définition analogue en1). Cela traduit le fait que les points de la courbeCfse rapprochent indéfiniment de la droited d"équationy=ax+blorsque leur abscisse tend vers l"infini. Pour étudier laposition relativedeCfet ded, c"est-à-dire la position deCfpar rapport àd, il faut étudier le signe de la différencef(x)(ax+b).Exemple :
Soitfla fonction définie
sur ] 1; 0[[]0 ; +1[ par f(x) =12 x+1+1x .O~ i~ j1.2 Limite infinie d"une fonction en un pointOn considère dans cette partie un réelaqui n"appartient pas àDf, mais qui est une borne deDf.
Définition 6
Soitfune fonction définie sur une partie deRcontenant un intervalle de la forme ]a;c[ (c > a ouc= +1) ou ]c;a[ (c < aouc=1). On dit queftend vers+1au voisinage dea, si l"on peut rendref(x) aussi grand que l"on veut à condition de prendrexsuffisamment proche dea.Exemple :
lim x!01x2= +1.O~
i~ jDéfinition 7 : Limite à droite Soitfune fonction définie sur une partie deRcontenant un intervalle de la forme ]a;c[ (c > aou c= +1). On dit queftend vers+1quandxtend versapar valeurs supérieures (ou à droite), si l"on peut rendref(x) aussi grand que l"on veut à condition de prendrexsupérieur àasuffisamment proche dea.Définition 8 : Limite à gauche
Soitfune fonction définie sur une partie deRcontenant un intervalle de la forme ]c;a[ (c < aou c=1). On dit queftend vers+1quandxtend versapar valeurs inférieures (ou à gauche), si l"on peut rendref(x) aussi grand que l"on veut à condition de prendrexinférieur àasuffisamment proche dea.Page 3 sur 12
Limite de fonctions et continuité
Exemple :
lim x!0x<01x =1et lim x!0x>01x = +1.O~ i~ jExemples 1.P ourtout en tierp1, limx!0x>01x
p= +1et limx!0x<01x p=(+1sipest pair1sipest impair
2. lim x!0x>01px = +1.Définition 9 : Asymptote verticale
Sifa pour limite +1ou1quandxtend versa(éventuellement seulement à droite ou à gauche dea), la droite d"équationx=aest appeléeasymptote verticale àCfena.1.3 Limite finie d"une fonction en un point
Définition 10
Soitfune fonction définie sur un ensembleDf, et soitaun réel qui appartient àDfou est une borne deDf. Soit`un réel. On dit queftend vers`lorsquextend versasi l"on peut rendref(x) aussi proche de`que l"on veut à condition de prendrexsuffisamment proche dea.On admettra le résultat suivant :
Théorème 1
Soitfune fonction définie sur un ensembleDfetaun réel appartenant àDf. Sifadmet une limite ena, alors cette limite estf(a) : lim x!af(x) =f(a):On dit alors que la fonctionfestcontinue ena.On admettra de plus que les fonctions usuelles sont continues en tout point de leur ensemble de
définition.