1 Primitive d’une fonction continue sur un intervalle
4 Algorithme : Encadrement de l’intégrale d’une fonction continue, monotone, positive sur un intervalle, Méthode des rectangles On considère la fonction f définie surR par f(x) = (x+2)e x On note C la courbe représentant f dans un repère orthogonal On admet que f est continue, positive, décroissante sur [0;1]
1 Intégrale d’une fonction continue et positive
Une fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I Si F est l’une d’elles, les autres sont les fonctions x → F(x)+k, ou k est une constante réelle Propriété 4 Exemple 5 Soit f la fonction définie sur Rpar f(x)=x2 −x +3 1 Vérifier que la fonction G définie Rpar G(x)= x3 3 − x2 2 +3x est une primitive de
FONCTION CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE
Si f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I de IR, alors : 1) f est une bijection de I sur f(I) 2) La fonction réciproque f−1 de f est strictement monotone sur f(I) et elle admet le même sens de variation que f 3) Si de plus f est continue sur I alors f−1 est continue sur l’intervalle J=f(I)
Fonctions (I) Continuité, Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème admis: Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en a sans être dérivable en a C'est le cas par exemple, de la fonction x √ x Elle est continue en 0 car lim x→0 √ x = √ 0=0 mais elle n'est pas dérivable en 0
CONTINUITE Aspect global
3) Image d’un segment par une fonction continue (admis) Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes Corollaire : L’image d’un segment par une fonction continue est un segment Si f est continue sur a,b aveca b , on a : f a,b m,M où x a,b m min f x et
Cours sur les limites de fonctions et la continuité
Limite de fonctions et continuité 2 Règles de calcul sur les limites On considère dans ce paragraphe deux fonctions f et gdéfinies sur un même intervalle I Les limites sont prises en 1, +1, ou en un réel aqui, ou bien appartient à I, ou bien est une borne
LIMITE et CONTINUITE - bagbouton
1 LIMITE et CONTINUITE A DEFINITION, PROPRIETES 1) Limite finie et continuité en x0 ∈ℝ Soit f une fonction définie sur Df Définition 1 Soit x0 ∈ℝ On dit qu’une fonction f est définie au voisinage de x0 s’il existe un intervalle I contenant x0 ∈ℝ,
Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE
donc est continue à droite de en 1 1 1 1 1 1 ²1 lim lim lim 1 2 1 x x x1 x x x x f x x f o o ox z donc n’est pas continue à gauche de donc n’est pas continue en On 2dit que est discontinue en x 0 1 Exercice14 :: Soit la fonction ℎ définie par 3 2 1 32 x fx xx 1- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction
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Chapitre 6 : Intégration
T-ES, 2016-2017
1. Intégrale d"une fonction continue et positive
1. 1. Unité d"aire associée à un repère du plan
Définition 1.
Dans une repère orthogonal(O,I,J), on appelleunité d"aire(notéeu.a.) l"aire du rectangleOIKJoùKest le point de coordonnées(1;1). 0xy I J K u.a.1. 2. Intégrale et " aire sous la courbe »
Définition 2.
Soitfune fonction continue et positive sur un intervalle[a;b]et Csa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. L"intégrale deaàbdefest la mesure, en unités d"aire, de l"aire du domaine du plan situé entre l"axe des abscisses, lacourbeCet les droites d"équationsx=aetx=b.
On la note
?b af(x)dx(lire :" intégrale deaàbdefou somme deaàbdef»). 0xy I J KabC1 u.a
Remarque 1.
?Les réelsaetbsont appelés les bornes de l"intégrale? b a f(x)dx. ?Il résulte immédiatement de la définition que? a a f(x)dx= 0(car le domaineDfest alors réduit à un segment).Exemple 1.
Soitf(x) = 2surR. Décrire le domaine coloré par une intégrale, puis donner sa valeur. 123-11 2 3 4 5 6-1 0xy C f u.a
Soitf(x) =-x2+4surR. On donne?6
2f(x)dx= 8, colorier
l"aire correspondant à cette intégrale123 -11 2 3 4 5 6-1 0xy C f u.a Soitf(x) =-0,5x2+ 4x-4,5surR. Décrire le domaine coloré par une intégrale, puis donner un encadrement de la valeur de celle-ci. 1234-11 2 3 4 5 6-1 0xy C f u.a 1/7