13 Quelques techniques de calcul des DL

Limite d’une fonction composée 1 Soit une fonction définie sur et à valeurs dans , et soit une fonction définie sur La composée de

TS Ex sur la limite dune composée de fonctions

donc par limite d’une composée lim x f x * On applique la règle du quotient simplifié des monômes de plus haut degré qui permet de déterminer la limite d’une fonction rationnelle non nulle en + ou en – 4 f : x sin5 x x Déterminons la limite de f en 0

Chapitre 8 : LIMITES dune FONCTION

Chapitre 8 : LIMITES d’une FONCTION 3) Limite d’une fonction composée Fonction composée : rappel Onconsidèredeuxfonctionsf etg Onnote ulafonctioncomposée: (x) = f g ) Rappel: ilfautvériﬁerque,pourtoutx deD g, ona: g(x) ∈D f Exemple: u(x) = s x2 −4x +3 x −2 TS, lycée les eaux claires

Chapitre 3 LIMITES DE FONCTIONS Term

Soit une fonction R définie sur un intervalle tel que ⊂ On appelle fonction composée de Q par R ou composée de fonctions la fonction notée R∘ Q définie sur l’intervalle par ): R∘ Q ( T= R( Q( T)) Limite d’une fonction composée et cpeuvent désigner des nombres réels, + ∞ou − Si on a : {???? ????→ Q( T)=

Limites de fonctions - Lycée dAdultes

5 Limite d’une fonction composée Théorème 1 : Soit deux fonctions f, g Soient a, b et c des réels ou +∞ ou −∞ Si lim x

Cours sur les limites de fonctions et la continuité

1 Limite d’une fonction 1 1 Limite à l’inﬁni 1 1 1 Limite ﬁnie d’une fonction à l’inﬁni Déﬁnition 1 Soit fune fonction déﬁnie sur R ou sur un intervalle de la forme [a; +1[ Soit ‘un réel On dit que fadmet pour limite ‘au voisinage de +1, ou encore que ftend vers ‘au voisinage

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Rappel : Limite d’une fonction composée de deux fonctions Soit une fonction définie sur un intervalle , soit une fonction définie sur un intervalle , telle que La fonction définie sur telle que (ou est la fonction composée ) de la fonction suivie de la fonction

Limites de fonctions et continuité - Lycée dAdultes

4 Limite d’une fonction composée 7 5 Théorèmes des gendarmes et de comparaison 8 6 Continuité 9

13 Quelques techniques de calcul des DL

Soit f une fonction réelle déﬁnie au voisinage de0 et admettant un développement limité d’ordre n donné parf(x)=P n(x)+o(xn) (deg(P n)n) 1 Si f est une fonction paire, alors dans les termes non nuls du polynôme P n,iln’apparaîtquedes puissances paires 2 Si f est une fonction impaire, alors dans les termes non nuls du polynôme

Cahier de texte

4 1 Développement limité d’une combinaison linéaire 4 2 Développement limité d’un produit 4 3 Développement limité d’une fonction composée ‚ Ex 438 (2), 448 ‚ A faire : ex 449 (a) à (d) + finir les exercices d’application du paragraphe 4 3 Mardi 27 avril (confinement) ‚ Cours 18 - Développements limités 1

1.3Quel questechniquesdecalculd esDL

Notation1.21.Soitfunefonc tionréelleadmettantundé veloppementlimitéà l'ordrenenx 0 ?R,de partierégulièreP n

1.On peutu tiliserl'une oul'autredesécrituressuivan tespourexprim erleDLdefàl'ordrenen

x 0 a)f(x)=P n (x)+(x-x 0 n

×ε(x)aveclim

xx0

ε(x)=0

b)f(x)=P n (x)+o((x-x 0 n

2.Si lequot ient

f(x)-Pn(x) (x-x 0 n+1 estborn éauvoisinagedex 0 ,alorsonpeutécrire f(x)=P n (x)+O((x-x 0 n+1 )pourexprim erleDLdefàl'ordrenenx 0 Théorème1.22.("tronca tion")Soientmetndeuxentier snaturelstelsquenPlusprécis ément,siP n etQ n sontdespol ynômesde degréauplusntelsque f(x)=P n (x)+o((x-x 0 n )etg(x)=Q n (x)+o((x-x 0 n ),alorsona (αf+βg)(x)=(αP n +βQ n )(x)+o((x-x 0 n Proposition1.24.(Conséquenceduthéo rèmed'unicitédu DL) Soitfunefonc tionréelledéfinieauvoisi nagede0etad mettantundéveloppementlimitéd' ordren donnéparf(x)=P n (x)+o(x n )(deg(P n )?n).

1.Si festunef onctionpai re,alorsdanslestermesno nnulsdupolynômeP

n ,iln'apparaîtquedes puissancespaires.

2.Si festunef onctionim paire,alorsdanslestermesnon nulsdupolynômeP

n ,iln'apparaîtque despuis sancesimpaires. Note1.25.( DLdefonctionsus uellesàr etenir absolument)Lesform ulesci-dessousconcernen t desdéve loppementslimitésdefonctionusuellesen0.Cesformulessontobtenuesparapplicationdu théorèmedeTaylor-Young enlep ointx 0 =0. 1.e x i=0 i=n 1 i! x i +o(x n )ou,enex plici tantlesigne e x =1+x+ 1 2 x 2 1 n! x n +o(x n 2. 1 1-x i=0 i=n x i +o(x n )=1+x+x 2 ++x n +o(x n 3. 1 1+x i=0 i=n (-1) i x i +o(x n )=1-x+x 2 ++(-1) n x n +o(x n

4.(1+x)

=1+ 1?i?n

α(α-1)(α-i+1)

i! x i +o(x n )formulequis'écri tencore (1+x) =1+αx++

α(α-1)(α-n+1)

n! x n +o(x n

5.ln(1-x)=-

1?i?n 1 i x i +o(x n )ou,enex plici tantlesigne ln(1-x)=-x- 1 2 x 2 1 n x n +o(x n

6.ln(1+x)=

1?i?n (-1) i-1 i x i +o(x n )ou,enexpl icitant lesigne ln(1+x)=x- 1 2 x 2 (-1) n-1 n x n +o(x n

1.3Quel questechniquesdecalculd esDL5

sin(x)= i=0 i=p (-1) i (2i+1)! x 2i+1 +o(x 2p+2 )ou,enex plicit antlesigne sin(x)=x- 1 3! x 3 (-1) p (2p+1)! x 2p+1 +o(x 2p+2 cos(x)= i=0 i=p (-1) i (2i)! x 2i +o(x 2p+1 )ou,enexp licitan tlesigne cos=1- 1 2 x 2 (-1) p (2p)! x 2p +o(x 2p+1 Théorème1.26.(DLd'unpr oduit)Soientfetgdeuxfoncti onsréelles,admettantauvoisinage de x 0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] 13 Quelques techniques de calcul des DL

IV Limite d’une fonction composée

TS Ex sur la limite dune composée de fonctions

Chapitre 8 : LIMITES dune FONCTION

Chapitre 3 LIMITES DE FONCTIONS Term

Limites de fonctions - Lycée dAdultes

Cours sur les limites de fonctions et la continuité

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Limites de fonctions et continuité - Lycée dAdultes

13 Quelques techniques de calcul des DL

Cahier de texte

1.3Quel questechniquesdecalculd esDL

1.On peutu tiliserl'une oul'autredesécrituressuivan tespourexprim erleDLdefàl'ordrenen

×ε(x)aveclim

ε(x)=0

2.Si lequot ient

1.Si festunef onctionpai re,alorsdanslestermesno nnulsdupolynômeP

2.Si festunef onctionim paire,alorsdanslestermesnon nulsdupolynômeP

4.(1+x)

α(α-1)(α-i+1)

α(α-1)(α-n+1)

5.ln(1-x)=-

6.ln(1+x)=

1.3Quel questechniquesdecalculd esDL5