[PDF] Repr´esentation et analyse des syst`emes lin´eaires PC 3

Cours 9 Commandabilité, observabilité, représentations minimales

est commandable en 0 s’il est possible de d´eterminer ???? ????(????)⁄ ???? 0 ???? ???? conduisant tout état initial ???? ???? (???? 0) vers 0 en ???? 0 ≤ ???? 1 ≤ ???? ???? Si cette propriété est vraie ∀ ???? 0 et ∀ ???? = 1,· · · ???? alors le système est complètement commandable

Cours d’Automatique des systèmes Actionnés

1 Forme canonique commandable 2 Forme modale 3 Forme cascade X Commande par retour d’état 1 Principe général 2 Calcul du gain du contrôleur 3 Illustration sur un exemple XI Oservateur et estimateur d’état 1 Principe général 2 Calul du gain de l’oservateur 3 Illustration sur un exemple 4 Couplage contrôleur-observateur

ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS DANS L

1- Forme canonique commandable 2- Forme canonique observable 3- Forme canonique diagonale (modale) 4- Forme canonique de Jordan 10 10 12 13 14 V Résolution des équations d’état 21 VI Transformation entre les modèles d’état 23 VII Diagonalisation des systèmes (découplage) 28 VIII Stabilité dans l’espace d’état 35 CHAPITRE II

Repr´esentation et analyse des syst`emes lin´eaires PC 3

- Forme modale de l’´equation d’´etat : x˙ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −10 0 020 00−2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦x+ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0607 2 4749 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦u y = −1 0 −1 2122 x+u o`u les pˆoles sont donn´es par :-−2 commandable et observable - 2 commandable et non observable-−1 non commandable et observable PC3 - Repr´esentation et

Cours Aut106 - Cnam

3 4 Forme à droite et réalisation canonique commandable 3 4 1 “Forme à droite” ½ y= N(∂) ξ u= D(∂) ξ ξ= “état partiel” ou “pseudo-état” N(∂) et D(∂): polynômes tels que précédemment Sauf cas particulier, ξn’a pas de signification physique Fonction de transfert : à conditions initiales nulles

Polycopié De Travaux Pratiques - univ-skikdadz

Forme canonique diagonale La matrice d‘état est diagonale et les éléments de la diagonale sont les valeurs propres Forme canonique commandable Une ligne de la matrice d‘état correspond aux coefficients du polynôme caractéristique de la fonction de transfert Forme canonique observable

Commande par platitude de systèmes multi-entrées multi

sous une forme canonique commandable en utilisant l’algorithme de Seal-Stuberud (Seal, Stuberud, 1969), (voir annexe A) qui généralise l’algorithme de Luenberger (Luenberger, 1967)

UV Automatique - Département ASI - INSA Rouen

§Un système complètement commandable admet une forme canonique de commandabilité Soit la paire (A, B) commandable Réalisons une transformation linéaire tq A T=T− 1AT et B =T− B [ n T ] A T B T B T A T B T A T B T A T B) = [L]) C = − L =) = −)=))

Table des mati eres - unicefr

Automatique Cours d’Automatique ELEC4 S Icart Table des mati eres I G en eralit es 3 1 Syst emes multivariables 3 2 Quelques rappels sur la transform ee de Laplace 3

DOCTEUR DE L’ECOLE DES MINES DE PARIS´ MATHEMATIQUES ET

lin´eaires commandables, dueˆ `a l’existence de la forme canonique de Brunovsky Cette notion est reli´ee a la lin´earisation par bouclage de la mani`ere suivante: si y est une sortie plate de (1), on peut construire un bouclage lin´earisant et un diff´eomorphisme

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Repr´esentation et analyse

des syst`emes lin´eaires PC 3

Formes canoniques compagnes

Propri´et´es structurelles

Les formes compagnes

2 -Syst`eme mono-variable :

˙x(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t) o`ux?R n ,u?Rety?R -Fonction de transfert :

H(p)=C(p1

n -A) -1 B+D b n p n +···+b 0 p n +a n-1 p n-1 +···+a 0

Polynˆome caract´eristique

PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes compagnes

3

La forme compagne de commande

A c .........0

0··· ···01

-a 0

··· -a

i

··· -a

n-1 c 0 1? C c b 0

···b

i

···b

n-1

Nota :si la paire(A,B)est commandable

PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes compagnes

4

La forme compagne de commande : algorithme

La matrice de passage :

P c =[P 1 P 2

···P

n P n =B P n-1 =(A+a n-1 1 n )B P n-2 =(A 2 +a n-1 A+a n-2 1 n )B=AP n-1 +a n-2 B P n-3 =(A 3 +a n-1 A 2 +a n-2 A+a n-3 1 n )B=AP n-2 +a n-3 B P 1 =(A n-1 +a n-1 A n-2 +···+a 1 1 n )B=AP 2 +a 1 B PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes compagnes

5

La forme compagne d'observation

A o 0

1...-a

1

0.........

......0-a n-2

0···01-a

n-1 o 0 b 1 b n-2 b n-1 C o

0···001?

Nota :si la paire(A,C)est observable

PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes compagnes

6

La forme compagne d'observation : algorithme

La matrice de passageP

o P -1o n-1 +a n-1 A n-2 +···+a 2 A+a 1 1 n C(A n-2 +a n-1 A n-3 +···+a 3 A+a 2 1 n C(A+a n-1 1 n C? PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Exemple

7 -Equations d"´etat :

˙x(t)=?

??-201 010 -201? ??x(t)+? ??1 1 0? ??u(t) y(t)=? 10-1? x(t) -Polynˆome caract´eristique :

P(p) = det(p1-A)=p

3 -p=p(p-1)(p+1) -Fonction de transfert :

C(p1-A)

-1 B=C

P(p)×?

??(p-1) 2 0p-1

0p(p+1) 0

-2(p-1) 0 (p-1)(p+2)? ??B=p 2 -1 p 3 -p=1 p PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Exemple (suite)

8 -Forme modale : A=? ??000 0-10 001? ??˜B=? ??-1 2 1? ??˜C=? -100?

La matrice de passage est

P=? v 1 v 2 v 3 et les vecteurs propres : v 1 ??1 0 2? ??v 2 ??1 0 1? ??v 3 ??0 1 0? PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Exemple (suite)

9 -La forme compagne de commande : A c ??010 001 010? ??B c ??0 0 1? ??C c -101?

La matrice de passage est

P c ??1-21 011 2-20? PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Relation entre les diff´erents mod`eles

10

DifférentielleEquation

d"état

EquationsFonction

de

Transformée

de

Laplace

transfert

Plusieurs

MéthodesH(p)=C(pIA) B+D

-1

Modè

le uniqu eM odèle u nique

ModèlesmultiplesLaplace Inverse

Transformée

de

Plusieurs

Méthodes

x=Px PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Propri´et´es structurelles des mod`eles

11 ?Th´eor`eme 1: -Lemod`ele entr´ee-sortie du type´equation diff´erentiellene repr´esente que la partie observabled"un syst`eme -Lemod`ele entr´ee-sortie du typefonction de transfertne repr´esente que la partie observableetcommandabled"un syst`eme La repr´esentation d"´etat associ´ee `a une fonction de transfert o`udes simplifications pˆoles-z´erosinterviennent estnon commandableounon observablesuivant le choix des variables d"´etat

Exemple :

x 1 x 2 1 p+21 p+1 3quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32