[PDF] Cours Aut106 - Cnam

Cours 9 Commandabilité, observabilité, représentations minimales

est commandable en 0 s’il est possible de d´eterminer ???? ????(????)⁄ ???? 0 ???? ???? conduisant tout état initial ???? ???? (???? 0) vers 0 en ???? 0 ≤ ???? 1 ≤ ???? ???? Si cette propriété est vraie ∀ ???? 0 et ∀ ???? = 1,· · · ???? alors le système est complètement commandable

Cours d’Automatique des systèmes Actionnés

1 Forme canonique commandable 2 Forme modale 3 Forme cascade X Commande par retour d’état 1 Principe général 2 Calcul du gain du contrôleur 3 Illustration sur un exemple XI Oservateur et estimateur d’état 1 Principe général 2 Calul du gain de l’oservateur 3 Illustration sur un exemple 4 Couplage contrôleur-observateur

ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS DANS L

1- Forme canonique commandable 2- Forme canonique observable 3- Forme canonique diagonale (modale) 4- Forme canonique de Jordan 10 10 12 13 14 V Résolution des équations d’état 21 VI Transformation entre les modèles d’état 23 VII Diagonalisation des systèmes (découplage) 28 VIII Stabilité dans l’espace d’état 35 CHAPITRE II

Repr´esentation et analyse des syst`emes lin´eaires PC 3

- Forme modale de l’´equation d’´etat : x˙ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −10 0 020 00−2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦x+ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0607 2 4749 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦u y = −1 0 −1 2122 x+u o`u les pˆoles sont donn´es par :-−2 commandable et observable - 2 commandable et non observable-−1 non commandable et observable PC3 - Repr´esentation et

Cours Aut106 - Cnam

3 4 Forme à droite et réalisation canonique commandable 3 4 1 “Forme à droite” ½ y= N(∂) ξ u= D(∂) ξ ξ= “état partiel” ou “pseudo-état” N(∂) et D(∂): polynômes tels que précédemment Sauf cas particulier, ξn’a pas de signification physique Fonction de transfert : à conditions initiales nulles

Polycopié De Travaux Pratiques - univ-skikdadz

Forme canonique diagonale La matrice d‘état est diagonale et les éléments de la diagonale sont les valeurs propres Forme canonique commandable Une ligne de la matrice d‘état correspond aux coefficients du polynôme caractéristique de la fonction de transfert Forme canonique observable

Commande par platitude de systèmes multi-entrées multi

sous une forme canonique commandable en utilisant l’algorithme de Seal-Stuberud (Seal, Stuberud, 1969), (voir annexe A) qui généralise l’algorithme de Luenberger (Luenberger, 1967)

UV Automatique - Département ASI - INSA Rouen

§Un système complètement commandable admet une forme canonique de commandabilité Soit la paire (A, B) commandable Réalisons une transformation linéaire tq A T=T− 1AT et B =T− B [ n T ] A T B T B T A T B T A T B T A T B) = [L]) C = − L =) = −)=))

Table des mati eres - unicefr

Automatique Cours d’Automatique ELEC4 S Icart Table des mati eres I G en eralit es 3 1 Syst emes multivariables 3 2 Quelques rappels sur la transform ee de Laplace 3

DOCTEUR DE L’ECOLE DES MINES DE PARIS´ MATHEMATIQUES ET

lin´eaires commandables, dueˆ `a l’existence de la forme canonique de Brunovsky Cette notion est reli´ee a la lin´earisation par bouclage de la mani`ere suivante: si y est une sortie plate de (1), on peut construire un bouclage lin´earisant et un diff´eomorphisme

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Cours Aut106

Automatisme Industriel

Références:

Henri Bourlès, "Systèmes linéaires", Hermès-sciences, 2006 ou Henri Bourlès, "Linear Systems", ISTE-Wiley, 2010

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1 Introduction1.1 Contenu du cours

Formalisme d'état :

développé depuis lafin des années 1950 (Bellman, Kalman, Pontriaguine, ...)• Plus proche de la physique que les fonctions de transfert Plus général (systèmes multivariables, non linéaires, ...) Plusfiable pour les calculs (systèmes de grande dimension)

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Commande échantillonnée

(ou à temps discret) Développée depuis le début des années 1950 (Tsypkin, Jury, ...) Nécessaire pour la mise en oeuvre par calculateur Vision unitaire commande continue/commande discrète : Développée depuis le début des années 1990.

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1.2 Objectifs :

Maîtriser des méthodes de conception de régulateurs plus efficaces que le PID Avoir une meilleure compréhension de la structure des systèmes

Cerner le possible

Aborder la mise en oeuvre (par calculateur)

Gérer le compromis incertitudes de modèle/performance

Introduction à la robustesse

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2 Fonctions de transfert2.1 Transformée de Laplace

:R "petit voisinage" de [0+[

Transformée de Laplace de

:L()=ˆ:C:

ˆ()=Z

0 ={C:Re()} abscisse de convergence.

Propriétés:

L est C -linéaire.

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2.1.1 Transformées de Laplace usuelles

1 1 0 1 v 1() 1 w p h 1() +1 h sin()1() 2 2 h cos()1() 2 2 gx gw vˆ()(0 R() 1

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A conditions initiales nulles:

gw vˆ() R 0 1 Si :R alors

L()=ˆ:C

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Théorème d'échange

:R "petit voisinage" de [0+[ ()()=0 pour 0 ("signaux à support positif).

Produit de convolution de

et =:Z ()()=Z 0

Alors:

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2.2 Transformée de Fourier:

:RR

F:RC:F()=Z

si l'intégrale converge. Alors:

F()=ˆ()

Tranformée inverse:

()=1 2Z

En abrégé:

F 1 =1 2 F

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2.3 Fonctions de transfert

Système

Entrée u

Sortie y

Entrée:

sortie: fonction de transfert du système.

Ou encore:

Entrée:

:[0+[R +conditions initiales nulles sortie :[0+[R:

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3 Formalisme de la représentation

d'état3.1 Système d'état linéaire stationnaire :

Système

décrit par une équation différentielle (linéaire) ("équation d'état") "équation de sortie" (linéaire):

état ;

commande ; sortie ; "ordre" du système

Système monovariable si

==1

Mono-entrée :

=1; mono-sortie : =1

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Schéma général :

Sorties

Entrées

Variables internes

Variables internes et externes

Entrées, sorties : variables internes.

Composantes de l'état : variables externes

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3.1.1 Changement de base dans l'espace d'état

Soit unematricecarréeinversiblededimension nombre de composantes de

Nouvel état :

tel que 1 1

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3.2 Exemples

3.2.1 Chariot soumis à une force

y M A f

Chariot

gw= 2 gw 2

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Entrée du système :

Equation d'état :

gw =00

10¸

1 0¸

Etat :

Forme de l'équation d'état :

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Equation de sortie :

+0

De la forme :

Si pas de capteur de vitesse : la variable d'état estnon mesurée

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3.2.2 Moteur à courant continu

Armature

V R Le i J

Champ constant

Moteur à courant continu

Equation mécanique :

gw couple moteur ; couple résistant) "frottement visqueux" :

Equation électrique :

gw courant rotorique)

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Interaction électro-mécanique :

Loi de Faraday :

gw =flux magnétique dans les enroulements du rotor. est constant par rapport au stator ; il varie proportionnellement à par rapport au rotor. D où : est la "constante du moteur"

Puissance échangée :

(expression électrique) (expression mécanique) d'où :

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Bilan des relations obtenues

gw= M$+ Ml gl gw= Ol O$+1

Etat :

Equation d'état :

01 0 0 MN M 0 O O 0 0 1

Equation de sortie (si

position angulaire) : = système (linéaire) d'ordre 3

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3.3 Forme à gauche et réalisation canonique observable

3.3.1 "Forme à gauche"

: opérateur de dérivation gw

Forme à gauche d'un système monovariable :

1 1 0 1 1 : sortie ; :entrée; : "ordre" de la forme à gauche

Fonction de transfert :

variable de Laplace (C)

Conditions intiales nulles

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3.3.2 Exemple : circuit RLC

B A R L C V i V R V L V C

Circuit RLC

Loi des mailles :

gw 1 R 2 gw 2 Ogl gw 1 1 gw Avec et : "forme à gauche" du second ordre : 2 O C+ 1 1

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3.3.3 Réalisation canonique observable (cas

0 =0=2 2 1 1 2 2 =0 1 1 1 1 2 2 2 1 b 2 b 2 a 1 a u 2 x 2 x 1 x 1 xy

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Ecriture de la forme d'état : états = sorties des intégrateurs 1 1 1 2 1 2 2 1 +0+ 2 1 quelconque : 1

10···0

2 0 0 0 01

00···0

1 "Forme canonique observable" "forme à gauche"

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Cas du circuit RLC :

1 O >d 2 1 1 1 2 =0 O 1 1 0¸ 1 0¸

Etats :

1 2 pas de signification physique

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3.4 Forme à droite et réalisation canonique commandable

3.4.1 "Forme à droite"

= "état partiel" ou "pseudo-état" et : polynômes tels que précédemment

Sauf cas particulier,

n'a pas de signification physique Fonction de transfert : à conditions initiales nulles

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3.4.2 Exemple : circuit RLC

B A R L C V i V R V L V C

Circuit RLC

charge) gw 2 gw 2 1 où 1 2 O C+ 1 (même définition que dans le cas de la "forme à gauche")

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3.4.3 Réalisation canonique commandable

y u 1 a 2 x 1 x 2 a 1 b 2 b

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Réécriture de

=h 1 (1) i

Définition de l'état :

(1) 1 2

10···00

01 0 00010 1 0 0quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22