Table des mati eres

est commandable en 0 s’il est possible de d´eterminer ???? ????(????)⁄ ???? 0 ???? ???? conduisant tout état initial ???? ???? (???? 0) vers 0 en ???? 0 ≤ ???? 1 ≤ ???? ???? Si cette propriété est vraie ∀ ???? 0 et ∀ ???? = 1,· · · ???? alors le système est complètement commandable

Cours d’Automatique des systèmes Actionnés

1 Forme canonique commandable 2 Forme modale 3 Forme cascade X Commande par retour d’état 1 Principe général 2 Calcul du gain du contrôleur 3 Illustration sur un exemple XI Oservateur et estimateur d’état 1 Principe général 2 Calul du gain de l’oservateur 3 Illustration sur un exemple 4 Couplage contrôleur-observateur

ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS DANS L

1- Forme canonique commandable 2- Forme canonique observable 3- Forme canonique diagonale (modale) 4- Forme canonique de Jordan 10 10 12 13 14 V Résolution des équations d’état 21 VI Transformation entre les modèles d’état 23 VII Diagonalisation des systèmes (découplage) 28 VIII Stabilité dans l’espace d’état 35 CHAPITRE II

Repr´esentation et analyse des syst`emes lin´eaires PC 3

- Forme modale de l’´equation d’´etat : x˙ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −10 0 020 00−2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦x+ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0607 2 4749 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦u y = −1 0 −1 2122 x+u o`u les pˆoles sont donn´es par :-−2 commandable et observable - 2 commandable et non observable-−1 non commandable et observable PC3 - Repr´esentation et

Cours Aut106 - Cnam

3 4 Forme à droite et réalisation canonique commandable 3 4 1 “Forme à droite” ½ y= N(∂) ξ u= D(∂) ξ ξ= “état partiel” ou “pseudo-état” N(∂) et D(∂): polynômes tels que précédemment Sauf cas particulier, ξn’a pas de signiﬁcation physique Fonction de transfert : à conditions initiales nulles

Polycopié De Travaux Pratiques - univ-skikdadz

Forme canonique diagonale La matrice d‘état est diagonale et les éléments de la diagonale sont les valeurs propres Forme canonique commandable Une ligne de la matrice d‘état correspond aux coefficients du polynôme caractéristique de la fonction de transfert Forme canonique observable

Commande par platitude de systèmes multi-entrées multi

sous une forme canonique commandable en utilisant l’algorithme de Seal-Stuberud (Seal, Stuberud, 1969), (voir annexe A) qui généralise l’algorithme de Luenberger (Luenberger, 1967)

UV Automatique - Département ASI - INSA Rouen

§Un système complètement commandable admet une forme canonique de commandabilité Soit la paire (A, B) commandable Réalisons une transformation linéaire tq A T=T− 1AT et B =T− B [ n T ] A T B T B T A T B T A T B T A T B) = [L]) C = − L =) = −)=))

Table des mati eres - unicefr

Automatique Cours d’Automatique ELEC4 S Icart Table des mati eres I G en eralit es 3 1 Syst emes multivariables 3 2 Quelques rappels sur la transform ee de Laplace 3

DOCTEUR DE L’ECOLE DES MINES DE PARIS´ MATHEMATIQUES ET

lin´eaires commandables, dueˆ `a l’existence de la forme canonique de Brunovsky Cette notion est reli´ee a la lin´earisation par bouclage de la mani`ere suivante: si y est une sortie plate de (1), on peut construire un bouclage lin´earisant et un diﬀ´eomorphisme

[PDF] observabilité définition

[PDF] matrice de trace nulle probleme

[PDF] querelle des anciens et des modernes jean de la fontaine

[PDF] anecdote sur anne frank

[PDF] exercice montrer que deux matrices sont semblables

[PDF] fontenelle

[PDF] vidéo anne frank

[PDF] matrice semblable exemple

[PDF] querelle des anciens et des modernes la fontaine

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[PDF] autoportrait anne frank

[PDF] pere d anne frank

[PDF] matrice de transition graphe probabiliste

[PDF] origine de la querelle des anciens et des modernes

[PDF] matrice de transition markov

Automatique

Cours d'Automatique ELEC4

S. Icart

Table des matieres

I Generalites 3

1 Systemes multivariables 3

2 Quelques rappels sur la transformee de Laplace 3

3 Transfert 4

3.1 Fonction de transfert (systeme monovariable) . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Prise en compte des conditions initiales 4

5 Linearisation autour d'un point de fonctionnement 5

II Systemes lineaires stationnaires 7

1 Systeme lineaire stationnaire continu 7

1.1 Equations d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Calcul d'une exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Lien entre representation interne et representation externe 9

3 Changement de base sur l'etat et realisation 10

4 Modes d'un systeme 11

5 Stabilite 12

5.1 Rappels sur la stabilite d'une representation externe . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Stabilite au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 Stabilite asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Systeme discret lineaire stationnaire 13

6.1 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2 Calcul d'une puissance de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Discretisation d'un systeme continu 14

III Implantation d'une loi de commande par retour d'etat 15

1 Commandabilite 15

1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Critere de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Forme canonique commandable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Observabilite 16

2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Critere d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Dualite observabilite{commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Minimalite 17

4 Decomposition canonique dans l'espace d'etat 17

4.1 Sous-espace de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Decomposition d'un systeme non commandable . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Sous-espace non observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Decomposition d'un systeme non observable . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Commande par retour d'etat 18

6 Observateur 19

7 Association d'un observateur et d'une commande par retour d'etat 20

Automatique

Premiere partie

Generalites

1 Systemes multivariables

Dans ce cours, on s'interessera a des systemes multivariables, i.e des systemes compor- tant plusieurs entrees (actionneurs) et plusieurs sorties (capteurs). Les signaux d'entree et de sortie sont alors representes par des vecteurs notes respectivementu(t) ety(t) en temps continu etuk etyk en temps discret. mentreesu(t) est un vecteur2IRm psortiesy(t) est un vecteur2IRp On supposera toujours verie lePrincipe de causalite: la sortie ne depend pas des valeurs futures de l'entree. y(t) =h(u[t0;t];t)t0t

2 Quelques rappels sur la transformee de Laplace

Denition :

Soitf(t) est une fonction causale (i.e nulle pourtnegatif), alors, on denit la trans- formee de Laplace def(t) par :

F(p) =Z

+1 0 f(t)eptdt (relation biunivoque entref(t) etF(p)).

Theoreme de la derivee :

L df(t)dt =pL(f(t))f(0+)

Theoreme du produit :

L(f(t))L(g(t)) =L(f ? g(t))

ou?est le produit de convolution.

Transformee de Laplace d'un vecteur :

six(t) =0 B @x

1(t)...

x n(t)1 C

AalorsL(x(t)) =0

B @L(x1(t))...

L(xn(t))1

C A 3

3 Transfert

3.1 Fonction de transfert (systeme monovariable)

Si le systeme est lineaire stationnaire continu i.e si les signaux d'entree et de sortie sont relies par une equation dierentielle a coecients constants,

Si les conditions initiales sont nulles,

alors par le theoreme de la derivee, on obtient :

Y(p) =G(p)U(p)

avecG(p) fraction rationnelle enp. G(p) est appelee fonction de transfert du systeme. Pour obtenir la reponse du systeme a une entree quelconque, il sut d'utiliser la trans- formee de Laplace inverse : y(t) =L1(Y(p)) =g ? u(t) =Z +1 1 g()u(t)d oug(t) est la reponse impulsionnelle du systeme (transformee de Laplace inverse de la fonction de transfert). D'apres le principe de causalite, on obtient donc : y(t) =g ? u(t) =Z t 0 g()u(t)d La fonction de transfert (ou de maniereequivalente la reponse impulsionnelle du systeme) est une repesentation entree/sortie du systeme, appelee aussi representation externe.

3.2 Matrice de transfert

Dans le cas d'un systeme lineaire sationnaire multivariable, si les conditions initiales sont nulles, on obtient :

Y(p) =G(p)U(p)

ouU(p) etY(p) sont les transformees de Laplace des signaux (vectoriels) d'entree et de sortie et ouG(p) est cette fois une matrice rationnelle (pm), appelee matrice de transfert.

4 Prise en compte des conditions initiales

Si les conditions initiales sont non nulles, alors, une representation externe ne sut plus. L'etude du comportement du systeme necessite une representation interne.

On ecrit le systeme dynamique sous la forme :

_x(t) =f(x(t);u(t);t); x0 =x(t0) y(t) =(x(t);u(t);t) 4

Automatique

Si les conditions initiales sont en nombre susant, et si les fonctionsfetgsont susam- ment regulieres, le systeme () admet une solution unique. Le vecteurx(t) est alors appele vecteur d'etat du systeme (vecteur2IRn) et () est une representation interne du systeme.

Propriete :

Tout le passe est resume dans l'etat, soit :

x(t) =(t0;t;x(t0);u[t0;t]) =(t1;t;x(t1);u[t1;t])8t2[t0;t1] u(t) = ~u(t)8t2[t0;t1] x(t0) = ~x(t0) )x(t) = ~x(t)8t2[t0;t1]

Notion d"état

temps

état

u(t)=u~(t) t 0 x(t 0 ) u(t) u~(t) t 1

5 Linearisation autour d'un point de fonctionnement

On linearise autour d'un point de fonctionnement (trajectoire admissible) (x ;y ;u en faisant le changement de variables : 8>< :~x(t) =x(t)x ~y(t) =y(t)y ~u(t) =u(t)u _x(t) =f(x;u;t) y(t) =(x;u;t)devient(_~x(t) =f(~x+x ;~u+u ;t) y(t) =(~x+x ;~u+u ;t)y 5 Examinons le cas monovariable et ou l'etat n'a qu'une composante. On fait alors un developpement limite au premier ordre defet: _ ~x(t) =f(x;u;t) +@f@~x(x;u;t)~x+@f@~u(x;u;t)~u soit, _~x(t) =f(x;u;t) +a~x+b~u. Si (x;y) est un point d'equilibre, on af(x;u;t) = 0

De m^eme,

~y(t) =(x;u;t) +@@~x(x;u;t)~x+@@~u(x;u;t)~uy soity(t) =c~x+d~u. Dans le cas multivariable stationnaire, on peut montrer que le systeme linearise est _x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t) avec

A=@fi@x

j(x;u) i= 1 an j= 1 anB=@fi@u j(x;u) i= 1 an j= 1 am

C=@i@x

j(x;u) i= 1 ap j= 1 anD=@i@u j(x;u) i= 1 ap j= 1 am 6

Automatique

Deuxieme partie

Systemes lineaires stationnaires

1 Systeme lineaire stationnaire continu

1.1 Equations d'etat

Dans le cas d'un systeme lineaire stationnaire continu, la representation interne est : _x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t)

A,B,C,Detant des matrices constantes.

Remarque :systeme non lineaireA(x;u), ..., non stationnaireA(t), ...

Amatrice d'evolution (ou de dynamique) (2IRnn)

Bmatrice de commande (ou d'entree) (2IRnm)

Cmatrice d'observation (ou de sortie) (2IRpn)

Dmatrice de transmission directe (2IRpm)

On appelle matrice de transition d'etat la matrice(t;t0) telle que la solution du systeme libre (u(t) = 08t) estx(t) =(t;t0)x0

1.2 Resolution du systeme

8 >>>>>:x(t) =eA(tt0)x0 +Z t t

0eA(t)Bu()d

reponse reponse forcee systeme libre etat initial nul y(t) =CeA(tt0)x0 +Z t t

0CeA(t)Bu()d

1.3 Calcul d'une exponentielle de matrice

Developpement en serie

At=I+At+A2t22

+Aktkk!+ (a eviter sauf siAnilpotente ou involutive)

Transformee de Laplace inverse

At=L1(pIA)1

7 Changement de base (diagonalisation ou forme de Jordan)

Soientvi

les vecteurs propres deA Avi =ivi { SiApossede n vecteurs propres independants, alorsAest diagonalisable. SoitT la matrice formee des vecteurs propres et la matrice diagonale ayant les valeurs propres deAsur la diagonale :

T= (v1

jv2 j:::jvn ) =0 B 1... n1 C A

AT=A(v1

jv2 j:::jvn = (v1 jv2 j:::jvn )0 B 1... n1 C A =T

Or il est simple de montrer queet= diageitet que

At=TetT1

{ Sinon,Apossede des vecteurs propres et des vecteurs propres generalises. On peut alors mettreAsous forme de Jordan On decomposeJenJ= +Z, ou est diagonale etZnilpotente. etZcommutant, on obtienteJt=eteZt. 8

Automatique

multiplicite deinb de vect. propres independantsBloc de Jordan nrg(IA)21 i1 0i2 i0 0i diagonalisable310 i1 0 0i1 0 0i1 A

1 bloc de dim 320

i1 0 0i0 0 0i1 A ou0 i0 0 0i1 0 0i1 A30 i0 0 0i0 0 0i1 A diagonalisable2 Lien entre representation interne et representation externe Si les conditions initiales sont nulles, alors en prenant la transformee de Laplace des equations d'etat et de sortie, on obtient le matrice de transfert :

G(p) =C(pIA)1B+D

Le systeme est strictement propre siD= 0 (pas de lien direct entree/sortie, le systeme ne laisse pas passer les impulsions), il est juste propre sinon. Exemple (cf cours);\on ne voit pas tout sur le transfert". Reciproquement, comment obtenir une realisation a partir d'une fonction de transfert? On etudiera seulement les systemes monovariables. NotonsG(p) =N(p)D(p). Sid(N(p)) =d(D(p)), alors, il existe une partie entiere (qui donne la matriceD) d'ou,G(p) =q+N1(p)D(p)avecd(N1(p))< d(D(p)) (strictement propre).

SiN(p) scalaire, alors,

Y(p)U(p)=N(p)D(p)=bp

n+an1pn1++a0 9 On choisit comme variables d'etat les derivees successives de la sortie et on obtient comme realisation : A=0 B

BBBB@0 1 00

0 0 1 1 a0a1an11 C

CCCCAB=0

B BBB@0 0 b1 C CCCA

C=1 00

Aest sous forme compagne :Les coecientsaisont les coecients du polyn^ome caracteristique deA: det(IA) =n+an1n1++a1+a0

SiN(p) polynomial,

Y(p)U(p)=bmpm+bm1pm1++b0p

n+an1pn1++a0 alors, en posant

Z(p)U(p)=1D(p)

et en prenant comme etat les derivees successives dez, on obtient

AetBinchangees

C=b0b1bm00

Autres choix possibles:::

3 Changement de base sur l'etat et realisation

On considere la realisation d'etat suivante :

_x(t) =Ax(t) +Bu(t)x0 =x(t0) y(t) =Cx(t) +Du(t) Comme nous le verrons plus loin, il peut ^etre interessant de faire des changements de base dans l'espace d'etat (an de "dem^eler" les equations). SoitPla matrice de changement de base associee et soit ~xles coordonnees du vecteur d'etat dans la nouvelle base. On a ainsi x=P~x.

Le systeme d'equations precedent devient donc :

P_~x(t) =AP~x(t) +Bu(t)

y(t) =CP~x(t) +Du(t) 10

Automatique

ou encore : _~x(t) =P1AP~x(t) +P1Bu(t);~x0 =P1x0 y(t) =CP~x(t) +Du(t) On obtient ainsi une realisation appeleerealisation equivalenteou les matricesA;B;C;D sont remplacees respectivement par les matrices~A=P1AP;~B=P1B;~C=CP;~D=D (il est normal que cette derniere matrice soit inchangee puisque rien n'a ete modie d'un point de vue entree-sortie). On veriera que la matrice de transfert est inchangee :

G(p) =C(pIA)1B+D=~C(pI~A)1~B+~D

4 Modes d'un systeme

La reponse du systeme libre _x(t) =Ax(t) est donnee parx(t) =eAtx0 * SiAest diagonalisable, six0 est un vecteur propre deA, x(t) =eAtx0 = (I+At+A2t22 +)vi = (1 +it+2it22 +)vi =eitvi La trajectoire libre est donc une droite que l'on parcourt plus ou moins vite selon la valeur dei.

Les couples (i,vi

) sont appeles modes du syteme (direction et "vitesse" dans cette direction). six0 est quelconque

Aetant diagonalisable, on peut decomposerx0

sur la base des vecteurs propres : x0 =nX i=1 ivi La trajectoire obtenue est donc une combinaison lineaire des trajectoires propres. * Si A n'est pas diagonalisable, par exemple, bloc de Jordan e Jt=0 B @1ttn1(n1)!...t 11 C Aet Six0 est un vecteur propre deA. x(t) =etx0 Six0 est un vecteur propre generalise la trajectoire est une combinaison deset,tet,t22 et::: 11quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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Automatique

Cours d'Automatique ELEC4

S. Icart

Table des matieres

I Generalites 3

1 Systemes multivariables 3

2 Quelques rappels sur la transformee de Laplace 3

3 Transfert 4

3.1 Fonction de transfert (systeme monovariable) . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Prise en compte des conditions initiales 4

5 Linearisation autour d'un point de fonctionnement 5

II Systemes lineaires stationnaires 7

1 Systeme lineaire stationnaire continu 7

1.1 Equations d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Calcul d'une exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Lien entre representation interne et representation externe 9

3 Changement de base sur l'etat et realisation 10

4 Modes d'un systeme 11

5 Stabilite 12

5.1 Rappels sur la stabilite d'une representation externe . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Stabilite au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 Stabilite asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Systeme discret lineaire stationnaire 13

6.1 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2 Calcul d'une puissance de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Discretisation d'un systeme continu 14

1 Commandabilite 15

1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Critere de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Forme canonique commandable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Observabilite 16

2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Critere d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Dualite observabilite{commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Minimalite 17

4 Decomposition canonique dans l'espace d'etat 17

4.1 Sous-espace de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Decomposition d'un systeme non commandable . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Sous-espace non observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Decomposition d'un systeme non observable . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Commande par retour d'etat 18

6 Observateur 19

7 Association d'un observateur et d'une commande par retour d'etat 20

Automatique

Premiere partie

Generalites

1 Systemes multivariables

2 Quelques rappels sur la transformee de Laplace

Denition :

F(p) =Z

Theoreme de la derivee :

Theoreme du produit :

L(f(t))L(g(t)) =L(f ? g(t))

Transformee de Laplace d'un vecteur :

1(t)...

AalorsL(x(t)) =0

L(xn(t))1

3 Transfert

3.1 Fonction de transfert (systeme monovariable)

Si les conditions initiales sont nulles,

Y(p) =G(p)U(p)

3.2 Matrice de transfert

Y(p) =G(p)U(p)

4 Prise en compte des conditions initiales

On ecrit le systeme dynamique sous la forme :

Automatique

Propriete :

Tout le passe est resume dans l'etat, soit :

Notion d"état

état

5 Linearisation autour d'un point de fonctionnement

De m^eme,

A=@fi@x

C=@i@x

Automatique