4 2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe 4 3 Exponentielle complexe et la multiplication sont alors données par les formules :
Dans ce paragraphe on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour établir des formules de calcul qui s'utilisent surtout pour
Formules d'Euler et de Moivre Ecriture exponentielle Notation Le nombre cos ? + isin? est noté ei? donc tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme
Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition Définition : Pour tout réel on a : = cos + sin Remarque :
On déduit de ces propriétés les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours ? Notation exponentielle des nombres complexes
nus sinus exponentielle et même le nombre ? qui est au départ de cette aventure sont apparus de Par ailleurs en utilisant la formule du binôme
1 on utilise la formule d'Euler pour exprimer l'expression trigonométrique à l'aide de l'exponentielle complexe ; 2 on développe la puissance grâce à la
3 notation exponentielle de la forme trigonométrique Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique deux nombres complexes
Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler
Proposition et Définition 4 1 On définit sur R2 des opérations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a) pa bq`pc dq“pa ` c b ` dq ;
La forme exponentielle de z de module r et d'argument ? est z = r ei? Exemples : Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
Les règles de calculs avec l'exponentielle complexe sont analogues à celles des règles avec les puissances : expo- nentielle i?=e puissance i ? Proposition 12
(2) sin(a + b) = sin(a) cos(b) ? sin(b) cos(a) Démonstration : Ces formules découlent de la multiplicativité de l'exponentielle et nous laissons la
trouvée pour la fonction exponentielle d'un réel Forme exponentielle d'un La formule que certains considère comme la plus belle des mathématiques :
Partie 2 : Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition Définition : Pour tout réel on a : = cos + sin Remarque :
On déduit de ces propriétés les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours ? Notation exponentielle des nombres complexes
Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler