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4 2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe 4 3 Exponentielle complexe et la multiplication sont alors données par les formules :
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Dans ce paragraphe on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour établir des formules de calcul qui s'utilisent surtout pour
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Formules d'Euler et de Moivre Ecriture exponentielle Notation Le nombre cos ? + isin? est noté ei? donc tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme
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Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition Définition : Pour tout réel on a : = cos + sin Remarque :
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On déduit de ces propriétés les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours ? Notation exponentielle des nombres complexes
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nus sinus exponentielle et même le nombre ? qui est au départ de cette aventure sont apparus de Par ailleurs en utilisant la formule du binôme
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1 on utilise la formule d'Euler pour exprimer l'expression trigonométrique à l'aide de l'exponentielle complexe ; 2 on développe la puissance grâce à la
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3 notation exponentielle de la forme trigonométrique Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique deux nombres complexes
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Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler
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Proposition et Définition 4 1 On définit sur R2 des opérations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a) pa bq`pc dq“pa ` c b ` dq ;
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La forme exponentielle de z de module r et d'argument ? est z = r ei? Exemples : Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
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Les règles de calculs avec l'exponentielle complexe sont analogues à celles des règles avec les puissances : expo- nentielle i?=e puissance i ? Proposition 12
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(2) sin(a + b) = sin(a) cos(b) ? sin(b) cos(a) Démonstration : Ces formules découlent de la multiplicativité de l'exponentielle et nous laissons la
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trouvée pour la fonction exponentielle d'un réel Forme exponentielle d'un La formule que certains considère comme la plus belle des mathématiques :
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Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler
R:R'R+?
e x+h=exeh=ex(1 +h+h2=2 +:::) =ex+exh+h2'(x;h) ??? ?? ?????? ?? ?? ??????? ??x???ex? 1dtt f:R+!R+; f(x) =xexp(ln(x)); g:R!R; g(x) = ln(exp(x))x : ?????? ??C!R?? ???? g0(t) =zg(t) g(0) = 1: e (t+h)z=etzehz=etz(1+hz+h2z2=2+:::) =etz+zetzh+h2'(t;h;z) zg(t)?? ?? ????g(0) = 1? e ??g(t) =aetz? ?????g(0) = 1? ?? ??????g(t) =etz???? f(z) =g(1) =ez? : [0;1]!C??????? ?? ??? ???(0) = 1??(1) =z? `(t) =Z t 00(s)(s)ds :
g0(t) =0(t)exp(`(t))0(t)(t)(t)exp(`(t)) = 0
???U\U????U?????? ????C? ?? ???? ??? ??x2R? ?? ? jeixj2=eixe ix=eixeix ':R!U; '(x) =eix: e ????U?????? ??C? ?? ?????? ?? ??????? ??? ??????? ??U\R??? ??????? ????U? ?? ??????iU:=fiz; z2Ug??? ?? ?????? ??C? y= 0????z='(x)2'(U\R)? ?????aZ???? ?? ???????a2R?a0? U!R???? ?????? ????? ??????? ??UR??? ?? ?????? ????? 1(U) = ??????? ????? ???U?????? C !R+R=2Z z7!(jzj;Arg(z)): ??????? ??? ???e2i= 1? ??????z=ei? ?? ? ????z6= 1??z2= e1? ????z=1?
??? ???????sin(z) =eizeiz2i? = cos(iz)? =isin(iz)? ?????z??? ????? ?????cos(z)?sin(z)???(z)????(z)???? ?????? ???eiz= cos(z) +isin(z)??ez=??(z) +??(z)? ???cos2(z) + sin2(z) = 1?2(z)??2(z) = 1?
??(x)???? ?? ?????? ????? ?? ?? ?????? ??????? ??ex? ???cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)? ???sin(a+b) = sin(a)cos(b)sin(b)cos(a)?L(c) =Z
b a kc0(t)kdt : x c: [0;2]!C t7!ReitL(C) =Z
2 0 kRieitkdt=Z 2 0Rdt= 2R :
(t) = 1 +t(z1): `: [0;1]D!C?????? ??? `(t;z) =Z t0z11 +s(z1)ds :
11 +s(z1)=X
n0(s(z1))n: ?? ????? ?? ????N?? ?? ????? ??? RN(s) =X
nN(s(z1))n=(s(z1))N1 +s(z1); ????sups2[0;1]jRN(s)j Mjz1jN? ???????jz1j<1? ?? ??? ???? (z) = (z1)Z 1 0X n0(s(z1))nds=X n0Z 1 0 (1)n(z1)n+1snds X n0(1)n(z1)n+1n+ 1: z z 0+A? ?????z0A?1(x+U)??? ?????? ?? ????
? ???? ????z2 ??????v2D??? ???z=yv??(v) +x2U? ??exp((v)) =v??? z=vy= exp((v))exp(x)2exp(U) =V ;quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] liaison intermoléculaire et intramoléculaire
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