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Compléments sur les complexes

Notations :dans ce chapitre, le plan est muni d"un repère orthonormé directe(O;~u;~v).

1 Nombres complexes de module 1

1.1 EnsembleUDéfinition

On appelleUl"ensemble des nombres complexes dont le module est 1.

U=fz2C=jzj= 1g

Exemples :

1.j1 + 2ij=p56= 1donc1 + 2i62U.

2.2U;2U;2U;2U:

3.j=1+ip3

2

2U. En effet,

Géométriquement,Ucorrespond

On en déduit immédiatement :Proposition

Soitz2U,M(z)son image dans le plan complexe.

Il ex iste2Rtel quez= cos+isin.

-estun argumentdez, c"est une mesure de!u ;!OM

Si l"on ra joutela condition 2];]alorsdevient

unique, c"estl"argument principaldez, on le noteArg(z).

Exemples :

1 = 1 + 0i= cos(0) + sin(0)i et donc Arg(1) =.

Arg(i) = ;Arg(1) = ;Arg(i) =.

j=donc Arg(j) =.Proposition

Uest stable par produit :Démonstration

Soit

Exercice

Montrer quef:R!U

7!cos+isinvérifie :8(;)2R2; f()f() =f(+).Cettepropriété fonctionnelleest celle de

1

Définition

Soit2R. On appelleexponentielledeile nombreei=

Les propriétés calculatoires deexpdécoulant de sa propriété fonctionnelle, l"exponentielle complexe

possède les mêmes :Proposition

Soit(;)2R2et soitn2Z. On a :

i.eiei=ii.1e i=iii.(ei)n=iv.eie i=

Exercice

Démontrez la proposition précédente.(C"est sans difficulté mais formateur pour la rédaction).1.2 Formules d"Euler et de Moivre

Proposition

Formules d"Euler

Soit2R. On a :

cos=ei+ei2 etsin=eiei2iDémonstration

Par exemple, pourProposition

Formule de Moivre

Soit2R. On a :

ein=ein()(cos+isin)n= cos(n) +isin(n)1.3 Application : linéarisation d"expressions trigonométriques

Il s"agit de tranformer une expression de la formecosn(x)(ousinnx) en une somme decos(kx)et de sin(kx).

Méthode

Pour linéariser une expression trigonométrique : 1. on utilise la form uled"Euler p ourexprimer l"expression trigonométrique à l"aide de l"exponentielle complexe; 2. on dév eloppela puissance grâc eà la form uledu binôme de Newton ; 3. on utilise les propriétés de l"exp onentiellepuis on regroup eles termes " qui se res- semblent »; 4. on utilise E ulerfaire apparaître des expressions trigonométriques à la place des exp o- nentielles complexes.2

Exemple :Pourx2R, linéarisonscos3x.

Finalement,8x2R;cos(x)3=14

cos(3x) +34 cosx.

Remarque :L"expression initiale est réelle donc il ne doit plus rester de partie imaginaire non nulle

à la fin.

On peut faire le "contraire". Par exemple, exprimonssin(3x)en fonction de puissances decosxet sinx:8x2R;sin(3x) =Im(e3ix) =Im(eix)3=Im(cosx+isinx)3. Après calculs, il vient :8x2R;sin(3x) = 3cos2xsinxsin3(x).

2 Forme exponentielle d"un nombre complexe non nul

Théorème

Soitzun complexe non nul.

zpeut être écrit de façon uniquesous la formez=reiavecr >0et2];[. Cette expression est laforme exponentielledu complexez.

On a alors :r=jzjet=Arg(z).Démonstration

Soitz2C.

Le complexezjzja pour module 1. Donc, il existe2Rtel quezjzj=ei()z=jzjei. Graphiquement :Ceci prouve l"existence de la forme exponentielle. L"unicité tient à l"unicité du module ainsi qu"à l"unicité de l"argument principal. 3 Remarque :en pratique, sir;;etsont des réels (avecretstrictement positifs) alors rei=ei()=r

=+k2(avec un certaink2Z)Cela signifie que deux complexeszetz0sont égaux si, et seulement si, leurs modules et leurs arguments

principaux sont égaux.

Méthode

Pour trouver la forme exponentielle d"un complexe non nulzdont on a la forme algébrique et dont l"argument n"est pas évident : 1. on c alculele mo dulede z; 2. on fa ctorisela forme algébrique de zparjzj; 3. on iden tifiecosetsin(avec=Arg(z)); 4. si est un angle remarquable on donne sa valeur, sinon on l"exprime en fonction de Arccos(ouArcsin).Attention :on n"a pas toujours=Arccos(cos)! Il faut regarder dans quel quadrant se trouveM(z). 5.

La forme exp onentiellede zestjzjei.Exemples :

1.

Donner la forme exp onentiellede 1 +i.

2.

Donner la forme exp onentiellede z=p3i1.

3.

Donner la forme exp onentiellede z=37i.

Remarque :l"écriture intermédiairez=jzj(cos+isin)est laforme trigonométriquedez.Proposition (Propriétés des arguments)

Soitzetz0deux complexes non nuls. On a :

i.Arg1z =ii.Arg(zz0) =iii.Argzz 0= 4

Démonstration

Pour chaque point, il s"agit d"exploiter l"unicité de la forme exponentielle d"un complexe.

Par exemple pour i. :

Remarque :il y a une (petite) erreur dans l"énoncé de la propriété. En effet,

Méthode

Technique de l"angle moitiépour factorisercosacosb(ousinasinb): 1. on écrit la quan titéétudiée comme la partie réelle (o uimaginaire) d"un es ommed"ex- ponentielles complexes; 2. on fa itin tervenirl"angle moitié a+b2 et on écrita=a+b2 +ab2 etb=a+b2 ab2 3. on factor isepar eia+b2 4. on utilise la form uled"Eul erp ourla paren thèse; 5. on c onclut.Exemple :soit(a;b)2R2. Transformonscosa+ cosbavec la technique de l"angle moitié.

3 Racinesn-ièmes de l"unitéDéfinition

Soitnun entier naturel non nul. On appelleracinen-ième de l"unitéles solutions de l"équa- tionzn= 1.

Théorème

Soitn2N. Il y a exactementnracinesn-ièmes de l"unité.

De plus, si on note=ei2n

, ces racines sont :1; ; 2; :::;n1.5

Démonstration

On travaille avec la forme exponentielle : soitz=reiavecr >0.Proposition Soitn2N. La somme des racinesn-èmes de l"unité vautDémonstration

Soitn2Net=ei2n

. On a :Proposition Soitn2N. Dans le plan complexe, les points dont les affixes sont les racinesn-ièmes de l"unité

sont les sommets d"un polygône régulier àncôtés inscrits dans le cercle trigonométrique.Démonstration

Il suffit de

Retour sur les équations du second degré :la difficulté principale dans la résolution d"une équa-

tion du second degré est le calcul d"une racine carrée du discriminant en utilisant la forme algébrique.

C"est beaucoup plus facile si on utilise la forme exponentielle. Par exemple, trouvons une racine carrée de = 7e0;3i. Remarque :toute manipulation des complexes avec des produits (et donc des puissances ou des quo-

tients) sera beaucoup plus simple avec la forme exponentielle qu"avec la forme algébrique. Au contraire,

si on doit faire des sommes (ou des différences), la forme algébrique est plus simple à manipuler que la

forme exponentielle. 6

4 Exponentielle complexe

Remarque :nous disposons de deux exponentielles : exet eixpourx2R. Dans les paragraphes

précédents, on a parlé d"exponentielle complexealors qu"on n"a pas encore donné de sens à ezpour

z2Cn(R[iR).Définition Soitz=a+ibavec(a;b)2R2. On définit l"exponentielle dezde la façon suivante :Proposition

Soitzetz0deux complexes.

i. e z+z0= ;ii. ez=ez0()Démonstration

On ne traite que ii. :

5 Nombres complexes et géométrie

5.1 Repérage du plan

SoitM(z)un point du plan complexe.Mest parfaitement défini parz, qui peut être connu sous plusieurs formes : algébrique ou exponentielle. Ces deux formes du nombre complexezcorrespondent à deux systèmes de coordonnées du pointM.Définition

SoitM(z)un point du plan complexe.

Le couple(Re(z);Im(z))constitue

lescoordonnées cartésiennesde M.

Le couple(jzj;Arg(z))constitue les

coordonnées polairesdeM. Remarque :Il y a un problème dans la définition. En effet,

5.2 Retour sur l"affixe complexe d"un vecteur, applications.

Soit~wun vecteur du plan. On définit l"affixe de~wcomme étant l"affixe du pointMtel que!OM=~w. Mest unique donc~west parfaitement défini par son affixe complexe.

SoitA(a)etB(b)deux points, l"affixe de!ABestba.

(Il s"agit juste d"appliquer la relation de Chasles : !AB=!AO+!OB ce qui, du point de vue des affixes complexes correspond àa+b). 7

Proposition

Soit~wun vecteur du plan, soitzwson affixe complexe. i.jzwj=k!wkii. Arg(zw)est une mesure de(~u; ~w)Proposition Soit!w(zw)et!q(zq)deux vecteurs non nuls. Une mesure de l"angle(!w;!q)estArgzqz w .Démonstration z qz wexiste car les vecteurs sont non nuls (ce qui impliquezw6= 0). On a, d"après les propriétés de l"argument :Arg(zqz w) =Arg(zq)Arg(zw)(à2près).

C"est donc une mesure de

!u;!q)(!u;!w) = (!u;!q) + (!w;!u) = (!w;!u) + (!u;!q) = (!w;!q)

Ce qui prouve le résultat annoncé.

Ce dernier résultat a deux applications très utiles :Proposition (Caractériser l"alignement à l"aide des complexes) SoitA(a);B(b)etC(c)trois points distincts du plan. SoitZ=baca.

Les propositions suivantes sont équivalentes :

i. les p ointsA;BetCsont alignés; ii.Arg(Z)2 f0;g. iii.Zest réel; iv.Im(Z) = 0.Démonstration Il suffit d"utiliser la propriété précédente avec les vecteurs!ABet!AC.Proposition (Caractériser l"orthogonalité à l"aide des complexes) SoitA(a);B(b)etC(c)trois points distincts du plan. SoitZ=baca.

Les propositions suivantes sont équivalentes :

i. les triangle ABCest rectangle enA; ii. iii. iv.

5.3 Transformations du plan

On notePle plan complexe.Définition

Unetransformation du planest

8

Proposition

Soit!q(zq)un vecteur du plan.

La translation de vecteur!qest l"application :M(z)7!M0( ).Démonstration SoitM(z)etM0son image par la translation de vecteur!q.

On a :Définition

SoitAun point du plan,kun réel non nul.

L"homothétie de centreAet de rapportkest la transformation du plan qui, à tout point Massocie l"unique pointM0vérifiant!AM0=k!AM.Proposition SoitA(zA)un point du plan complexe,kun réel non nul. L"homothétie de centreAet de rapportkest la transformation :M(z)7!M0( ).Démonstration SoitM(z)etM0son image par l"homothétie de centreAet de rapportk

On a :

Remarques :

a) une homothétie de rapp ortk2Rmultiplie les longueurs par et les surfaces par . b)

une symétrie cen tralede cen treAest une homothétie dont le centre estAet dont le rapport estProposition

Soit2R. La rotation de centreOest l"application du plan complexeM(z)7!M0( ). 9quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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