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COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES - 2

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Maths-T

nale STI 1

I- FORME EXPONENTIELLE D'UN NOMBRE COMPLEXE

Définition 1 : soit Ʌ un nombre réel. On pose :

Théorème 1 (admis) : soit ߠ

et ߠ deux nombres réels. Alors : Définition 2 : soit un nombre réel strictement positif et Ʌ un nombre réel. Soit z le nombre complexe de module et d'argumentɅ. est une forme exponentielle de z. Théorème 2 (admis) : un complexe non nul z possède une infinité de formes exponentielles.

Si ݎ݁

et ݎԢ݁ sont deux formes exponentielles de z, alors ݎൌݎԢ et il existe un entier relatif k tel que ߠ

Théorème 3 (admis) : soit z, z

1 , z 2 trois nombres complexes non nuls de formes exponentielles respectives ݎ݁ et ݎ . Alors : o L 5 A o ݖ o L A o Pour tout entier naturel n, ݖ o ݖҧൌݎ݁ o െݖ ൌ ݁

Exemples :

o Le nombre complexe z de module et dont un argument est െ a pour forme exponentielle : A o Le nombre complexe z de module et dont un argument est ߨ exponentielle : A Remarque : une exponentielle complexe peut être un réel négatif. (݁

Applications :

o Calculs avec les formes exponentielles : Euler n° 755 (inverse) ; 756 (quotient) ;

757 (produit) ; 761 (puissance).

o Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement : Euler n°

764 et 763.

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nale STI 2 o Placer un point dans un repère : Euler n° 1014.

II- FORMULE DE MOIVRE. FORMULES D'EULER

Dans ce paragraphe, on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour établir des formules de calcul qui s'utilisent surtout pour transformer des expressions trigonométriques.

1) Formule de Moivre

Abraham de Moivre (1667-1754) est un mathématicien britannique d'origine française. Il découvrit sa formule en 1717 en résolvant des équations algébriques issues de la trigonométrie. Théorème : soit Ʌ un nombre réel et n un entier naturel. Alors :

Démonstration :

Nous savons que nous pouvons écrire le nombre complexe de module 1 et dont un argument vaut

De plus, pour entier naturel n : ݖ

Ainsi :

Exemple :

2) Formules d'Euler

Leonhard Euler (1707-1783) mathématicien et physicien suisse, découvrit l'extraordinaire parenté entre les exponentielles et la trigonométrie vers 1740.

Il écrit alors dans son

Introduction à l'analyse infinitésimale la fameuse formule

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൅ͳൌͲ, qu'Euler appelait la plus belle formule des mathématiques car elle réunit les cinq

nombres les plus importants en mathématiques : 0, 1, , e et i. Théorème : soit Ʌ un nombre réel. Alors : Fquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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