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4 2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe 4 3 Exponentielle complexe et la multiplication sont alors données par les formules :

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Dans ce paragraphe on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour établir des formules de calcul qui s'utilisent surtout pour

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Formules d'Euler et de Moivre Ecriture exponentielle Notation Le nombre cos ? + isin? est noté ei? donc tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme

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Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition Définition : Pour tout réel on a : = cos + sin Remarque :

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On déduit de ces propriétés les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours ? Notation exponentielle des nombres complexes

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nus sinus exponentielle et même le nombre ? qui est au départ de cette aventure sont apparus de Par ailleurs en utilisant la formule du binôme

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1 on utilise la formule d'Euler pour exprimer l'expression trigonométrique à l'aide de l'exponentielle complexe ; 2 on développe la puissance grâce à la

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3 notation exponentielle de la forme trigonométrique Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique deux nombres complexes

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Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler

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Proposition et Définition 4 1 On définit sur R2 des opérations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a) pa bq`pc dq“pa ` c b ` dq ;

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La forme exponentielle de z de module r et d'argument ? est z = r ei? Exemples : Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants :