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4 2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe 4 3 Exponentielle complexe et la multiplication sont alors données par les formules :
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Formules d'Euler et de Moivre Ecriture exponentielle Notation Le nombre cos ? + isin? est noté ei? donc tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme
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Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition Définition : Pour tout réel on a : = cos + sin Remarque :
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On déduit de ces propriétés les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours ? Notation exponentielle des nombres complexes
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nus sinus exponentielle et même le nombre ? qui est au départ de cette aventure sont apparus de Par ailleurs en utilisant la formule du binôme
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1 on utilise la formule d'Euler pour exprimer l'expression trigonométrique à l'aide de l'exponentielle complexe ; 2 on développe la puissance grâce à la
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3 notation exponentielle de la forme trigonométrique Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique deux nombres complexes
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Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler
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Proposition et Définition 4 1 On définit sur R2 des opérations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a) pa bq`pc dq“pa ` c b ` dq ;
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La forme exponentielle de z de module r et d'argument ? est z = r ei? Exemples : Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
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Les règles de calculs avec l'exponentielle complexe sont analogues à celles des règles avec les puissances : expo- nentielle i?=e puissance i ? Proposition 12
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(2) sin(a + b) = sin(a) cos(b) ? sin(b) cos(a) Démonstration : Ces formules découlent de la multiplicativité de l'exponentielle et nous laissons la
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trouvée pour la fonction exponentielle d'un réel Forme exponentielle d'un La formule que certains considère comme la plus belle des mathématiques :
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Chapitre 4
Nombres complexes et exponentielle
complexeSommaire4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
824.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
834.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
844.4.1 Racines n-ieme de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
844.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . .
854.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . .
854.5 Suites et fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.5.1 Suites a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.5.2 Fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.6 Application aux equations dierentielles lineaires d'ordre un a coecients constants
89 4.1 Denition
Proposition et Denition 4.1On denit surR2des operations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a)pa;bq pc;dq pac;bdq; (b)pa;bq pc;dq pacbd;adbcq.Muni des operations,R2est un corps commutatif (cf. denition 1.52) dont l'element neutre pour l'addition
estp0;0qet l'element neutre pour la multiplication estp1;0q. On note ce corpsC. C'est le corps des nombres
complexes. On denitegalement la multiplication d'un nombre reel par un nombre complexe de la facon suivante :
(c)k:pa;bq pka;kbq.On a doncpa;bq a:p1:0q b:p0;1q. Commep1;0qest l'element neutre pour la multiplication, on le note plus
simplement 1, et on notei p0;1q. On ecrit ainsi les nombres complexes sous la formeabiouaib. L'addition
et la multiplication sont alors donnees par les formules : (a')paibq pcidq pacq ipbdq, (b')paibq pcidq pacbdq ipadbcq, et on constate quei2ii 1. Sizaib, on appelle : (d) partie r eellede zle nombre reel4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe
Proposition et Denition 4.2OMpzqMpkzq1kxyOn identieCau plan en associant au nombre complexezaible point
Mde coordonneespa;bq. Le nombrezest alors appele axe deMet on ecritMMpzq.Dans cette representation :
(a) le mo dulede zn'est autre que la longueurOMpzq; (b) l'addition de z1correspond a la translation de vecteurÝÝÝÝÑ0Mpz1q; (c) la m ultiplicationpar un nom brer eelkcorrespond a l'homothetie de centreOet de rapportk; (d) la m ultiplicationpar icorrespond a la rotation de centreOet d'angle2 (e) la conjugaison corresp ond ala sym etriepar rapp ort al'axe Ox.OMpzqMpz1qMpz`z1q
xyOMpzqMpkzq1kxyOMpzqMpizqa"?epzq?mpzq "b
´b"?epizqa"?mpizqxyOMpzq
Mp¯zqa"?epzq?mpzq "b
?mp¯zq " ´bxyLa preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.Denition 4.3OMpzqMpkzq1kxySoitzaibun nombre complexe non nul. On appelle argument dez, et on note argpzq,
l'angleentre l'axeOxet le vecteurÝÝÝÝÑOMpzq. L'argument dezest deni a 2pres. On ecrit argpzq r2s.
UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen82maj 28 ao^ut, 20171M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesOMpzq
θ"argpzq r2πs
1ab xyOn a alors cosaOMpzqa|z|et sinbOMpzqb|z|, d'ouzaib |z|a|z|ib|z| |z|pcosisinq.Cette expression s'appelle la forme polaire dez(alors que l'expressionaibs'appelle la forme cartesienne dez).
Proposition 4.4Soitzetz1deux nombres complexes non nuls. On a argpzz1q argpzq argpz1q. Preuve :On pose part de la forme polaire dezetz1:zrpcosisinqetz1r1pcos1isin1q. On aalors :zz1rr1pcoscos1sinsin1q ipcossin1sincos1qrr1cosp1q isinp1q.Remarque 4.5On deduit de ce qui precede que la multiplication par le nombre complexe cos'isin', de
module 1 et d'argument', correspond, dans le plan, a la rotation de centreOet d'angle'.OMpzqMpz1qz
1"zˆpcos?`isin?q
xy4.3 Exponentielle complexeDenition 4.6(a)Soit PR; on pose exppiq cosisin;
(b) Soit zaibPCavecpa;bq PR2; on pose exppzq eapcosbisinbq, oueaest l'exponentielle usuelle denie sur les nombres reels.Remarque 4.7(1)Comme p ourl'exp onentieller eelle,il est d'usage de noter l'exp onentiellecom plexe egalementsous la
formeez, mais attention : alors que pourxPR,exest bien egal aepuissancex, qu'on peut denir independamment de l'exponentielle, ce n'est pas le cas pourezaveczPC. (2) Les fonctions sin xet cosxetant periodique de periode 2, la fonctionezest periodique de periode 2i, c.-a-d. :ezk2iezpour toutkPZ. (3) De la d enitionon d eduitimm ediatementque |ez| e2233456
e i1?3i2?2i?2 21i?32i1i?3
2 ?2i?2 2 ?3i210 6 4 3 2 2334
56e
i1?3i2?2i?2 21i?3
2i1i?3
2 ?2i?2 2?3i21L'inter^et de cette denition reside dans la propriete suivante, analogue a celle de l'exponentielle usuelle denie
sur les nombres reels. Proposition 4.8(a)P ourtout pz;z1q PC2, on a :ezz1ezez1.Consequence :
(b) p ourtout zPCon a :ez0 et l'inverse deezestez; (c) p ourtout zPCetnPZon a :enzezn. Preuve :(a)Soit zaibavecpa;bq PR2etz1a1ib1avecpa1;b1q PR2. On a alorsezeapcosbisinbqet e z1ea1pcosb1isinb1q, d'ouezez1eaea1pcosbcosb1sinbsinb1q ipsinbcosb1cosbsinb1qc.-a-d. : e zez1eaa1cospbb1q isinpbb1qezz1. (b) D'apr esle p ointpr ecedent,on a ezeze01 d'ou le resultat annonce. (c)Si nPNalorsenzenfoishkkkikkkj
zzznfoishkkkkikkkkj equotesdbs_dbs3.pdfusesText_6[PDF] liaison intermoléculaire et intramoléculaire
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