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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-20201 Programme de colle n°4 de la semaine n°7 du 14/10 au 18/10

Nombres complexes

1 Généralités

1. Écriture algébrique :z=x+iyavecxetyréels. On dit quezest l"affixe du

pointMde coordonnées (x,y). L"écriture algébrique de l"inverse1z, estx-iyx2+y2(on a multiplié par le conjugué).

2. Conjugué :

z=x-iy. Propriétés.

3. Module :|z|2=x2+y2. Propriétés, lien avec le conjugué :z

z=|z|2. Le module d"un produit (resp. quotient) est le produit (resp. quotient) des modules. Inégalité triangulaire,|z+z?|?|z|+|z?|. Cas d"égalité, caractérisation de cercles et de disques à l"aide du module.

2 Écriture exponentielle

1. Groupe des nombres complexes de module 1 notéU. On poseeiθ= cosθ+

isinθ. On montre queU={eiθ|θ?R}. Formules d"Euler :cosθ=eiθ+ e-iθ2et sinθ=eiθ-e-iθ2i.

2. Arguments d"un nombre complexenon nul

Soitz?C?, etMle point d"affixez. On appelle argument deznoté arg(z) toute mesure de l"angle orienté (-→u ,--→OM). On a alorsz=reiθ(écriture exponentielle) avecr=|z|etθ= arg(z).

Remarques :

• le nombre complexe 0 n"admet pas d"arguments • un nombre complexe non nul admet une infinité d"arguments qui diffèrent d"un multiple de 2π. On appelle argument principal l"unique argument de ]-π,π]. •Attention, siz=reiθavecr <0, alorsrn"est pas le module c"est-r et argz=θ+πmod 2π.

3. Propriétés algébriques de "exponentielleiθ» :eiθeiθ?=ei(θ+θ?)eteiθeiθ?= ei(θ-θ?).

Formule de Moivre : (eiθ)n=einθdonc

(cosθ+isinθ)n= cosnθ+isinnθ. On en déduit les propriétés multiplicatives de l"argument : arg(zz?) = arg(z) + arg(z?) et argzz?= argz-argz?. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-20202

4. Quelques utilisations de l"écriture exponentielle :

• C"est une écriture adaptée aux problèmes conduisant à des produits ou des quotients de complexes. Par exemple, donner l"écriture algébrique de (1 +i⎷

3)2014.

• Elle permet de retrouver les formules d"addition de cosinus et sinus en prenant les parties réelles et imaginaires de e i(a+b)= eiaeib. Attention,les formules usuelles de trigonométrie sont à connaître et doivent se redémontrer très rapidement à partir des formules d"addition de cos et de sin. On pourra se reporter au brevet de trigonométrie..

3 Quelques applications "algébriques»

1.Technique de l"angle moitié: 1 + eiθ= eiθ/2(e-iθ/2+ eiθ/2) = eiθ/22cos(θ/2).

2. Polynômes de Tchebychev : écriture de cosnxcomme un polynôme en cosx.

Par exemple,

(?)cos(3x) = 4cos3x-3cosx.

3. Linéarisation d"expressions trigonométriques (on transforme un produit en une

somme). C"est utile par exemple pour calculer des intégrales ou des dérivées n-ièmes.

4. Sommes trigonométriques :

(?)simplification de?nk=0cos(kx) (attention au casx≡0 mod 2π).

4 Résolutions d"équations algébriques

1. Racinesn-ièmes d"un nombre complexe :

On dit quer?Cest une racinen-ième d"un nombre complexeasirn=a. (a) Les racinesn-ièmes de l"unité (du nombre 1) sont donc lesnsolutions complexes

1de l"équationzn= 1 :

(?)Un={ei2kπn|k??0,n-1?}. Exemples :U2={±1},U3={1,j,j2},U4={±1,±i}. Cas des racines cubiques de l"unité : connaître sans hésiter les relations j= ei2π3, j3= 1,j=j2et 1 +j+j2= 0. La somme des racinesn-ièmes de l"unité est nulle (pourn?2), interpré- tation en terme de centre de gravité. Remarque : les points ayant pour affixe les racinesn-ièmes de l"unité forment un polygone régulier de centre 0.

1. Pour cette démonstration de cours, on ne demandera pas à l"étudiant de montrer que ces

solutions fournissent biennracines distinctes. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-20203 (b) Plus généralement, les racinesn-ièmes d"un nombre complexea=reiθ sont lesnsolutions de l"équationzn=a: r1neiθnei2kπn, k??0,n-1?. En particulier un nombre complexe, admet toujours une racinecarrée (il y en a deux qui sont opposées). (?)Déterminer les racines cubiques de 1+i. Représenter graphiquement.

2. Équations du second degré : écriture algébrique des racinescarrées.

Relation coefficients racines : on retiendra que

(X-u)(X-v) =X2-(u+v)????

SX+uv????

P=X2-SX+P.

Ainsi en lisant les coefficients d"un polynôme, on lit la somme et leproduit de ses racines.

5 Géométrie

1. Deux outils de type "dictionnaire» (correspondance entreles langages algé-

brique et géométrique) (a) On a (attention l"ordre des lettres est inversé) ?z D-zC zB-aA? ?=CD

ABet(?)arg?zD-zCzB-zA?

= (-→AB,--→CD) (b) On a i. -→uet-→vsont colinéaires ssi?zv zu?Rouzu= 0?. ii. -→uet-→vsont orthogonaux ssi?zv zu?iRouzu= 0?. (?)Caractériser l"ensemble des pointsMd"affixeztel quezz-2i+⎷3?R.

2. Notion de centre de gravité d"un polygoneA1...An: c"est l"unique pointG

tel que--→

GA1+--→

GA2+···+--→

GAn=-→0.

Gest un point d"équilibre ou point moyen, son affixe est la moyenne des affixes des sommets.

Cas du milieuId"un segment [AB],zI=zA+zB

2et du centreGd"un triangle

ABC,zG=zA+zB+zC

3.

3. Écriture complexe des similitudes directes.

Une similitude est une transformation qui conserve les rapports des distances. Elle est ditedirectelorsque qu"elle conserve en plus l"orientation des angles.

Exemples :

• translation de vecteur -→u:f(z) =z+aoùaest l"affixe de-→u ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-20204 • rotation de centre Ω(ω) et d"angleθ:f(z)-ω= eiθ(z-ω) • homothétie de centre Ω et de rapportk >0 :f(z)-ω=k(z-ω) Application : ABC est équilatéral direct ssic-a= eiπ

3(b-a).

Classification des similitudes directes : toute similitude directefest de la forme f(z) =az+baveca,b?Ceta?= 0. • Sia?= 1,fest une translation • Sinon,fadmet un point fixeωet est de la forme f(z)-ω=keiθ(z-ω) oùk=|a|etθ= arg(a). C"est alors la composée de l"homothétie de centre Ω et de rapportkavec la rotation de de centre Ω et d"angleθ. Remarque : la symétrie orthogonale par rapport à l"axe des abscisses est codée parz?→ z. Ce n"est pas une similitude directe, elle renverse l"orientation des angles.

6 Exponentielle complexe

Siz=x+iy, on pose

ez= exeiy. Module, argument, propriété de morphisme, équation e z=a.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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