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NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 1/2

Partie 1 : Forme algébrique et conjugué (Rappels)

1) Forme algébrique d'un nombre complexe

Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe í µ l'écriture í µ=í µ+í µí µ avec í µ et í µ réels.

Vocabulaire :

Le nombre í µ s'appelle la partie réelle et la nombre í µ s'appelle la partie imaginaire. On

note : í µí µ =í µ et í µí µ

2) Conjugué d'un nombre complexe

Définition : Soit un nombre complexe í µ=í µ+í µí µ.

On appelle nombre complexe conjugué de í µ, le nombre, noté í µÌ…, égal à í µ-í µí µ.

Méthode : Résoudre une équation dans ℂ

Vidéo https://youtu.be/qu7zGL5y4vI

Résoudre dans â„‚ les équations suivantes : a) 3í µ-6=4í µ+í µ b) 3í µ-2=í µÌ…+1 c) í µ +5=0

Correction

a) 3í µ-6=4í µ+í µ b) On pose : í µ=í µ+í µí µ. L'équation s'écrit alors :

3í µ-í µ=6+4í µ 3

-2=í µ-í µí µ+1

2í µ=6+4í µ 3í µ+3í µí µ-2-í µ+í µí µ-1=0

í µ=3+2í µ 2í µ-3+4í µí µ=0

Donc : 2í µ-3=0 et 4í µ=0

Soit : í µ=

3 2 et í µ=0

D'où : í µ=

3 2 c) í µ +5=0 =-5 =5í µ

Donc : í µ=í µ

5 ou í µ=-í µ

5

Les solutions sont donc í µ

5 et -í µ

5. 2

3) Affixe

Définitions : í µ et í µ sont deux nombres réels.

- À tout nombre complexe í µ=í µ+í µí µ, on associe son image, le point í µ de coordonnées

- À tout point í µ , on associe le nombre complexe

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/D_yFqcCy3iE

Le point 𝑒3;2) a pour affixe le nombre complexe í µ=3+2í µ.

4) Module d'un nombre complexe

Définition : Soit un nombre complexe í µ=í µ+í µí µ. On appelle module de í µ, le nombre réel positif, noté , égal à í µ est un point d'affixe í µ.

Alors le module de í µ est égal à la

distance í µí µ.

5) Argument d'un nombre complexe

Définition : Soit un point í µ d'affixe í µ non nulle. On appelle argument de í µ, noté í µí µí µ 3

6) Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe í µ non nul l'écriture

cosí µ+í µsiní µ , avec í µ=í µí µí µí±’í µ). Partie 2 : Forme exponentielle d'un nombre complexe

1) Définition

Définition : Pour tout réel í µ, on a : í µ =cosí µ+í µsiní µ.

Remarque :

est le nombre complexe de module 1 et d'argument í µ.

Propriété : í µ

=-1

Démonstration :

4 Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783). Elle possède la particularité de relier les grandes branches des mathématiques : l'analyse (avec le nombre e), l'algèbre (avec le nombre i) et la géométrie (avec le nombre í µ).

Exemples :

=cos0+í µsin0=1+í µÃ—0=1 =cos 2 +í µsin 2 =0+í µÃ—1=í µ

Définition : Tout nombre complexe í µ non nul de module í µ et d'argument í µ s'écrit sous sa

forme exponentielle í µ=í µí µ Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement

Vidéo https://youtu.be/WSW6DIbCS_0

Vidéo https://youtu.be/tEKJVKKQazA

Vidéo https://youtu.be/zdxRt5poJp0

1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :

a) í µ =-2í µ b) í µ =-3 c) í µ

3-3í µ

2) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique :

a) í µ b) í µ =4í µ

Correction

1) a) -

-2í µ -2 =2×1=2 - Pour déterminer un argument de í µ , on peut utiliser le cercle trigonométrique. On fait un petit schéma à main levée en plaçant le point í µ d'affixe et on lit graphiquement qu'un argument de í µ est

Ainsi, on a : í µ

=2í µ b) - -3 =3 - On place le point í µ d'affixe í µ et on lit graphiquement qu'un argument de í µ est í µ.

Ainsi, on a : í µ

=3í µ 5 c) =O

3-3í µO=

P 3 -3 3+9= 12=2 3 - Il n'est pas évident de déterminer graphiquement un argument de í µ . La méthode consiste alors à calculer

3-3í µ

2 3 3 2 3

3í µ

2 3 1 2

3í µÃ—

3 2 3× 3 1 2

3í µÃ—

3

2×3

1 2 3 2

On cherche donc un argument í µ de í µ

tel que : cosí µ= 1 2 í µí µsiní µ=- 3 2

Comme, on a :

cosí±¡- 3 T= 1 2 í µí µsiní±¡- 3 T=- 3 2

L'argument í µ=-

convient. Et ainsi : =cosí±¡- 3

T+í µsiní±¡-

3 T

Soit :

í±¡cosí±¡- 3

T+í µsiní±¡-

3 TT=2

3í±¡cosí±¡-

3

T+í µsiní±¡-

3 TT=2

3í µ

2)í µ)í µ

=cosí±¡ 6

T+í µsiní±¡

6 T= 3 2 1 2 =4í µ =4í±¡cosí±¡ 4

T+í µsiní±¡

4 TT=4U 2 2 2 2 V=2

2+2í µ

2

2) Propriétés

Propriétés : Pour tous réels et ,

a) í µ b) c) d) í µ WWWW f) Dí µ

Méthode : Appliquer la notation exponentielle

Vidéo https://youtu.be/8EVfyqyVBKc

1) Déterminer la forme exponentielle de í µ=1+í µ

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