Fonctions convexes 1 Pr´eliminaire : limites d’une fonction monotone Dans l’´etude de la d´erivabilit´e des fonctions convexes, les limites de fonctions monotones jouent un role essentiel On sait que toute fonction monotone sur un intervalle ouvert I poss`ede en chaque point de I une limite a droite et une limite a gauche finies
Minimisation et fonctions convexes E Le Pennec Novembre 2012 Pb Estimateurssouventdéfiniscommedes“argmin”(M-estimateurs ): — Étudedespropriétés
Dans ce qui suit, on se contentera d’énoncer les propriétés des fonctions convexes pour alléger le contenu du cours Le cas des fonctions concaves s’en déduit aussitôt, puisqu’une fonction concave est l’opposé d’une fonction convexe : il suffit de remplacer,
Ensembles convexes Fonctions convexes Joseph Salmon Fonctions convexes multi-dimensionnelles Corollaire : croissance de la dérivée revisitée Si f: RdR est di érentiable deux fois, alors on a l'équivalence : fconvexe ,r2fest semi-dé ni positive Exemple d'application : f: x7x>Ax(avec Asymétrique) est
Fonctions : continuité et convexité I CONTINUITÉ I 1 Fonction continue Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a On dit que la fonction f est continue en asi : lim x→a f(x)=f(a) On dit que la fonction f est continue sur l’intervalle I si f est continue en tout réel de I Remarques :
les convexes de E contenant A C contient A en tant qu’intersection de parties contenant A et C est un convexe en tant qu’intersection de convexes Donc, C est un convexe contenant A Enfin, tout convexe contenant A contient l’intersection de tous les convexes contenant A c’est-à-dire C Définition 4
Ce cours se divise en deux grandes parties, la premi ere est consacr ee a l’optimisation de fonctions convexes di erentiables, la seconde de l’optimisation des fonctions convexes non di erentiables, dites non lisses Avant de traiter ces deux grandes parties nous pr esentons quelques exemples de probl emes
Les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves sur Au sens large, tous les points de leurs courbes sont des points d'inflexion La fonction exponentielle est convexe sur (voir ultérieurement) La fonction logarithme népérien est concave sur ]0;+∞[(voir ultérieurement) TES-Ch04- Convexité - 5/5
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 Pour x≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe
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Fonctions convexes - Claude Bernard University Lyon 1
356 33 FONCTIONS CONVEXES fonction f est convexe sur I si et seulement si, pour tout (a,b) ∈ I, f v´erifie : f(a+b 2) ≤ f(a)+f(b) 2 Toute fonction convexe satisfait ´evidemment cette derni`ere condition mais la r´eciproque est fausse : il existe des fonctions non continues sur un intervalle ouvert I Taille du fichier : 170KB
Fonctions convexes - Gonnord
1 Propri´et´es des fonctions convexes 1 1 D´efinition des fonctions convexes D´efinition 1 Une fonction f: I→Rest dite convexe lorsque : ∀(x,y) ∈I∀λ∈[0,1], f λx+ (1 −λ)y ≤λf(x) +
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Analyse 1: convexité et fonction convexe
Fonctions convexes Joseph Salmon Exemples de fonctions convexes I une fonction constante : x7c ( c2R) I une fonction a ne : x7ha;xi+c ( a2Rn;c2R) I f+(1 )gpour f;gconvexes et 2[0;1] I fpour fconvexe et 2R+ (ATTENTION au signe +) Convexe : OUI Convexe :
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Terminale ES-L – Chapitre IV – Convexité
VI- Convexité des fonctions usuelles (Vous pouvez vous entraîner à le démontrer en dérivant deux fois ces fonctions et en étudiant le signe de leur dérivée seconde) La fonction carré est convexe sur La fonction cube est concave sur ] ∞;0 ] et convexe sur [0;+∞[L'origine du repère
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Fonctions : continuité et convexité
II 1 Fonctions continues et suites convergentes Propriété (admise) Soit (u n)une suite convergente vers un réel a, et fune fonction continue sur un intervalle Icontenant aet tous les termes de la suite (u n), alors la suite (f(u n))converge vers f(a) Remarque : Cette propriété est particulièrement adaptée à l’étude des suites du type : u n+1 =f(u
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Convexité - maths-francefr
2) Convexes 2-a) Segments Soient A et B deux points d’un K-espace vectoriel E Le segment [A,B]est l’ensemble des points M de E tel qu’il existe un réel λ ∈ [0,1]tel que −−→ AM =λ −→ AB b b b A M B Cette dernière égalité s’écrit encore M−A =λ(B −A)ou enfin M =(1 −λ)A +λB Donc Définition 2 Soit E un K-espace vectoriel Soient a et b deux éléments de E
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CONVEXITÉ - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 Pour x≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe Le point O est un point d'inflexion de la courbe de la fonction cube
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c Christophe Bertault - MPSI Convexité
Fonction convexe Fonction concave Explication Tâchons d’interpréter géométriquement la notion de convexité — même raisonnement pour la concavité Fixons x,y ∈ I tels que x < y et notons Fλle point de coordonnées λx + (1 − λ)y , f λx + (1 − λ)y et Cλle point de coordonnées λx+(1− λy) , λf(x)+(1− λ)f(y)
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Continuité et convexité
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Optimisation et convexité : introduction, motivations
Contenu du cours Introduction aux bases de l’optimisation (algorithmes) Illustrer avec des exemples d’applications (apprentissage, m´et´eo ) Pr´esentation de l’analyse convexe et de l’algorithmique non-diff Insister sur leur utilisation dans deux domaines : production ´electrique graphes et applications 9
f est une fonction de I dans R, et C est sa courbe représentative dans le repère ),,, ( les fonctions affines sont convexes (et même mieux selon le préliminaire)
confondre les fonctions convexes et les fonctions ayant un graphe convexe 3) Soit f une fonction convexe sur l'intervalle I et a, b, c trois éléments de cet
new.convexe
Chapitre 11 : Fonctions convexes Rappelons qu'une partie c d'un espace affine est convexe si et seulement si pour tous points A, B ∈ c le segment [AB] est
chap
3) Caractérisation des fonctions convexes dérivables 4) Tangentes au graphe d'une fonction convexe
convexite
On décrit dans ce chapitre les propriétés des fonctions convexes de IRn Définition 3 3 : Soit une fonction f : S ↦→ R, où S est un ensemble convexe non vide de
chap
19 sept 2017 · 2 Fonctions convexes Le cours de première année étudiait les fonctions préservant les barycentres, i e les combinaisons affi nes (fonctions
Convexite
1 CONVEXITÉ I Fonction convexe et fonction concave La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située
ConvexiteTESL
Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour λ ∈]0, 1[ et x = y Une fonction f est dite (strictement) concave si −f est (strictement) convexe –
notes convexite
Si f et g sont deux fonctions convexes, alors f + g est une fonction convexe Démonstration Il suffit de s'appuyer sur la définition calculatoire, et de sommer les
convexite
4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre1 : Fonctions convexes. I Préliminaires. A) Notations. P désigne le plan muni d'un repère (O?i
Maths PCSI. Résumé de cours. Fonctions convexes. Table des mati`eres. 1 Propriétés des fonctions convexes. 2. 1.1 Définition des fonctions convexes .
18 nov. 2013 Cours 15 : 18/11/2013. Chapitre 21 : Fonctions convexes ou concaves de deux variables. 1. Définitions pour les fonctions de classe C1.
Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (
3.4 Régularité des fonctions convexes . Ce cours rédigé pour des étudiants préparant l'agrégation de mathématiques
I. Fonction convexe et fonction concave. Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E. Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Definition. Une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs réelles est dite convexe si {(xf (x)) ? R2/x ? I} est une partie convexe. f est dite.
27 sept. 2021 Intégrales convergentes d'une fonction continue par morceaux (sur les différents ... Fonctions convexes sur un intervalle de R : définition.
? Etudier la convexité d'une fonction sur un intervalle donné c'est déterminer si la fonction considérée est convexe ou concave sur l'intervalle considéré.
Les fonctions a?nes de IRn sont bien sûr convexes (elles sont aussi concaves) Comme on le véri?era plus loin les fonctions quadratiques convexes de IRn sont celles qui sont associées à une matrice semi-dé?nie positive Dans IR des exemples courants de fonctions convexes sont : f(x) = x2 f(x) = ex f(x) = ?logx sur x > 0 f(x
II FONCTIONS CONVEXES CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES Géométriquement cela signifie que l’image des barycentres de deux points par une fonction a?ine est le barycentre des images de ces deux points affectés des mêmes coe?icients a a1 = g(a) Ò x=a+t(b´a) x1 = g(x) b b1 = g(b) Courbe représentative de g Sur cet exemple : On a x
— étudier les fonctions convexes d’une variable réelle Le cours gagne à être illustré par de nombreuses ?gures La notion de barycentre est introduite exclusivement en vue de l’étude de la convexité CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES a) Parties convexes d’un espace vectoriel réel
I Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu be/ERML85y_s6E Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes
Exercice 2 (Fonctions convexes et fonctions af?nes) Soit Iun intervalle ouvert de R On note A (I) l’ensemble des fonctions af?nes dé?nies sur I 1 Montrer qu’une fonction ’: I!R est convexe si et seulement si pour tout x2I on a ’(x) = sup h2A (I) h ’ h(x): 2 Application : Inégalité de Jensen
Les propri´et´es principales des fonctions convexes (tant sur le plan pratique que th´eorique) r´esident dans des in´egalit´es entre des pentes Notation : Si x0 ?I px0 d´esigne la fonction d´e?nie sur I{x0}par : ?x?I{x0} px 0 (x) = f(x) ?f(x0) x? 0 · (“fonction pente issue de x0”)
Quels sont les propriétés des fonctions convexes ?
Nous allons étudier maintenant quelques propriétés des fonctions convexes. Une application est convexe sur si et seulement si pour tous points et de sa courbe représentative, l’arc est en-dessous de la corde . Il n’y a pas vraiment de démonstration à faire ici.
Quels sont les avantages des fonctions convexes?
Les fonctions convexes possèdent d'intéressantes propriétés de continuité et de dérivabilité. Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité, et d'apporter des facilités pour la recherche d' extrema.
Comment définir une fonction convexe ?
Soient f une fonction convexe, (x1, … , xn) un n -uplet de réels appartenant à l'intervalle de définition de f et (?1, … , ?n) un n -uplet de réels positifs tels que
Qu'est-ce que les fonctions convexes ?
FONCTIONS CONVEXES 3.1 Notations et dé?nitions préliminaires L’étude des fonctions convexes montrera que celles ci sont continues sur tout l’intérieur de leur domaine de dé?nition et qu’elles sont presque partout di?érentiables.
Chapitre1 : Fonctions convexes