Toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives sur cet intervalle De Plus, Si F1 et F2 sont deux primitives de f sur un intervalle I, Alors il existe k, constante réelle, telle que pour tout x 2 I, F2(x) = F1(x)+k Preuve : Admettons l’existence d’une primitive F de f sur I, Alors pour tout x 2 I, F′(x) = f(x)
Remarque 2 1 2 Tout ensemble fini de fonctions continues en un point x 0 (resp dans E)estéquicontinuenx 0 (resp équicontinu) Exercice 2 1 Soit K un espace métrique compact et F un espace métrique Soit (fn)n une suite de C(K,F) tel que H = {fn; n 2 N} soit équicontinue Supposons que fn converge simplement vers f
pas continue enp 1 3 Continuité sur un intervalle Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en toute valeur a appartenant à I Exemples Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ
Continuité d’une fonction Sur un intervalle
Si dans un énoncé on demande de montrer qu’une fonction est continue sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire De plus, toute fonction dérivable sur I est continue sur I Exemple Montrer que f(x) = ( x² + 3x ) x +8 est continue sur [−8;+∞[
2) La fonction f×gest continue sur I 3) Si de plus la fonction gne s’annule pas sur I, la fonction f g est continue sur I En particulier, Théorème 2 Soient fune fonction définie sur un intervalle Ide Rà valeurs dans K=Ret gune fonction définie sur un intervalle Jde Rà valeurs dans K=Rou Ctelles que f(I)⊂ J Si fest continue sur
Exercice : si ƒ continue sur [a, +∞[ admet une limite finie en +∞, alors ƒ est u-continue 8 3 Applications 10 3 1 Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes 10 3 2 Théorème du point fixe 11 3 3 Sommes de Riemann 14 3 4 Approximation d'une fonction continue sur un segment par des fonctions en escalier 17
La fonction fest une fonction continue sur R car est un polynôme La fonction f est la somme de deux fonctions crois-santes x 7→x3 et x 7→x −1, donc f est strictement croissante sur R On a f(0)=−1 et f(1)=1 ⇒ f(0)× f(1)
ONTINUITÉ 2 Continuité des fonctions
2 2 Continuité sur un intervalle Définition graphique Redonnons d'abord une définition graphique intuitive : « Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle » Continuité sur un intervalle Rappel Une fonction est une règle qui assigne à chaque
Commentaire ⋄ Une fonction continue sur [a,b]est en particulier une fonction continue par morceaux sur [a,b] Il suffit d’appliquer la définition avec σ =(x0,x1
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Espaces m´etriques compacts - univ-lillefr
Rappelons que toute fonction num´erique continue sur un intervalle ferm´e born´e atteint ses bornes inf´erieure et sup´erieure Cette propri´et´e implique que f([a,b]) = [m,M] lorsque f: [a,b] → Rest continue Voici un r´esultat qui va dans le mˆeme sens Proposition 3 4 1 Si f est une application continue Taille du fichier : 92KB
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Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1
Proposition 3 8 Tout espace métrique compact (X;d ) est borné , c'est-à-dire qu'il existe M tel que pour tout x;x 0 2 X on ait d(x;x 0) M Preuve: La fonction d :X X R est continue lorsqu'on munit X de la distance produit D ; en e et, elle est lipschitzienne : jd(x 1;x2) d(x0 1;x 0 2)j = jd(x ;x2) d(x1;x0 2)+ d(x ;x0 2) d(x0 1;x )j j d(x1;x2) d(x1;x0
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Systèmes itérés de fonctions - Exo7
donc, en d’autres termes, le théorème affirme qu’une famille de compacts emboîtés tend vers un compact Voici le résultat fondamental concernant les fonctions continues sur les ensembles compacts Le premier point est pour une fonction à valeurs dans R, le second point est sa version pour une fonction à valeurs dans R2 Théorème 2 1 Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes
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COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr
Théorème 0 1 Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b] Démonstration Pour montrer que f est bornée, il suffit de montrer que la fonction (composée) f est majorée Comme la fonction x 7→ x est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors f aussi Supposons que f ne soit pas majorée Alors il existe une suite (xTaille du fichier : 137KB
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Système itéré de fonctions - mathuniv-lille1fr
pour une fonction arrivant dans R2 Théorème 2 1 Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes Autrement dit : si CˆR2un ensemble compact et f: CR une fonction continue alors il d’une part la fonction est bornée et d’autre part le maximum et le minimum sont atteint
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201 : Espaces de fonctions; exemples et applications
2 Fonctions continues sur un compact 1 Problèmes d’extremas ‰ [GOU] prop : l’image d’un compact est compact, c-ex : sin1([1,1]) = R,prop:conditionpourêtreun homéomorphisme, prop : une application continue sur un compact atteint ses bornes, appli : équivalence des
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1 Ouvert, ferm e, compact
atteint ses bornes Proposition Soit f: EF une fonction Alors : 1 l’image r eciproque par fd’un ouvert de F est un ouvert de E; 2 l’image r eciproque par fd’un ferm e de F est un ferm e de E; 3 l’image directe par fd’un compact de Eest un compact de F D e nition f: PFest uniform ement continue sur Psi elle v eri e la propri et e (UC) :Taille du fichier : 172KB
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L2 - cursus pr´epa Continuite des fonctions vectorielles
En d’autres termes, l’image d’une partie compacte par une application continue est une partie com-pacte Corollaire 23 Soit f : K ⊂ E −→ F Si K est une partie compacte de E et f continue, alors f est born´ee Th´eor`eme 24 (Th´eor`eme des bornes atteintes) Soit f : K ⊂ E −→ Rcontinue ou` K est un compact non vide de E
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IntØgrales dØpendant d™un paramŁtre 1) Convergence dominØe
Rappel : Toute fonction continue sur un compact (de R2) est bornØe et atteint ses bornes a) On considŁre le cas oø I est un segment et oø f : A I (x;t) f(x;t) est de classe Cn sur A I: Dans ce cas, l™hypothŁse de domination sur K I est Øvidente pour tout segment K de A : il su¢ t en e⁄et de considØrer
Soit (X, d) un espace métrique compact, et f : X → R une fonction continue Alors f est bornée et atteint ses bornes Preuve: Montrons que f atteint sa borne
fetch.php?media=a :topoetmesure:matheco chap pagessur
Théorème 0 1 Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] alors f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes sur [a, b] Démonstration
Cours AN
PARTIES COMPACTES DE R ET FONCTIONS CONTINUES 1 Parties a b qui est une partie compacte de , f est bornée et atteint ses bornes sur [ ; ] a b donc
compacts
12 avr 2005 · Exercice 4 Construire une fonction non continue f : [0, 1] → R telle que, f atteint ses bornes : il existe c1, c2 ∈ I tel que f(c1) = min{f(x) x ∈ I},
theoremes d analyse
25 avr 2015 · Fonctions continues 17 Fonctions continues sur les compacts les boules ouvertes dans R, sont exactement les intervalles ouverts bornés et les boules Toute fonction continue f : A ↦→ R est bornée et atteint ses deux
poly mpci topologie
Toute fonction sur X à valeurs réelles qui est continue est bornée et atteint ses bornes Preuve 1 : on supposera X non vide Si f : X → R n'est pas bornée alors les
agregcompacite
11 mai 2016 · FONCTIONS CONTINUES SUR Rn, COMPACITÉ ET Soit K un compact de Rn et f : K → Rp une application continue (Q) (i) f(K) est un compact de Rp (ii) En particulier, si p = 1 alors f est bornée et atteint ses bornes, i e il
ch mai
2 3 (fonction continue sur un compact) Soit a, b ∈ R, a
chap
Corollaire 3 4 2 Toute fonction continue sur un espace métrique compact `a valeurs dans R est bornée et atteint ses bornes inférieure et supérieure Exemple 3 4 3
M Chap
Une fonction continue `a valeurs réelles définie sur un espace métrique compact
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a
Soit (X d) un espace métrique compact
12 avr. 2005 Exercice 4 Construire une fonction non continue f : [0 ... f atteint ses bornes : il existe c1
29 mai 2010 L'image d'un compact par une fonction continue est compacte. Notamment toute fonction d'un compact dans R est bornée et atteint ses bornes.
Soit f : X ? R (avec X compact non vide) continue. Alors : (i) f est bornée sur X. (ii) f atteint ses bornes inférieure et supérieure.
continue sur K est bornée (et atteint ses bornes) ce qui permet de définir la L'espace vectoriel des fonctions continues et `a support compact sur.
3 mai 2017 Une fonction continue `a valeurs réelles définie sur un espace métrique compact
Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. 10. 3.2. Théorème du point fixe. 11. 3.3. Sommes de Riemann.
Rappelons que toute fonction numérique continue sur un intervalle fermé borné atteint ses bornes inférieure et supérieure. Cette propriété implique que f([a b])
La compacité est importante pour nous en particulier parce que les fonctions continues sur les espaces compacts ont des propriétés très fortes Théorème 3 7 Soit (X;d ) un espace métrique compact et f : X ! R une fonction continue Alors f est bornée et atteint ses bornes Preuve:
Corollaire 3 4 2 Toute fonction continue sur un espace m´etrique compact `a valeurs dans R est born´ee et atteint ses bornes inf´erieure et sup´erieure Exemple 3 4 3 (Voir TD) Soient A B deux partie compactes de ( Ed )
COURS 12 : Fonctions continues (suite) Théorème 0 1 Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [ab] alors f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il su?t de montrer que la fonction (composée) f est majorée
1(e) A est compact f est continue et une fonction continue sur un compact atteint ses bornes 1(f) Un min ou max est atteint soit dans l’int´erieur (en un point critique) ou sur la fronti`ere Ici la premi`ere possibilit´e est exclue pour le min 2(a) On a y 2+y ?1 ? 0d’o`uy ? (1+ ? 5)/2 < 2 Ensuite z est major´e par 3 et
Théorème 2 1 Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes Autrement dit : si CˆR2un ensemble compact et f: C!R une fonction continue alors il d’une part la fonction est bornée et d’autre part le maximum et le minimum sont atteint en des points de C
Applications continues sur une partie compacte Image d’une partie compacte par une application continue Cas particulier des applications à valeurs réelles : théorème des bornes atteintes Théorème de Heine Parties connexes par arcs d’un espace vectoriel normé Chemin continu joignant deux points
Comment montrer qu'une fonction est bornée ?
Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b]. Démonstration Pour montrer que f est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7? |x| est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors |f| aussi.
Comment montrer que f est bornée et atteint ses bornes ?
Alors f est bornée et atteint ses bornes. Preuve: Montrons que f atteint sa borne supérieure M = sup( ff(x): x 2 X g) (l'argument pour la borne inférieure est symétrique, ou découle du résultat pour la borne supérieure appliqué à f). Par dé nition d'une borne supérieure, il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que f(xn) converge vers M .
Comment montrer qu'un produit est compact ?
Corollaire 3.4. Pour tout n 2 N , et tout a1;:::;an;b1;:::;bn, l'ensemble Q [ai;bi]est un compact de Rnmuni de la distance induite par kk1. Preuve: Chacun des espaces [ai;bi] est compact, et par récurrence on montre facilement à partir de la pro- position précédente qu'un produit ni d'espaces métriques compacts est compact.
Comment montrer qu'un ensemble est compact ?
Preuve: Si A Rnest tel que (A;d ) soit compact, alors on sait que (A;d ) doit être fermé dans Rn, et borné d'après la proposition précédente. Réciproquement, si A est fermé borné dans Rn, alors il existe M tel que A soit contenu dans [ M;M ]n; on a vu que cet ensemble est compact, et A y est fermé, donc (A;d ) est compact.
Cours 2 : continuité et compacité