Les cinq énoncés proposés (problème 1, intermède, problème 2, pause, épilogue) sont mutuellement indépen-dants – Probleme` 1 : Endomorphismes Nilpotents – On considère dans tout le problème un Kespace vectoriel E de dimension finie n > 2: Un endomorphisme u 2L(E) est dit nilpotent s’il existe k 2N?tel que uk = 0:L’entier : r
Partie II Commutant d’un endomorphisme nilpotent d’indice 2 On suppose dans cette partie que u est nilpotent d’indice 2 et que n 3 2 On note T le rang de u On pose s = 72 - 2~- 1 Montrer que Im,u c ker 71 En déduire que I‘ < F 2
PROBLEME I : Endomorphisme nilpotent d'ordre n Soit nun entier supérieur ou égal à 2 Si fest un endomorphisme de Rn, pour k2N, on dé nit fk par récurrence : f0 = Id Rn et 8k2N;fk+1 = f fk On s'intéresse aux endomorphismes de Rn véri ant fn 1 6= 0 et fn = 0 (1) 1 Etude d'un exemple On dé nit l'endomorphisme fde R3 par : 8(a;b;c) 2R3;f
On dit que u est de carré nul lorsque u2 est l’endomorphisme nul de E On dit que u est nilpotent lorsqu’il existe un entier naturel n Ø 1 tel que un =0 Une matrice A œ M n(C) est dite de carré nul lorsque A2 =0 n L’objectif du problème est d’établir, pour un endomorphisme u d’un C-espace
Lorsque E= F, un morphisme de Edans lui même s'appelle un endomorphisme Exemples 1) Soient Eet F deux espaces vectoriels alors l' application nulle , qui à tout x2Efait correspondre 0 F le zéro de F, est une application linéaire (véri cation laissée au lecteur)
Le problème algébrique de classification à équivalence près des représen- gonalisable S1 et un endomorphisme nilpotent NI, commutant entre eux Alors, dans :
Title: MacrosPbsE3A dvi Created Date: 4/16/2008 9:36:57 AM
Dans tout le problème on désigne par A et B deux anneaux commutatifs, I;J et K trois idéaux de A et f : B A un morphisme d’anneaux Soit a 2A On dit que a est nilpotent s’il existe n 2N tel que an= 0 On convient que 8a 2A;a0 = 1 Le corps K désigne le corps des réels R ou celui des complexes C
nilpotent et l'anneau A est intègre Il s'ensuit que A est un domaine d'intégrité principal à droite et à gauche, donc c'est un anneau de Ore à droite et à gauche et il admet un corps des fractions à droite et à gauche; voir [P M C1 et 2] La fonction d'ordre o est la valuation associée
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157 Endomorphismes trigonalisables Endomorphismes nilpotents
D e nition 2 Endomorphisme nilpotent Rq: Nilp(E) est un c^one; ce n’est ni un id eal de L(E) ni un sous espace vectoriel Proposition 2 1 f, g nilpotent et commutent, alors f+g est nilpotent f,g commutent et f nilpotent alors f g nilpotent Proposition 2 2 Cardinal du c^one nilpotent 2 2 Application a la r eduction Noyaux it er es, Jordan 2 3
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Universit e Claude Bernard{Lyon I Endomorphismes
des endomorphismes au cas nilpotent : 1 etant donn e u2L(E), il existe une famille canonique de sous-espaces sur lesquels u Id est nilpotent (pour convenable) : les espaces caract eristiques ; 2 la classe de similitude d’un endomorphisme nilpotent est d etermin ee par une partition de
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Le˘con 157 : Endomorphismes 2 Endomorphismes
[OA p168] Endomorphisme nilpotent Exemple 25 (OA p168) Matrice nilpotente Exemple 26 (OA p168) La d erivation D e nition 27 (OA p168) Ensemble Ndes matrices nilpotentes Proposition 28 (OA p170) Si uest nilpotent d’indice p, ˇ u= Xp Remarque 29 (OA p170) Par Cayley-Hamilton, p n Proposition 30 (OA p170) uest nilpotent si et seulement si ˜
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I - Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
Soit fun endomorphisme cyclique Si Supposons que fest nilpotent d’indice nou encore supposons que fn−1 6= 0et fn =0 Soit x0 ∈ Etel que fn−1 (x0)6= 0 Supposons par l’absurde qu’il existe α0,α1, ,αp−1)6=( 0,0, ,0)tel que α0x0 +α1f(x0)+ +αn−1fn−1 (x0)=0 Soit kle plus petit des entiers i∈ J0,n−1K tel que αi 6= 0 Par définition de k, on a αkfk (x0
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Universit´e Claude Bernard–Lyon I Endomorphismes
Voici le probl`eme de base : ´etant donn´e un endomorphisme, on cherche une base dans laquelle la matrice est la plus simple possible L’id´ee, c’est qu’une homoth´etie, c’est ce qu’il y a de plus
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Probl eme 1 Etude d’une fonction int egrale
Probl eme 2 Endomorphismes cycliques Dans tout le probl eme, Ed esigne un K-espace vectoriel de dimension nie (K = R ou C) Pour tout endomorphisme ude E, on note u0 = Id E (application identit e de E), et pour tout entier naturel k, uk+1 = uk u Si Q(X) = q 0 + q 1X+ + q mXm 2K[X], on pose pour tout u2L(E) : Q(u) = q 0Id E + q 1u+ + q mum 2L(E):
PROBLÈMES CORRIGÉS-MP Sommaire ½ º ¾Problème II : Fonction ζ et η deRiemann On considère un endomorphisme nilpotent u de E, c'est à dire un
ProbCor Bis
25 mai 2013 · On note ν(f) ∈ N⋆ cet entier, appelé indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn Dans cette question,
corrige ds
Endomorphismes nilpotents Thèmes : espaces vectoriels, applications linéaires, dimension finie Dans tout le problème K désigne ℝ ou ℂ Soit E un K -espace
Endomorphismes nilpotents
apr`es avoir donné la définition d'un endomorphisme nilpotent et de l'indice de nilpotence (illustrer avec des exemples), il faut donner des caractérisations
endo nilp
Résultats classiques sur les endomorphismes nilpotents Soit K un corps commutatif, E un K − ev de dimension finie n, u un endomorphisme nilpotent de E 1
matieres
ECS 2 Novembre 2010 Devoir n ◦ 9, endomorphismes nilpotents I Problème L'espace vectoriel E est de dimension n ≥ 1 Si φ ∈ L(E), on pose φ 0 = IdE et
dev
Soit t un endomorphisme nilpotent non nul de E, et r son indice de nilpotence (a) t ne peut pas être un automorphisme, sinon tr serait également bijective, ce qui
corrsujet
F On consid`ere l'endomorphisme u de E dont la matrice dans la base B est ((0) Ip (0) (0) ) Alors u est nilpotent car sa matrice dans une base est triangulaire
ds produitnilp corr
ENDOMORPHISMES NILPOTENTS Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1 Definition 0 1 Un endomorphisme g ∈ EndK(E) est nilpotent s'il
nilpotent
25 mai 2013 On note ?(f) ? N? cet entier appelé indice de nilpotence de f. Partie I. Deux exemples. 1. Endomorphisme nilpotent de Kn.
½ º ½Problème:extraitcnc2007PSI . ½ º ¾Problème II : Fonction ? et ? deRiemann. ... On considère un endomorphisme nilpotent u de E
2 avr. 2019 La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas ...
3 oct. 2020 La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas ...
Le but de ce problème est d'établir quelques propriétés des sous-algèbres I.1 Soit T un endomorphisme nilpotent non nul de E r le plus petit entier ...
Préliminaires - endomorphismes nilpotents trace d'un endomorphisme si l'endomorphisme f
2 avr. 2014 4.3.2 Décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents . ... Introduction : Lorsque nous sommes face à un problème d'algèbre ...
Dans tout le problème E désigne un espace vectoriel de dimension finie sur le On dit qu'un endomorphisme u ? (E) est nilpotent si et seulement si il ...
Soit u un endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension finie non nulle n. On appelle p l'indice de nilpotence de u c'est-à-dire le plus petit entier
For a nilpotent endomorphism f (resp matrix A 2Mat n(C)) we de ne the exponent of f (resp of A) denoted (f ) (resp (A)) to be the smallest r 2N such that f r = 0 (resp Ar = 0) Therefore if (f ) = r then there exists v 2V such that f r 1(v) 6= 0 V For v 2V we de ne the height of v (with respect to f ) denoted ht(v) to be the smallest
† Calculer la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents
1 a Justifier que si f est nilpotent et que f et g commutent alors f g est nilpotent 1 b Justifier que si f g est nilpotent alors g f est nilpotent 1 c On suppose que f est nilpotent Montrer que l’endomorphisme Id ?f est inversible 2 Soit f un endomorphisme nilpotent de E
D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N? tel que fp = 0 L(E) Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N? tel que fp = 0L(E) On note ?(f) ? N ? cet entier appel´e indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn
Lemme 1 Soit u ? End (E) un endomorphisme nilpotent d'indice de nilpotence ? = ?(u) Soit v ? E un vecteur tel que u??1(v) 6= 0 Alors le système (vu(v) u??1(v)) est libre Corollaire 1 On a donc toujours ?(u) ? dim(E) et donc udim(E) = 0 ourp tout endomorphisme nilpotent u de E
Exercice 649
Enoncé: On montre quelques propriétés de base de la nilpotence : Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)k+l?1(A+B)^{k+l-1} (A+B)k+l?1et développer cette quantité Pour la dernière ligne, on a fait le changement d’indice i?=k+l?...
Exercice 115
Enoncé: Corrigé: On appelle ceci une racine de matrice. Vous allez voir, la démonstration fait appel à des concepts d’analyse. Notons n l’ordre de nilpotence de A. On sait que le développement limité de 1+xsqrt{1+x} 1+x?est Ce qui peut se résumer sous la forme 1+x=?k=0nakxk+o(xn)sqrt{1+x} = displaystyle sum_{k=0}^n a_k x^k +o(x^n)1+x?=k=0?n?ak?...
Comment savoir si un endomorphisme est nilpotent ?
PROBL`EME 1 Dans tout le probl`eme E d´esigne un espace vectoriel de dimension ?nie sur K = R ou C. D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N?tel que fp= 0 L(E). Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N?tel que fp= 0L(E). On note ?(f) ? N ?cet entier, appel´e indice de nilpotence de f.
Comment calculer le commutant d’un endomorphisme nilpotent ?
†SoitM=S+Nla d¶ecomposition de Dunford deMen semi-simple plus nilpotent. Montrez queSest dans l’adh¶erence de la classe de similitude deM. †Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent.
Comment savoir si f est nilpotent ?
Autrement dit, f26= 0 et f3= 0, cequi revient `a dire que f est nilpotent d’indice 3. N b. Posons ~e3= (0,0,1).
Comment se démarquer des endomorphismes diagonalisables ?
Remarque d’ordre g¶en¶eral: comme pour la le»conEndomorphismes diagonalisables, il faut se d¶emarquer de la le»con R¶eduction des endomorphismes, en se concentrant sur les endomorphismes nilpotents. Comme motivation on peut mentionner la d¶ecomposition de Dunford.
CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N?08