La classe de similitude d’une matrice n n nilpotente B sur un corps k est donn ee par une partition P B de n donnant les blocs de Jordan : c’est le \type de Jordan" de B Nous etudions les paires de matrices nilpotentes A;B qui commutent : A 2N(B) le commutant nilpotent de B Etant donn e P = P B, nous ecrivons Q = Q(P) pour le type de
Exercice 30 (**)Etude des matrices nilpotentesUne matrice N2M n(R) est dite nilpotente s’il existe p2N tel que Np = 0 1 Donner des exemples de telles matrices 2 Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut pas ^etre inversible 3 On suppose que Net Msont deux matrices nilpotentes qui commutent Montrer que N+ M et NMsont nilpotentes
1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,
Exercice 17 Soit A ∈Mn (R)une matrice nilpotente d’ordre p >1 On pose B =In −A 1 Montrer que B est inversible et exprimer son inverse à l’aide de A (penser à la factorisation de I −Ap) 2 Application : B = 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1
Une matrice N est dite nilpotente s’il existe un entier k 1 tel que Nk = 0 Montrer qu’une matrice diagonalisable est nilpotente si et seulement si elle est nulle Exercice 10 Soit E un espace vectoriel On dit que deux endomorphismes f et g de E commutent si et seulement si g f = f g 1
1 5 Matrice de rang 1 : Soit Aune matrice de M n(R) a) Montrer que rg (A) = 1 si et seulement si il existe deux matrices colonnes U et V non nulles telles que A= U tV b) Soit Aune matrice de rang 1 Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si rT (A) 6= 0 c) Si Aest une matrice de rang 1, calculer Ak pour tout entier k∈ N
Le th eor eme de Jordan (admis ici) dit que toute matrice nilpotente est semblable a une matrice P diagonale par blocQ ou chacun des blocs diagonaux est un bloc de Jordan, c’est- a-dire de la forme : ™ Œ Œ Œ fl N p 1 O ::: O O N p 2 ⋮ ⋮ O O ::: O N p r fi Š Š Š Ł; chacun des Oapparaissant dans cette matrice etant une matrice
de la matrice Bn 2 a) Montrer que N est une matrice nilpotente d’ordre 2 b) V eri er que BN = N = NB c) Montrer que 8n 2N; BnN = N d) Par application de la formule du bin^ome de Newton et en justi ant l’utilisation, calculer An en fonction de B, N et n e) Expliciter les neufs coe cients de la matrice An 1
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Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157
Chapitre I Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157 I 1 ThéorèmedeLie-Kolchin [1,ExerciceIV-B6] OnnoteD(K) legroupedérivéd’ungroupeK,c’est-à-direlesous-groupe
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Nilpotent et diagonalisable, je t’aime, moi non plus
L´indice de nilpotence d´une matrice N nilpotente de M p(C) est inf´erieure ou ´egal a p Autrement dit, N est nilpotente si, et seulement si, Np = 0 Remarque : Le cone nilpotent est ferm´e (non compact puisque non born´e) dans M p(C) puisque c´est l´image r´eciproque du ferm´e {0}par l´application continue M 7→Mp Si M est un ´el´ement de M p(C), son polynˆome caract´eristiq
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Sans titre
nilpotente d’ordre inf´erieur ou ´egal `a n Remarque 6 1 3 – L’ordre de nilpotence de N 2Mn(C) est toujours inf´erieur `a n – Si N est une matrice nilpotente et diagonalisable, alors N est semblable `a la matrice nulle, donc est nulle L’exponentielle d’une matrice nilpotente est, en principe, facile a
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Université Grenoble Alpes L3 MIASHS TP : Exponentielle d
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Chapitre 13 : Matrices - résumé de cours
• Pour toute matrice carrée A, AI n = I n A = A Def: On peut définir des puissances entières dans n ( ) de la façon suivante : A M n ( ), A0 k+1= I n ket k , A = Ak A = A A Vocabulaire : le produit n’étant pas intègre, il existe des matrices non nulles ayant une puissance entière nulle De telles matrices sont dites nilpotente
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Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs K sera le corps R ou C, E un K-espace vectoriel de dimension finie 1 Trigonalisation Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable à une matrice triangulaire 1 1 Trigonalisation On rappelle qu’une matrice A Taille du fichier : 204KB
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Exercice 1* es matrices suivantes, où a≠b
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TD 13 Calcul matriciel - heb3org
est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1) Soit M ∈ Mn(K) On supposequ’il existe p ∈ N ∗ tel que Mp =0 Calculer (In −M) pP−1 k=0 Mk (Q 2) En déduire que In −M est inversible et déterminer son inverse Exercice 14 : On considère la matrice J ∈ Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1 Exprimer Taille du fichier : 128KB
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Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison
On rappelle qu’une matrice N 2M n(C) est dite nilpotente d’ordre m si Nm =0, et si pour tout k dans N, k
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Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES 2 FILIERE PSI
nilpotente En résumé, A est nilpotente si et seulement si χA =Xn Q 15 On redit que si 0 est l’unique valeur propre de A, alors χA =Xn puis An =0 et donc A est nilpotente Q 16 Soit T une matrice triangulaire à diagonale nulle Alors, χT =Xn puis T est nilpotente d’après la question Q14 http ://www maths-france 2 c Jean-Louis
13 fév 2012 · Autrement dit Aj = λjI + Nj avec Nj matrice nilpotente d'ordre mj 6 1 1 Matrices nilpotentes Définition 6 1 1 Une matrice N 6= 0 est nilpotente
cours
Autrement dit, cette matrice est semblable à la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente 3 1 Énoncé Définition 3 On dit qu'un endomorphisme
ch jordan
25 sept 2013 · Matrice nilpotente 10 Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices 11 Exponentielle d'une matrice 12 Interprétation matricielle
MATRI
Ces valeurs propres sont toutes nulles car N est nilpotente et donc la diagonale de T est nulle En résumé, N est semblable à une matrice triangulaire à diagonale
Centrale PSI M Corrige
Une matrice diagonale par blocs du type Jλ,l est appelé matrice de Jordan 2 2 Existence c'est-à-dire u = λId + n, avec n nilpotente Il suffit alors, de traiter le
jorfro
On peut par exemple prendre une base dans laquelle la matrice de u est tri- Si une matrice est nilpotente, sa seule valeur propre est 0, quel que soit le corps
matieres
8 3 Structure des matrices nilpotentes Définition 9 Soit A ∈ Mn(IC) On dit que A est nilpotente s'il existe k ∈ IN tel que Ak = 0 p = min{k ∈ IN, Ak = 0} est dit
LM Feuille
On note N et D les cônes des matrices nilpotentes et diagonalisables de Mp(C) On choisit la lettre N (resp D) pour désigner une matrice nilpotente (resp
nilpotent diagonalisable Hoareau
2 avr 2019 · nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle Q 17 Démontrer que, si est une matrice nilpotente d'indice , alors
M
dim(ker(u) = multg(0) Alors E admet une base dans laquelle u est donné par une matrice formée par k blocs de Jordan La taille maximale de
cours . LMAT .
13 fév 2012 · Autrement dit Aj = ?jI + Nj avec Nj matrice nilpotente d'ordre mj 6 1 1 Matrices nilpotentes Définition 6 1 1 Une matrice N 6= 0 est
Matrices nilpotentes matrices trigonalisables Leçon 157 I 1 Théorème de Lie-Kolchin [1 Exercice IV-B6] On note D(K) le groupe dérivé d'un groupe K
Démontrer que sur C une matrice est nilpotente si et seule- ment si 0 est son unique valeur propre Est-ce encore vrai sur
C'est dire que A est semblable à la somme d'une matrice diagonale avec une matrice nilpotente Comme conséquence directe : Corollaire 2 Soit f un endomorphisme
Soit N une matrice nilpotente il existe q ? N tel que Nq = 0 Montrer que la matrice I ?N est inversible et exprimer son inverse en fonction de N
15 juil 2010 · Ai converge vers un projecteur 1 3 2 Matrices nilpotentes Une matrice N ? M(n K) est dite nilpotente si Ns = 0
On appelle un telle matrice triangulaire supérieure bloc espace est nilpotente d'indice de nilpotence au plus égal `a celui de u Démonstration
2 avr 2019 · La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas
Étant donné une matrice nilpotente N on appelle exponentielle de N et on note a Montrer que toute combinaison linéaire de deux matrices nilpotentes qui
On dénombre les matrices carrées à coefficients dans un corps fini Fq qui sont nilpotentes d'indice maximal Ce développement présente un lien avec les
(b) Show that all eigenvalues of a nilpotent matrix are 0 (c) Deduce by proving the converse to (b) that a matrix A ? Fn×n is nilpotent if and only if all its eigenvalues are 0 (Hint: Cayley-Hamilton) (d) Deduce that if A ? F n× satis?es Am = 0 for some m ? N then An = 0 (a) Take x to be an eigenvector of A with eigenvalue ?
Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur’s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A The o?-diagonal entries of Tseem unpredictable and out of control
LEMMLIA 2 lf A und B are matrices or;er a field IF with more than tzLo elements and if ecery linear combination of A and B is nilpotent then tr(AB”) = 0 Proof Write B in its Jordan form as in the proof of Lemma 1 Let S(M) be the sum of 3X3 principal minors a matrix M; thus
The Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur™s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A:The o?-diagonal entries of T seem unpredictable and out of
de Jordan de la matrice nilpotente Cette derni`ere est d´etermin´ee entre Alice et Bob par le logarithme discret modulo p Oscar doit trouver une matrice dans un nombre consid´erable de choix possibles 2 Rappels d’alg`ebre lin´eaire Une matrice X est nilpotente s’il existe k tel que Xk = 0 [4]
Linear Algebra Done Right
Is a square matrix nilpotent?
Nilpotent matices Recall that a square matrix is nilpotent is some positive power of it is the zero matrix. Let F be a ?eld. (1) (a) Suppose that A ? Fn×nhas a nonzero eigenvalue ?.
What is tr(AB) of nilpotent matrix?
If A, B, and A + B are nilpotent matrices over a field F, then tr(AB) = 0. Proof. Choose a basis relative to which B is in Jordan form; thus 0 0 B= : 0 -0 81 0 0 0 6, 0 0 0 0 > 6,-l 0 _ SPACES OF NILPOTENT MATRICES 217 where ai = 0 or 1 (i = 1,. , n - 1).
What are the spaces of nilpotent matrices 219?
SPACES OF NILPOTENT MATRICES 219 tr(A”‘) = 0 for all positive integers m (here we use the hypothesis that the underlying field has characteristic zero). Fixing m and viewing as a polynomial p in k indeterminates, we note that if
Does E L generate a linear space of nilpotents?
Then {E, L) generates a linear space of nilpotents afand only af {E, L) is triangularizable. Proof. It is obvious that if {E, L} is triangularizable, then (E, L) gener- ates a linear space of nilpotents.
[PDF] Cours 6 - 13/02/2012