Ce dernier système est une représentation paramétrique de d, avec
La représentation paramétrique des surfaces est donc une généralisation des modes de représentation connus jusque là 2 Points réguliers, plan tangent, normale 2 1 Point régulier d’une surface Définition 5 Le point M(u;v) de la surface SˆR3 de représentation paramé-
algorithme en O (n3) pour obtenir une telle représentation Une application à la maximisation de différentes classes de fonctions pseudo-booléennes est proposée Mots clés : Équation booléenne quadratique, représentation paramétrique, graphe d'implica-tion, fermeture transitive, complexité (*) Received February 1987
1)Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) 2) déterminer les points d’intersections de la droite (AB) Avec les axes du repère solution cad : 1) AB 3 2;7 1 AB 5;6 la droite (AB) passe par et de vecteur directeur donc une représentation paramétrique de la droite (AB) est : 25 16 xt AB t yt ® ¯
B Représentation paramétrique d’une droite: a Activité : Soit D A,u une droite du plan qui est rapporté au repère ( voir figure ci-contre ) 1 Construire un point M de tel que AM et u sont colinéaires 2 Ecrire le vecteur en fonction de 3 On pose: M x,y et A x ,y et u a,b AA exprimer x et y
Utiliser la représentation paramétrique d'une droite, d'un plan 13 et 14 page 243 ; 121 page 252 I - Les vecteurs dans l'espace a) Notion de vecteur de l'espace Les définitions et les calculs sur les vecteurs du plan peuvent être étendus à l'espace
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ orthogonale au plan (PQR) passant par le point D b) En déduire les coordonnées du point H c) Démontrer que le point H appartient à la droite (PR) EXERCICE 3 – MAI 2014 (5 points) On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé ( O; Åi, Åj, Åk)
2) Déterminer une représentation paramétrique de ce plan 3) a) Prouver que les plans (ABC) et O, ~ı, ~ ne sont pas parallèles b) En déduire une représentation paramétrique de la droite ∆ intersection de ces deux plans Exercice20 L’espace est rapporté à un repère O, →− ı , →− , →− k On note d1 la droite passant
Par exemple, soit le plan d’équation 2 x − y + 3 z − 2 = 0 et la droite de représentation paramétrique x=-2+t y=1+t z=2t où t ☻ Åu 1 1 2 est un vecteur directeur de la droite et Ån 2 -1 3 est un vecteur normal au plan
SVF 103 1 On considère la droite D1 dont une représentation paramétrique est donnée par : D1 = t(1+3t,´t,2´5t) : t P Ru Décrire D1 comme l’intersection de deux plans 2 On considère la droite D2, intersection des plans d’équations respectives x + y + z = 4 et ´x + 3y ´ z = 7 Donner une représentation paramétrique de D2 SVF
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Exercices corrigés PROF: ATMANI NAJIB
intersection de deux plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection Représentation paramétrique d’une droite Exercices corrigés PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths e-monsite com PROF: ATMANI NAJIBTaille du fichier : 1MB
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REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d 1) P et P' sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires Un vecteur normal de P est P*⃗-−1 2 1 1 et un vecteur normal de P' est P***⃗′-2 −1 3 1 Les coordonnées des deux vecteurs ne
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Droites et plans de l'espace
La représentation paramétrique d'une droite n'est donc pas unique Dans l'exemple proposé, on passe de l'une à l'autre en effectuant le changement de paramètre s = t-1 2- Droite intersection de deux plans Soient P 1 et P 2 deux plans d'équations respectives a1x + b1y + c1z + d1 = 0 et a2x + b2y + c2z + d2 = 0 Si leurs vecteurs normaux n1a1, b1, c1 et n2 a2, b2, c2 ne sont pas
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Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Déterminer une représentation paramétrique de la droite d’intersection (d) des plans (P) et (P′) Vidéo Exemple : On donne les équations cartésiennes de deux plans (P) : 2x +4y +4z −3 = 0 (P′) : 2x −5y +4z −1 = 0 Démontrer que les plans (P) et (P′) sont orthogonaux Vidéo 3
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Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Intersection de deux plans (P) : −x + 2y + z − 5 = 0 (P′) : 2x − y + 3z − 1 = 0 Déterminer une représentation paramétrique de la droite d’intersection (d) des plans (P) et (P′) Vidéo Plans orthogonaux (P) : 2x + 4y + 4z − 3 = 0 (P′) : 2x − 5y + 4z − 1 = 0 Démontrer que les plans (P) et (P′) sont orthogonaux Vidéo
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Fiche 8 : Droites et plans dans l’espace
Lorsque deux des trois plans sont sécants, on détermine une représentation paramétrique de leur droite d’intersection Ensuite on étudie la position relative de cette droite et du
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F033 Intersection de droites et de plans - ac-dijonfr
Intersection de droites et de plans d est une droite de l'espace passant par A On transforme le système en une représentation paramétrique de D en posant z = t , puis en exprimant x , puis y en fonction de t Position relative de 3 plans Premier cas : deux plans par exemple , P et P' sont strictement parallèles 1) P" est parallèle à P et P' , alors les 3 plans n'ont aucun point en
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DROITES ET PLANS DE L’ESPACE - Planete2maths
Démontrer que les deux plans sont sécants 2 Donner une représentation paramétrique de la droite (d), intersection de ces deux plans Exercice n°9: Dans un repère orthonormé (O;i,j,k) GGG, les plans (P), (Q) et (R) ont res-pectivement pour équations cartésiennes xy+ ++z3=0,2x+2y+2z+7=0et3x−y+2=0 1
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Vecteurs, droites et plans dans l’espace
1 3 Parallélisme de deux plans Théorème 1 : Un plan (P) coupe deux plans parallèles (P1) et (P2) en deux droite parallèles (P1)//(P2) (P)∩(P1)=d1 (P)∩(P2)=d2 ⇒ d1 //d2 d2 d1 (P1) (P2) (P) 1 4 Section d’un cube ou d’un tétraèdre par un plan Principe pour déterminer la
−3 2 R Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite ( ) avec le plan de repère ( ;
Esp
Equations cartésiennes d'une droite dans le plan : On cherche une équation cartésienne de la droite passant par et L'intersection de deux plans et est une
mathematiques droites et plans le cours
Le système () est appelé représentation paramétrique de la droite ; est le paramètre ⃗ Δ étant une droite de l'espace, on considère deux plans 乡 et 乡′ sécants droite Δ, intersection des plans 乡 et 乡′ d'équations cartésiennes respec-
ts. droites plans
Calculer le point d'intersection des deux droites sécantes suivantes: a) (d): x =13 +5k 2) L'équation cartésienne d'une droite dans le plan était donnée sous la
Mre Geom anc
L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les L'intersection de deux plans est soit vide , soit un plan , soit une droite
eqcartplan
Démontrer que les deux plans sont sécants Donner une représentation paramétrique de la droite (d), intersection de ces deux plans 2 Intersection d'un plan
DroitePlanEspace
Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC) L'intersection des deux plans est une droite dont les coordonnées des points vérifient le système
unimath Espace Plans Correction
Si on a une représentation paramétrique, on utilise deux des équations en reportant On s'intéresse aux points d'intersections des trois plans et au lien avec
figuresgeodiapos
On appelle représentation paramétrique de d , le système ⎩│ ⎨ Si la droite d'intersection de deux des trois plans est sécante avec le troisième plan , alors
F Intersection de droites et de plans
1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^. 2.
Démontrer que les deux plans sont sécants. Donner une représentation paramétrique de la droite (d) intersection de ces deux plans. 2. Intersection d'un plan
1.2 Intersection de deux droites . 2 Représentation paramétrique d'un plan de l'Espace ... 1 Représentations paramétriques d'une droite de l'Espace.
Méthode 18 : Déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans. Démontrer que les plans (P) et (P') sont sécants suivant
1.1.1 Équation cartésienne (Rappels). 1. Soient et deux réels non tous les deux nuls. ? Toute droite de vecteur normal #»(; ) a pour équation.
est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d.
2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d. 1) P et P' sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Un
sont aussi des représentations paramétriques de la droite (D). III - Intersection de deux plans système de deux équations linéaires. On considère un plan (P) d
On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée. Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants. Si une droite d1 de P1 est parallèle à une
Le système est appelé représentation paramétrique de la droite 3. Démonstration. L'intersection de deux plans non parallèles est une droite.
I Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !" ; ?(?)*?+ Soit une droite d passant par un point - ! /! 0! 1 et de vecteur directeur 2*?3 4 5 6 7 On a : 83 / 0 7?: Il existe un réel < tel que = =!+4< /=!+5< 0=0!+6< Remarque : Ce système s'appelle une représentation paramétrique
Donner une représentation paramétrique de la droite (d) intersection de ces deux plans 2 Intersection d’un plan (P) et d’une droite (d) (d) est contenue dans (P) (d) est strictement parallèle à (P) (d) et (P) sont sécants en un point (d) (P 1) (P 2) (P) (d) x A (P 1) = (P 2) (P 1) (P 2) (d) (P) (d)
On appelle représentation paramétrique de d le système x = x A + ta y = y A + tb z = z A + tc t ? R D une droite passant par A(x Ay Az A) de vecteur directeur ? u (abc) et d une droite passant par B(x By Bz B) de vecteur directeur ? v (def) ? D et d sont parallèles si et seulement si ? u et ? v sont colinéaires
On appelle représentation paramétrique de d le système x = x A + ta y = y A + tb z = z A + tc t ? R D une droite passant par A(x Ay Az A) de vecteur directeur ? u (abc) et d une droite passant par B(x By Bz B) de vecteur directeur ? v (def) ? D et d sont parallèles si et seulement si ? u et ? v sont colinéaires
Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?
Une dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans consiste à utiliser une équation vectorielle.
Comment déterminer l’ensemble des équations paramétriques de la droite d’intersection ?
Pour déterminer l’ensemble des équations paramétriques de la droite d’intersection, nous devons définir une variable en fonction du paramètre, substituer cette expression dans les équations des plans, puis réarranger les équations résultantes pour trouver les expressions des deux autres variables en fonction du paramètre.
Quels sont les paramètres d’une droite ?
et on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l’espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires
Quelle est la différence entre un plan et un intersection ?
Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan L'intersection de trois plans peut être : l'ensemble vide, un point, une droite ou un plan. (On pourra déterminer ces intersections en écrivant les systèmes formés avec les équations cartésiennes des plans.)
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS