Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x Ensemble de dØ˝nition [ 1;1] [ 1;1] R R PØriode aucune aucune aucune aucune ParitØ impaire aucune impaire aucune Ensemble de dØrivabilitØ] 1;1[ ] 1;1[ R R DØrivØe 1 p 1 x2 1 p 1 x2 1 1+x 2 1 1+x 3 Relations Arccos x+Arcsin x = ˇ 2 Arctan x+Arctan y = Arctan x+y 1 xy +"ˇ avec " = 8 >> < >>: 0 si xy
arctan(x) R 1 1+x2 Opération Dérivée f+g f0+g0 fg f0g+fg0 f g f0g fg0 2 g f f0 g0 f 1 u u0 u2 un nu0un 1 p u u0 2 p u eu u0eu ln(u) u0 u sin(u) ucos(u) cos(u) u0sin(u)
Attention : par contre arctan(tan ) n'est pas forcément égal à (c'est égal à seulement quand 2] ˇ 2; ˇ 2 [) Dérivée : la fonction arctan est dérivable sur R, et 8x2R; arctan(x)0= 1 1+x2: (Ceci est très utile pour calculer des primitives de fractions rationnelles ) Démonstration : pour 2] ˇ 2; ˇ 2 [, tan( )0= 1+tan2 6= 0 donc pour
5, la fonction arctan est d erivable en yet (arctan)0(y) = 1 1 + tan2(x) = 1 1 + tan2(arctan(y)) Or pour tout y2R, tan2(arctan(y)) = y2 On vient de d emontrer la propri et e suivante Propri et e 6 La fonction arctan est d erivable sur R et 8x2R; (arctan)0(x) = 1 1 + x2 Exercice 3 Donnez l’ ecriture exponentielle des nombres complexes
et arctan tan 9π 4 = π 4 Exercice 2 1)Posons f: R∗→R la fonction dé˙nie par f(x) = arctan(x) + arctan 1 x Cette fonction est dérivable sur R∗, et pour tout x∈R∗on a f0(x) = f0(x) = 1 1 + x2 − 1 x2 1 1 + 1 x2 = 0 Ainsi, on en déduit que : — fest constante à une valeur c 1 sur l’intervalle ]−∞,0[, — fest constante
Formulaire de trigonométrie circulaire A 1 B x M H K cos(x) sin(x) tan(x) cotan(x) cos(x) = abscisse de M sin(x) = ordonnée de M tan(x) = AH cotan(x) = BK
Arctan x+Arctan y = Arctan x +y 1−xy +επ où ε = 0 si xy < 1 1 si xy > 1 et x,y > 0 −1 si xy > 1 et x,y 6 0 Arctan x +Arccot x = π/2 Arccot x = (Arctan 1/x si x > 0 π +Arctan 1/x si x < 0 Arctan x +Arctan 1/x = sign(x)×π/2 III Formules 1 Corollaires du théorème de Pythagore cos2 x +sin2 x = 1 cos2 x = 1 1+tan2 x sin2 x = 1 1+cot2 x
Quelle valeur de x minimise l’angle entre Utiliser le triangle remarquable ap- la valeur principale pour arcsec) c)arctan(1) =
1) Calculer la valeur exacte de sin x 2) En déduire la valeur exacte de tan x 1) On a sin 2 x + cos 2 x = 1 D’où sin 2 x + 0,4 2 = 1 sin 2 x + 0,16 = 1 sin 2 x = 0,84 sin x = - 0,84 ou sin x = 0,84 or le sinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1 donc sin x = 0,84 2) On a tan x = sin x cos x tan x = 0,84 0,4 tan x = 84 100 × 1 0,4
en tout x donn´e, il existe au plus une valeur de n telle que u n(x) 6= 0) Exercice 18 On consid`ere la s´erie de fonctions X n≥2 u n avec u n(x) = xe−nx lnn pour x ∈ [0,+∞[ Exercices d’analyse 4 M Del´eglise
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TrigonomØtrie I Fonctions circulaires - H&K
Arctan x+Arctan y = Arctan x+y 1 xy +"ˇ avec " = 8 >> < >>: 0 si xy < 1 1 si xy > 1 et x; y > 0 1 si xy > 1 et x; y 6 0 Arctan x+Arccot x = ˇ 2 Arccot x = 8 >< >: Arctan 1 x si x > 0 ˇ +Arctan 1 x si x < 0 Arctan x+Arctan 1 x = sign(x) ˇ 2 III Formules 1 Corollaires du thØorŁme de Pythagore cos2 x+sin2 x = 1 cos2 x = 1 1+tan2 x sin2 x = 1 1+cot2 x = tan2 x 1+tan2 x
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1 Fonctions r eciproques des fonctions trigonom etriques
Comment conna^ tre la valeur de arctan(y) (pour quelques valeurs remarquables de y) ? Pour tout y2R, arctan(y) est un angle compris entre ˇ 2 et ˇ 2 dont la tangente vaut y En vous inspirant des tableaux de valeurs qui ont et e faits pour les fonctions arccos et arcsin, vous pouvez faire de m^eme avec la fonction arctan Repr esentation graphique
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I Propriétés fondamentales
fonction arctangente : arctan : R i ˇ 2; ˇ 2 h Pour x2R, arctanxest égal à l'unique angle dans ] ˇ 2; ˇ 2 [ tel que tan = x On a donc : 8x2R; tan(arctanx) = x Attention : par contre arctan(tan ) n'est pas forcément égal à (c'est égal à seulement quand 2] ˇ 2; ˇ 2 [) Dérivée : la fonction arctan est dérivable sur R, et 8x2R; arctan(x)0= 1 1+x2:
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Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules
[; x= tan( ) ,arctan(x) = : Arcsinus Arccosinus Arctangente Propriété 4 1 8x2[ 1;1];sin(arcsin(x)) = x 2 8x2[ 1;1];cos(arccos(x)) = x 3 8x2R;tan(arctan(x)) = x Ici xappartient au domaine de défi-nition de la fonction réciproque Propriété 5 1 8 2[ˇ 2; ˇ 2];arcsin(sin( )) = 2 8 2[0;ˇ];arccos(cos( )) = 3 8 2] ˇ 2; ˇ 2 [;arctan(tan( )) =
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Tableaux des dérivées
arctan(x) R 1 1+x2 cosh(x) R sinh(x) sinh(x) R cosh(x) tanh(x) R 1 tanh2(x) = 1 cosh2(x) arcosh(x) ]1;+1[1 p x2 1 arsinh(x) R 1 p x2 +1 artanh(x) ] 1;1[1 1 x2 Opération Dérivée f+g f0+g0 fg f0g+fg0 f g f0g fg0 g2 g f f0 g0 f (fg)(n) Xn k=0 n k f(k)g(n k) f 1 0 1 f0 1 1 u u0 u2 u ; 2R u0u 1 p u u0 2 p u ln(u) u0 u exp(u) u0exp(u) cos(u) u0sin(u) sin(u) u0cos(u) 1
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Formulaire de trigonométrie circulaire
Formulaire de trigonométrie circulaire A 1 B x M H K cos(x) sin(x) tan(x) cotan(x) cos(x) = abscisse de M sin(x) = ordonnée de M tan(x) = AH cotan(x) = BK
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TD 4 Fonctions circulaires et hyperboli˙es
Ceci nous permet d’a˝rmer que fest constante à une valeur csur l’intervalle ]−1,+∞[ Pour trouver con peut, par exemple, évaluer fen x= 0 On trouve alors : ∀x>−1, f(x) = f(0) = arctan−1 −arctan0 = − π 4, ce qui revient bien à arctan x−1 x+ 1 = − π 4 + arctanx 3)Posons f:]−1,1[→R dé˙nie par f(x) =
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Suites et s´eries de fonctions
arctan x √ n · Montrer que P +∞ n=1 u n converge uni-form´ement sur R vers une fonction impaire continue et born´ee Exercice 24 1 Montrer que la s´erie P n≥2 u n, ou` u n(x) = sin(nx) √ n+cos(nx), converge uniform´ement sur tout intervalle [α,π −α], avec 0 Taille du fichier : 92KB
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1 Démonstrations du formulaire de trigonométrie
1 Démonstrations du formulaire de trigonométrie: 1 1 Formules d'addition: a) cos a b : On sait que eix=cos x isin x Donc cos x =ℜ eix Or cos a b =ℜ ei a b On a alors ei a b =eiaeib= cos a isin a cos b isin b = cos a cos b −sin a sin b i sin b cos a sin a cos b
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Développements limités usuels en 0 - H&K
Arctan x+Arctan y = Arctan x +y 1−xy +επ où ε = 0 si xy < 1 1 si xy > 1 et x,y > 0 −1 si xy > 1 et x,y 6 0 Arctan x +Arccot x = π/2 Arccot x = (Arctan 1/x si x > 0 π +Arctan 1/x si x < 0 Arctan x +Arctan 1/x = sign(x)×π/2 III Formules 1 Corollaires du théorème de Pythagore cos2 x +sin2 x = 1 cos2 x = 1 1+tan2 x sin2 x = 1 1+cot2 x = tan2 x 1+tan2 x
1 cos2 x −1−cotan 2 x = −1 sin2 x 2 Valeurs remarquables +π/2 dont l' image par sinus vaut x (Arcsin est une fonction) On a donc les relations suivantes :
trigonometrie
La bijection réciproque de f est appelée « fonction arctangente » 1 Arctan : ; 2 2 Arctan On utilise une lecture inverse du tableau des valeurs remarquables
Fonction arctangente
On peut donner explicitement quelques valeurs remarquables : cos(0) = 1 ; cos 2, arctan ( 1 x) + arctan(x) = signe(x) π 2 arctan(x) + arctan(y) = arctan ( x + y
formulaire trigo
Les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de 2 FONCTIONS ARCSINUS, ARCCOSINUS ET ARCTANGENTE cos Arcsin x = sin Arccos x = 1 − x2
Cours Fonctions circulaires
I 1 Valeurs particulières θ 0 π 6 π III 2 Les fonctions arccos, arcsin, arctan N B : Il faut Dérivée : la fonction arcsin est dérivable sur ] − 1,1[, et ∀x ∈] − 1
MAT Rappels trigo
2 arctan ( 1 3 ) Correction exercice 2 1 0
TD correction
Ensemble de définition et valeurs de cos(Arctan x) et sin(Arctan x) Ce qu'il y a de remarquable, c'est qu'à l'époque, le calcul infinitésimal (dérivée, tangente à
FonctionsReference
arcsin(x) ] - 1; 1[ 1 / 1 - x2 arctan(x) R 1 1 + x2 Opération Dérivée f + g f + g f · g f · g + f · g sin(x) cos(x) Valeurs spéciales des fonctions trigonométriques
Tableaux formulaires fonctions usuelles, d C A riv C A es, primitives
Soit x ∈ R On pose t = Arctan (x) de sorte que x = tan(t) et −π 2
corrige ds
Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangente Il faut prendre garde au fait que l'expression Arcsin(sinθ) est définie pour tout θ ∈ R
chapitre
Pour le calcul la calculatrice utilise l'algorithme CORDIC. Page 3. 5°) Valeurs remarquables. On utilise une lecture inverse du tableau des
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf
la tangente: Soit z=a+ib non nul. Si a>0. Alors de tan(?)=b/a avec la calculatrice ou le tableau des valeurs remarquables
Valeurs remarquables : ? ln(1) = 0. ? ln(e) = 1 Autres propriétés remarquables : ... ?x ? R+ Arctan(x) ? x (comparaison à la tangente en 0).
2 arctan (. 1. 3. ) Correction exercice 2. 1. 0 <. 1. 3. < 1 ? arctan(0) < arctan (. 1. 3. ) < arctan(1). Car arctan est strictement croissante donc.
fonction arctangente. même s'il avait oublié quelques valeurs remarquables de la fonction arctan – et qu'il ne parvenait pas `a les retrouver.
Si ? est la valeur principale des fonction trigonométriques inverses impliquée alors arcsin(sin(?)) = ? arccos(cos(?)) = ? arctan(tan(?)) = ?.
Valeurs remarquables de cosinus sinus et tangente 2. f est la composée de arctan et g donnée par g(t) = sin(t). 1 ? cos(t). : f = arctan ?g.
Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus cosinus et tangente Il faut prendre garde au fait que l'expression Arctan(tan?) est définie pour tout ...
f(x)=arcsin(x) g(x)=arccos(x) h(x)=arctan(x)?? a) Fonctions hyperboliques f(x)=sinh(x)g(x)=cosh(x) h(x)=tanh(x)? Sinus et cosinus : valeurs remarquables.
On utilise une lecture inverse du tableau des valeurs remarquables Nous pouvons également obtenir les valeurs des arctangentes de (cf voir V) x 0 6
1 mar 2017 · On note arctan : R ? [??/2 ?/2] la fonction réciproque i e si x ? R alors y = arctanx ? tany = x ET ? ?/2
1 + tan2( ) = 2sin( ) cos( ) × cos2( ) = 2sin( )cos( ) = sin(2 ) 3 sin(2arctan( 1 3 )) = 2tan(arctan ( 1 3))
On peut donner explicitement quelques valeurs remarquables : cos(0) = 1 ; cos (?6) = ?3 2; cos (?4) = ?2 2; cos (?3) = 1 2; cos (?2) = 0 On en déduit
La fonction Arctan est impaire La démonstration de ce théorème est identique à la démonstration du théorème 14 page 21 Valeurs usuelles de la fonction
Fonctions tangente et arctangente 4 Formules trigonométriques 5 Angles remarquables Elle est `a valeurs dans l'intervalle [?1; 1] Julian Tugaut
I 1 Valeurs particulières III 2 Les fonctions arccos arcsin arctan Dérivée : la fonction arcsin est dérivable sur ] ? 11[ et
Remarquons que Arctan réciproque d'une fonction impaire est elle aussi impaire Voici quelques valeurs remarquables de la fonction Arctan x 0 ? 3 3
[ arctan[tan(y)] = y 2) On a aussi : ?x?[-1 ;1] arcsin(-x) = -arcsin(x) et ?x
Quel est la valeur de arctan ?
La règle de la fonction arc tangente de base est f(x)=arctan(x). f ( x ) = arctan ? On note aussi cette fonction f(x)=tan?1(x). f ( x ) = tan ? 1 ?Comment montrer que la fonction arctangente est impaire ?
tan y x = - - . Arctan x y - = - . Arctan Arctan y y - = - . Il en résulte que la fonction Arctan est impaire.Comment calculer les limites de arctan ?
- Si ab < 1 alors cos(Arctan a + Arctan b) > 0 et donc (Arctan a + Arctanb )est compris entre -pi/2 et pi/2 .- Nous pouvons alors définir la fonction arctangente de la façon suivante. les asymptotes horizontales. En posant l'angle y=arctan(x), on cherche donc à simplifier l'expression cos(arctan(x))=cos(y). Ainsi, cos(arctan(x))=cos(y)=1?x2+1.
La fonction Arctangente