b) L’enveloppe convexe d’un ensemble A ⊂ Rn est d´efinie comme le plus petit ensemble convexe de Rn contenant A – que l’on note convA Montrer que convA = {x ∈ Rn: ∃ κ ∈ N,ai ∈ A,αi >0, tels que x = Pκ i=1αi ai et Pκ i=1αi = 1} Exercice 2 Ensembles convexes de matrices Soit S++ n l’ensemble des matrices d´efinies
respectivement vers xet y Par convexit e de l’ensemble C, on a 8n 1; (1 t)x n + ty n 2C: Les op erations el ementaires sur les suites montrent que la suite ((1 t)x n + ty n) n converge vers (1 t)x+ ty On a donc bien montr e que ce dernier point est la limite d’une suite d’ el ements de C, et donc qu’il appartient a C
a) V´erifier qu’un ensembleP C ⊂ Rn est convexe si et seulement si ∀κ ∈ N, ∀x i ∈ C, ∀α i > 0 tels que κ i=1 α i = 1, on a P κ i=1 α i x i ∈ C b) L’enveloppe convexe d’un ensemble A ⊂ Rn est d´efinie comme le plus petit ensemble convexe de Rn contenant A – que l’on note convA Montrer que convA = {x ∈ Rn
3 Montrons que B est l’ensemble A des suites r´eelles born´ees croissantes On montre d’abord de la mˆeme fac¸on qu’au d´ebut de la question 2 que B ⊂ A, c’est-a-dire qu’une limite de suites strictement croissantes est croissante R´eciproquement, soit (un) ∈ A Soit, pour p ∈ N∗, up n= u + 1 p nX+1 i=1 1 i2 Comme la s
Exercice 5 Soit Hun espace de Hilbert et Cun ensemble convexe ferm e non vide inclus dans H Une fonction F: CR est dite -convexe, pour >0, si et seulement si F(u) + F(v) 2 F u+ v 2 + 2 ku vk2: 1 Soit F: CR une fonction convexe s c i Montrer que F est minor ee par une fonction a ne continue : F(v) hx 0;vi+ c 0; ou x 0 2Het c 0 2R (On
l’exercice pr´ec´edent, on voit qu’il suffit de v´erifier que Bp est convexe Soient donc x,y∈ B p et λ∈ [0,1] On remarque que la fonction t→ t p est convexe sur [0,+∞[ car sa d´eriv´ee est croissante
Soit Iun intervalle ouvert de R On note A (I) l’ensemble des fonctions affines définies sur I 1 Montrer qu’une fonction ’: IR est convexe si et seulement si pour tout x2I, on a ’(x) = sup h2A (I) h ’ h(x): 2 Application : Inégalité de Jensen Soit ’: IR une fonction convexe et une mesure de
Optimisation et projection sur un convexe Soit m un entier naturel et IRm l’espace euclidien usuel muni du produit scalaire not e ( ; ): On d esigne par jj jj la norme associ ee Soit K ˆ IRm un convexe ferm e non vide et P : IRm K la projection sur K : pour x appartenant a IRm; Px est l’unique point de K tel que jj x Pxjj jj x zjj
Continuité et convexité – Exercices – Terminale ES/L – G AURIOL, Lycée Paul Sabatier c d 13 Pour chacune des fonctions suivantes, à l’aide de la calculatrice, indiquer les intervalles où la fonction proposée est concave ou convexe et donner les éventuels points d’inflexion a b variations c d
2 Une boule ouverte (resp ferm´ee) est convexe 3 Un segment est convexe 4 Une fonction est convexe si et seulement si son ´epigraphe G = {(x,f(x)),x ∈ C} est un ensemble convexe de E ×R 5 La somme, le sup de fonctions convexes (sur C) est convexe 6 Une application convexe sur C ouvert est continue (on pourra travailler en
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Corrig e du devoir maison : convexit e
Par convexit e de l’ensemble C, on a 8n 1; (1 t)x n + ty n 2C: Les op erations el ementaires sur les suites montrent que la suite ((1 t)x n + ty n) n converge vers (1 t)x+ ty On a donc bien montr e que ce dernier point est la limite d’une suite d’ el ements de C, et donc qu’il appartient a C Exercice 2 1 (a) Soit a2I On va montrer que fest continue a droite en a On montrerait de
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TD – analyse convexe
TD – analyse convexe Exercice 1 Ensembles convexes de matrices Soit S++ n l’ensemble des matrices d´efinies positives S++ n = {X ∈ S n: w>Xw > 0,pour tout w ∈ Rn,w 6= 0 }, et S+ n l’ensemble des matrices positives (on dit aussi semi-d´efinies positives) S+ n = {X ∈ S n: w>Xw > 0,pour tout w ∈ Rn} a) Montrer que S++ n et S
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TD 3 – convexit´e (ensembles, fonctions), probl `emes
b) L’enveloppe convexe d’un ensemble A ⊂ Rn est d´efinie comme le plus petit ensemble convexe de Rn contenant A – que l’on note convA Montrer que convA = {x ∈ Rn: ∃ κ ∈ N,ai ∈ A,αi >0, tels que x = Pκ i=1αi ai et Pκ i=1αi = 1} Exercice 2 Ensembles convexes de matrices Soit S++ n l’ensemble des matrices d´efinies
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Analyse convexe approfondie - CEREMADE
Définition 9 On appelle dimension d’un ensemble convexe K la dimension de l’espace affine engendréparK Définition10 Onappellesimplexededimensionnl’enveloppeconvexeden+1 pointsaffinement indépendants Exemple Unsimplexededimension1 estunsegment,unsimplexededimension2 estuntriangle, unsimplexededimension3 estuntétraèdre
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Continuité et convexité Exercices
Continuité et convexité – Exercices – Terminale ES/L – G AURIOL, Lycée Paul Sabatier c d 13 Pour chacune des fonctions suivantes, à l’aide de la calculatrice, indiquer les intervalles où la fonction proposée est concave ou convexe et donner les éventuels points d’inflexion a b variations c d
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Pascal Lainé Ensembles-Applications
Pascal Lainé 2 Exercice 8 : Justifier les énoncés suivants a) Soient un ensemble, et deux sous-ensembles de Si est inclus dans , alors le
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Corrig´es d’exercices pour les TD 1 et 2
Corrig´es d’exercices pour les TD 1 et 2 Montrons que B est l’ensemble A des suites r´eelles born´ees croissantes On montre d’abord de la mˆeme fac¸on qu’au d´ebut de la question 2 que B ⊂ A, c’est-a-dire qu’une limite de suites strictement croissantes est croissante R´eciproquement, soit (u n) ∈ A Soit, pour p ∈ N∗, up n= u + 1 p nX+1 i=1 1 i2 Comme la s
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Feuilles d’exercices d’Optimisation
convexe si et seulement si ∇2f(x) > 0 ∀x ∈ K 2 5 Exercices Exercice 20 Soit K un ensemble convexe ferm´e On consid`ere la fonction : p(x) := 1 2 kx−Pxk2 Ou` P d´esigne le projecteur sur K Montrer que cette fonction est d´erivable et calculer son gradient En d´eduire que p est convexe 5
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Corrig´es d’exercices pour le TD 3 - Monteillet
Corrig´es d’exercices pour le TD 3 N’h´esitez pas a relever les ´eventuelles fautes dans ce document Soit (E,d) un espace vectoriel muni d’une distance v´erifiant • Pour tous x,y∈ Eet λ∈ R,d(λx,λy) = λd(x,y) • Pour tous x,y,z∈ E, d(x+z,y+z) = d(x,y) Montrer que dprovient d’une norme, c’est-a-dire qu’il existe une norme N sur Etelle que pour tous x,y∈ E, d
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Exercices de licence - univ-lillefr
Exercices de licence Les exercices sont de : Corn´elia Drutu (alg`ebre et th´eorie des nombres) Volker Mayer (topologie, analyse r´eelle) Leonid Potyagailo (alg`ebre et g´eom´etrie) Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe) Les sujets d’examens sont de : Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC) Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC) Table des mati
Corrigé du devoir maison : convexité Exercice 1 1 (a) Si C est un sous-espace vectoriel, Par convexité de l'ensemble C, on a ∀n ≥ 1, (1 − t)xn + tyn ∈ C
dm corrige
28 oct 2015 · Corrigé I Ensembles convexes 1 (a) Soit (Ai)i∈I une famille donc (fn)n converge vers 0 dans E D'après l'exercice 3 du TD1, l'ensemble A
dm corrige
Soit (E,d) un R-espace vectoriel métrique On dit qu'un ensemble C ⊂ E est convexe si pour tout (x, y) ∈ C2 et pour tout λ ∈ [0
corrige topo
Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS C'est une fonction convexe comme somme de fonctions convexes L'ensemble des fonctions u ∈ C telles que
M ec
Fonctions convexes d'une variable réelle 148 – 5 Fonctions de convexité 155 – Synthèse et méthodes 159 – Exercices 161 – Corrigés 165 Nous verrons dans le chapitre 18 que l'ensemble des solutions d'une équation diffé- rentielle
Le recueil d'exercices et problèmes corrigés que nous proposons ici concerne Si l'on représente l'ensemble des formes linéaires sur E par E via le produit
Jean Baptiste Hiriart Urruty Optimisation et anaBookZZ.org fi
2 mar 2017 · ensemble convexe de Rn ou une partie convexes de Rn ou plus Exercice Montrer que les parties convexes de R sont les intervalles de R de Taylor- Lagrange corrige ce défaut, `a condition de supposer que la fonction f
MATH
Corrigé Exercice no 1 La fonction f : x ↦→ x2 est convexe sur R car deux On a montré que l'ensemble des matrices stochastiques est un convexe de Mn(R)
convexite corrige
30 oct 2013 · On regarde le graph dans la figure (2) le sous-ensemble E4 = {(x, y) ∈ R2 : 2x+y +1 > 0,−1
CM TD
sinon Exercice 7 Soient f : Rn → R ∪ {+∞} une fonction convexe et x ∈ domf On appelle sous-différentiel de f en x l'ensemble noté ∂f(x) défini par ∂f(x) = {x
Recueil Exercices SMA S
(a) Montrer que D est un sous-ensemble convexe de R2. (b) Montrer que la f est donc convexe sur E1 et concave sur E2. Exercice 10. On consid`ere la ...
Correction 1. Une partie C d'un espace vectoriel réel est convexe si elle contient tout le segment compris entre deux quelconques de ses points.
30 mai 2015 appartient à C. 1 Enveloppe convexe. Exercice 3. Pour un ensemble A ⊂ E on appelle enveloppe convexe de A ...
convexe. d) Vrai. e) Faux. L'ensemble n'est pas une partie convexe de . f ... d'inflexion. Corrigés des exercices. Exercice 1. La fonction sin est deux fois ...
2 mar. 2017 ensemble convexe de Rn ou une partie convexes de Rn ou plus simplement un ... un convexe (cf Exercice 3). Mais ce convexe n'est autre que E. Page ...
partie convexe non vide. Montrer que l'application f : x → d(x A) est ... Convexité - Exercices (corrigés). Barycentres
On admet que cet ensemble est ouvert. Est-il convexe ? On admet que f est de classe C1 sur son domaine de définition. 2. Représenter sur le même dessin
Exercice 11 * : Soient C1C2 deux parties convexes du R-espace vectoriel E. Montrer que l'enveloppe convexe de C1 ∪ C2 est l'ensemble des segments [x1
j=1 aij = 1) est un compact convexe de Mn(R). 9. Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(R) est connexe par arcs. Correction ▽.
28 oct. 2015 Corrigé. I Ensembles convexes. 1. (a) Soit (Ai)i∈I une famille d ... D'après l'exercice 3 du TD1 l'ensemble A est donc un compact de E ...
(a) Montrer que D est un sous-ensemble convexe de R2. (b) Montrer que la fonction h = ln ?f est bien définie sur D et étudier la convexité ou la concavité
Fonctions convexes d'une variable réelle 148 – 5. Fonctions Synthèse et méthodes 159 – Exercices 161 – Corrigés 165. Chapitre 6.
28 oct. 2015 Corrigé. I Ensembles convexes. 1. (a) Soit (Ai)i?I une famille ... (fn)n converge vers 0 dans E. D'après l'exercice 3 du TD1 l'ensemble A.
2 mars 2017 ensemble convexe de Rn ou une partie convexes de Rn ou plus simplement un ... Mais Dx étant identifiée `a R par l'Exercice 1.7
Si A est une partie de E on appelle enveloppe convexe de A
Le recueil d'exercices et problèmes corrigés que nous proposons ici Si l'on représente l'ensemble des formes linéaires sur E par E via le produit.
On admet que cet ensemble est ouvert. Est-il convexe ? On admet que f est de classe C1 sur son domaine de définition. 2. Représenter sur le même dessin
Exercice 20 Soit X un espace topologique et D un sous-ensemble dense dans X. Exercice 31 Montrer que dans un espace normé
30 mai 2015 Exercice 3. Pour un ensemble A ? E on appelle enveloppe convexe de A
30 oct. 2013 nombre fini des demi-plans qui sont des ensembles convexes. a2 a1 0 1 2 a2 a1. 0. 1. 2. 3. Figure 1: Ex.1.45
(a) Montrer que D est un sous-ensemble convexe de R2 (b) Montrer que la fonction h = ln ?f est bien définie sur D et étudier la convexité ou la concavité
28 oct 2015 · Corrigé I Ensembles convexes 1 (a) Soit (Ai)i?I une famille (fn)n converge vers 0 dans E D'après l'exercice 3 du TD1 l'ensemble A
Feuille d'exercices VI Ensembles et fonctions convexes Exercice 1 Montrer que les ensembles Ci suivants sont convexes et trouver les cônes
28 oct 2015 · (a) Montrer que D est un sous-ensemble convexe de R2 (b) Montrer que la fonction h = ln ?f est bien définie sur D et étudier la convexité ou
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2 mar 2017 · ensemble convexe de Rn ou une partie convexes de Rn ou plus simplement un Mais Dx étant identifiée `a R par l'Exercice 1 7 on
30 mai 2015 · Exercice 3 Pour un ensemble A ? E on appelle enveloppe convexe de A et on note conv(A) l'intersection de tous les convexes contenant A
Exercice 11 * : Soient C1C2 deux parties convexes du R-espace vectoriel E Montrer que l'enveloppe convexe de C1 ? C2 est l'ensemble des segments [x1x2]
Exercice I 5 On suppose que E est de dimension finie Soit K une partie compacte de E Montrer que conv(K) est
Comment montrer un ensemble est convexe ?
Une partie C de Rn est dite convexe si, pour tout couple (x,y) d'éléments de C , le segment [x,y] est entièrement contenu dans C . Autrement dit, C est convexe lorsque pour tous x,y?C x , y ? C et tout ??[0,1] ? ? [ 0 , 1 ] , ?x+(1??)y?C ? x + ( 1 ? ? ) y ? C .Comment calculer une fonction convexe ?
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = 1 3 x3 ?9x2 + 4.Comment montrer qu'un problème est convexe ?
Théorème 2.1 Un fonction f est convexe si et seulement si, pour tout (x, y) ? (dom(f))2 et ? ? 0 tels que y + ?(y ? x) ? dom(f), f satisfait : f(y + ?(y ? x)) ? f(y) + ?(f(y) ? f(x)).- Une fonction convexe poss? une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave poss? une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.
Exercices corrigés
Séance du 30/05/2015 de ParisMaths Ensembles convexes
MP/MP*