1 Continuité d’une fonction 1 1 Limite finie en un point Définition 1 : Dire qu’une fonction f a pour limite ℓen a, signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f(x)pour x assez proche de a - c’est à direpour les x d’un intervalle ]a −η;a +η[ On note alors : lim x→a f(x)=ℓ ℓ a-η a a
Les propositions2 13et2 15sont très utiles pour montrer qu’une fonction est ou n’est pascontinueenunpoint: Exemple 2 20
Une fonction f est dite surjective si et seulement si tout réel de l’image correspond à au moins un réel du domaine de définition En notation mathématique, on a ∀ ∈ ???? ( ∃ = ) Remarque(s) En termes d’ensembles, le cardinal de X est supérieur ou égal au Cardinal de Y En notation mathématique, on a
Remarquons qu’une telle application est nécessairement continue sur I Comment reconnaître une application strictement contractante ? Théorème Soit une fonction g dérivable dans un intervalle I, non nécessairement borné Si la dérivée g’ vérifie max '( ) 1 xI g x K alors g est une application strictement contractante sur l
Si dans un énoncé, on demande de montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire Exemple Montrer que f(x) = (x² + 3x) x +8 est dérivable sur ]−8;+∞[ La fonction f est le produit d’un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d’une racine continue
Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x → y = f(x), y est explicitement fonction de x, c'est à dire que, connaissant les différentes valeurs de x, on peut calculer directement y Il arrive que y ne puisse pas être calculé explicitement et que y soit tout de même une fonction de x
2 Qu’est ce qu’une fonction int egrable pour l’int egrale de Lebesgue? 3 Comment montrer qu’une fonction est mesurable? 4 Qu’est-ce qu’une fonction localement int egrable (sur intervalle de R)? 5 Qu’est-ce qu’une int egrale impropre? 6 Qu’est-ce qu’une int egrale faussement impropre? 7 Peut-on ecrire R
Cela se lit aussi sur le dessin, il y a une demi-tangente à droite, une demi-tangente à gauche, mais elles ont des directions différentes Mini-exercices 1 Montrer que la fonction f (x) = x3 est dérivable en tout point x 0 2R et que f 0(x 0) = 3x2 0 2 Montrer que la fonction f (x) = p x est dérivable en tout point x0 >0 et que f 0(x 0
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1) Fonction croissante Fonction décroissante
Sens de variation et extremum de fonctions I) Sens de variation d’une fonction 1) Fonction croissante Fonction décroissante Une fonction ???? est croissante : Lorsque les abscisses ???? augmentent, les ordonnées ???? :???? ; augmentent aussi C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses
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Monotonie - unicefr
On dit qu’une fonction est croissante sur une partie I de DD(f) ssi ∀x,y ∈ I,x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) On s’int´eresse surtout au cas ou` I est un intervalle Exemple La fonction carr´e est croissante sur l’intervalle [2,e[ On a les notions voisines de d´ecroissance, croissance stricte, monotonie, etc, sur I Intervalles de monotonie On dit que I est un intervalle de stricte Taille du fichier : 139KB
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Ressources pour la classe de seconde - Education
Un élève pourrait se montrer étonné de constater que dans la classe certains trouvent que l’aire du motif est une fonction croissante (si l’on choisit AM comme variable), alors que d’autres obtiennent une fonction décroissante (ceux qui ont choisi BM comme variable) Cela pourrait être de nature à faire sentir l’importance de la variable Dans la seconde situation : Le contexte Taille du fichier : 2MB
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Chapitre 3 : Fonctions affines 1 Rappels sur les ´equations
Donc la fonction est croissante sur I CQFD 2 Th´eor`eme 3 Soit f une fonction affine de coeff a Alors le taux d’accroissement de f est toujours ´egal a a, quels que soient les r´eels x et y de l’ensemble de d´efinition R´eciproquement, une fonction poss´edant cette propri´et´e est une fonction affine de coefficient a D´emonstration : Montrons la premi`ere partie : soit f
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Démonstration des variations de la fonction carré
Démontrer que la fonction carré f est strictement croissante sur [0 ; +∞[ Démonstration: Soit a et b dans [0 ; +∞[ tels que a
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unicefr
Pour la fonction f (c) = (x — 1) —2, de c tel que f '(c) 0 Expliquer pourquoi cela ne contredit pas le théorème de Rolle Même question pour g(c) — ll & One) Exercice 2 : Egalité des accroissements finis Montrer qu'une fonction dont la dérivée est positive est une fonction croissante Q C Yee 1/2 COMO Exercice 3 Inégalité des accroissements finis 1 Soit f une fonction
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I Définition et étude de la fonction cube
LA FONCTION CUBE preuve : Nous allons montrer que la fonction cube est strictement croissante sur]−∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[(Cela suffira car les deux intervalles ont un point commun) Soient a < b ⩽ 0 Nous devons montrer que a3 < b3 ce qui équivaut à a3−b3 < 0 Remarquons que : a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) Comme a < b ⇔ a−b < 0
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Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables
On appelle dérivée partielle seconde de f par rapport à x i xj au point X0 = (x 01, x 02, Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x → y = f(x), y est explicitement fonction de x, c'est à dire que, connaissant les différentes valeurs de x, on peut calculer directement y Il arrive que y ne puisse pas être calculé explicitement et queTaille du fichier : 103KB
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CONVEXITÉ - Maths & tiques
- La fonction racine carrée ⎣xx est concave sur ⎡0;+∞⎡⎣ - Admis - Notation : La dérivée d’une fonction dérivée f ' se note f '’ Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f''(x)≥0 pour tout x de I
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SECOND DEGRÉ (Partie 1) - Maths & tiques
- m(x)=5x−3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine) - n(x)=5x4−3x3+6x−8 est une fonction polynôme de degré 4 II Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur par f(x)=ax 2+bx+cpeut s'écrire sous la forme : f(x)=a(x−α) 2Taille du fichier : 1MB
On dit que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l' intervalle [2,5 ; 5] Page 2 2 sur 9 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www
FonctionVariationsM
Fonctions croissantes On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y) En langage plus formel,
cmonot
On dit que la fonction f est croissante sur [6;8] et décroiante sur [8;15]∪[15;22] minimum de f est -3 atteint en 8 2) Synthèse du vocabulaire utilisé M Herbaut 1/4 Seconde 3) Démontrer le résultat précédent M Herbaut 4/4 Seconde
variations fonction
f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive ou nulle On peut en fait démontrer ce résultat de deux façons On le fait En un point x0 où la dérivée seconde f// d'une fonction f change de signe, le graphe de cette
MB cours
C'est-à-dire qu'elle est croissante si sa courbe représentative monte Dans la première ligne on indique les valeurs importantes de et dans la seconde les
de Fonctions sens variations extremums
Montrer que cette fonction est continue sur D Réponse : D'après la Par conséquent, P est strictement croissante, donc, d'après le théorème La première inégalité montre que f n'est pas décroissante, la seconde montre que f n'est pas
TD corrige
Seconde Cours : variations de fonctions 1 I Sens de variation et extremums a) Sens de variation Fonction croissante La fonction f est croissante sur
cours variations de fonctions
1) Fonction croissante Exemple 1 : f est croissante sur l'intervalle [−2 ; 4] Remarque : Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) augmentent x −
fonctions
Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de toutes On appelle alors dérivée seconde la dérivée de f , et on la note f I La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f est croissante sur I
dc
On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction b) La fonction est croissante sur les intervalles [?4 ; 0] et [5 ; 7].
pente de la tangente d'une fonction et la dérivée seconde
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? .
mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) D`es la seconde moitié du 17e si`ecle le domaine mathématique de l'analyse numérique.
Fonctions croissantes. On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f si on a x ? y
f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive On peut en fait démontrer ce résultat de deux façons.
Supposons qu'on ait choisi de calculer b ? a. La fonction f : x ?? x2 est strictement croissante sur l'intervalle [0; +?[ et strictement.
- on étudie le signe de cette fonction f " et on fait son tableau de signes. - lorsque la dérivée seconde ƒ " est positive la fonction est convexe. - lorsque
plusieurs param`etres et c'est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une variable s'étend dans.
Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de a ? I le taux d'accroissement ?a(x) est une fonction croissante de x sur I ...
Dire que est monotone signifie que est soit croissante soit décroissante • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut Au contraire une fonction concave possède une
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante Contre-exemple La fonction carré x ?? x2 n'est pas monotone : en effet
La fonction f est croissante sur I signifie que : Pour tous réels a et b de I si a
C'est-à-dire qu'elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu'on la parcourt dans le sens de l'axe des abscisses ? Une fonction est
Exercice 1 Soit la fonction définie sur l'intervalle [-5 ; 5] par : Prouver algébriquement que la fonction est croissante sur cet intervalle Réponse :
On dit que la fonction f est croissante sur [6;8] et décroiante sur [8;15]?[15;22] 2) Synthèse du vocabulaire utilisé M Herbaut 1/4 Seconde
Définissons de manière formelle la notion de fonction croissante et décroissante introduite plus haut 7 1 1 Sens de variation Dire qu'une fonction est
En supposant que les fonctions concernées soient dérivables sans souci on appelle dérivée seconde d'une fonction ƒ et on la note ƒ" la dérivée de la fonction
Comment montrer qu'une fonction est croissante seconde ?
Si [a, b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est croissante dans l'intervalle [a, b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a, b], si x1 < x2, alors f(x1) ? f(x2).Comment voir si une fonction est croissante ou décroissante ?
Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.- Si une fonction "f" est dériable sur un intervalle I alors: Si sa dérivée est positive sur cet intervalle alors la fonction y est croissante. Si sa dérivée est négative sur cet intervalle alors la focnction y est décroissante. Si sa dérivée est nulle sur cet intervalle alors la fonction y est constante.
VARIATIONS DUNE FONCTION