Chapitre I Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157 I 1 ThéorèmedeLie-Kolchin [1,ExerciceIV-B6] OnnoteD(K) legroupedérivéd’ungroupeK,c’est-à-direlesous-groupe
1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,
Exercice 30 (**)Etude des matrices nilpotentesUne matrice N2M n(R) est dite nilpotente s’il existe p2N tel que Np = 0 1 Donner des exemples de telles matrices 2 Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut pas ^etre inversible 3 On suppose que Net Msont deux matrices nilpotentes qui commutent Montrer que N+ M et NMsont nilpotentes
On dit qu’une matrice carrée est nilpotente lorsqu’il existe un ≥1 tel que = et qu’elle est unipotente lorsqu’il existe un entier ≥1 tel que = Soit ≥1 un entier et et deux matrices carrées (,) 1 Montrer que si " est nilpotente, " l’est aussi 2 Montrer que si " est unipotente, " l’est aussi
Montrer qu’au plus une des trois est inversible Exercice 12 : [indications] On dit que A ∈ M3(K)est nilpotente lorsqu’il existe r ∈ N∗ tel que : Ar =0 M3(K) (Q 1) Montrer que A = 0 a b 0 0 c 0 0 0 est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1) Soit M ∈ Mn(K)
On dira qu’une matrice est nilpotentes’il existe un entier l2N tel que Al = O Mn(K), on On va montrer ici que Aest nilpotente si et seulement si O Mn(C) 2 S
Le but de cet exercice est de montrer que Aest nilpotente, c'est à dire que : ∃k∈ N,Ak = 0 On considère l'application ψ : ˆ M n(R) −→ M n(R) M 7→ MB−BM 1- Montrer que ψest un endomorphisme de M n(R) et que : ∀k∈ N,ψ(Ak) = kAk Calculer la trace de A 2- Montrer que si An'est pas nilpotente, alors ψa une in nité de
(1b) Soit M une matrice carrée et I la matrice identité Peut-on exprimer simplement (I −M) Xd k=0 Mk? 2 Soit N une matrice nilpotente; ce qui signifie qu’il existe p ∈N tel que Np = 0 Montrer que la matrice I −N est inversible et exprimer son inverse comme polynôme en N (càd comme c l des puissances de N)
Si M est une matrice p×p de trace nulle, M est semblable a une matrice a diagonale nulle On raisonne par r´ecurrence sur p Pour p = 1, il n´y a rien a faire On suppose la propri´et´e vraie jusqu´au rang p −1 Soit M une matrice p ×p de trace nulle Puisque la caract´eristique de Cest nulle, M n´est pas scalaire
Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f Montrer que f est nilpotent Correction H [005659] Exercice 10 ****
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Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157
tenteNdansladécompositiondeDunford Est-ellecontinue? 10 Montrer qu’une matrice est nilpotente si et seulement si la matrice nulleestdanssaclassedeconjugaison
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Correction R - WordPresscom
1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1, ⇒ A/∈GLncar une matrice de rang 6 n−1 est non inversible ⇒Si An’est pas inversible, elle est de rang r6 n−1 Considérons la matrice
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TD 13 Calcul matriciel - heb3org
Montrer qu’au plus une des trois est inversible Exercice 12 : [indications] On dit que A ∈ M3(K)est nilpotente lorsqu’il existe r ∈ N∗ tel que : Ar =0 M3(K) (Q 1) Montrer que A = 0 a b 0 0 c 0 0 0 est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 Taille du fichier : 128KB
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I Préliminaires : endomorphismes nilpotents, trace d’un
I B 6) Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est nilpotente si et seulement si tous ses termes diagonauxsontnuls I C– SoitA= (a ij) ∈M n(C) OnrappellequelatracedeAestlenombrecomplexeTr(A) = Xn i=1 a ii I C 1) Soitf∈L(E) MontrerquelenombrecomplexeTr(Mat B(f)) nedépendpasduchoixdelabaseBdansE
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Y j Y AGRÉGATIONINTERNEDEMATHÉMATIQUES Y j Y
On dira qu’une matrice est nilpotentes’il existe un entier l2N tel que Al = O Mn(K), on écriraalorsA2N n(K) On désignera par E ij = (( ij kl)) kl 2M n(K) (c’est la matrice où tous les éléments sont nuls saufle(i;j)-ièmequivaut1)lesélémentsdelabasecanoniquedeM n(K) Enfin T n(K) désignera l’ensemble des matrices A = ((a ij)) 2M n(K) de trace nulle :
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Nilpotent et diagonalisable, je t’aime, moi non plus
M de M donc M est aussi statistiquement a spectre simple (avec 0 ∈/ Sp(M)) donc 1 diagonalisable (inversible) On ne sera ainsi pas surpris de d´ecouvrir que, si M n´est pas diagonalisable (respectivement est nilpotente), elle est en tout cas ´etouff´ee par des matrices diagonalisables (respectivement inversibles) Proposition 2 1 Le cˆone des matrices complexes diagonalisables a
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f Montrer que Taille du fichier : 330KB
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Exponentielle de matrices - pagesperso-orangefr
En particulier on a ln(In) = 0 et pour toute matrice A nilpotente A d’indice r ‚ 2; on a : ln(In +A) = Xr¡1 k=1 (¡1)k¡1 k Ak: 1 Montrer que l’application exp : z 7ez r¶ealise un morphisme de groupes surjectif de (C;+) sur (C⁄;¢) de noyau ker(exp) = 2i Z: 2 Montrer que la matrice B = µ ¡1 1 0 ¡1 ¶ ne peut s’¶ecrire B = eA avec A 2 M n (R): 3
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Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison
On rappelle qu’une matrice N 2M n(C) est dite nilpotente d’ordre m si Nm =0, et si pour tout k dans N, k
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Trigonalisation et diagonalisation des matrices
trices Nous montrons que toute matrice a coefficients complexes est trigonalisable, c’est-` a-dire` semblable `a une matrice triangulaire sup erieure On pr´ esente quelques cons´ ´equences th ´eoriques importantes de ce r´esultat Le probl`eme de la diagonalisation est plus ´epineux Une matrice n’est pas en g ´en eral dia-´Taille du fichier : 298KB
2 avr 2019 · nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle Q 17 Démontrer que, si est une matrice nilpotente d'indice , alors
M
matrices qui commutent deux à deux sont simultanément trigonalisables sur C 1 Montrer que Dk(G) est un sous-groupe distingué, connexe, de G, et
Lecon
Et, partant, n ≤ p 5 Démontrer que, sur C, une matrice est nilpotente si et seule- ment si 0 est son unique valeur propre Est
matieres
Ces valeurs propres sont toutes nulles car N est nilpotente et donc la diagonale de T est nulle En résumé, N est semblable à une matrice triangulaire à diagonale
Centrale PSI M Corrige
Nn est-il un espace vectoriel pour les lois usuelles ? 2 Montrer que la somme de deux matrices nilpotentes qui commutent est une matrice nilpotente 3 Est ce
Nilpotent
On dira qu'une matrice est nilpotente s'il existe un entier l ∈ N tel que Al (a) Montrer que toute matrice A ∈ Mn(R) de trace nulle est semblable à une matrice
agregdsl
une matrice A) est nilpotent(e) s'il existe k ∈ ∗ tel que f k = 0 (resp Ak = 0) Nous allons démontrer que les endomorphismes nilpotents et les endomorphismes
ch jordan
14 oct 2019 · Soit N une matrice nilpotente de Mp (K) Nous allons montrer que la matrice unipotente Ip + N est TPK On pourra confondre polynôme et
dm a cor
Montrer qu'une matrice A ∈ Mn(R) appartient `a T si et seulement si ∀k ∈ [[1,n]], Ek est stable par Montrer que A est nilpotente d'indice inférieur ou égal `a n
dl matrices
14 déc. 2013 b) Soit A une matrice nilpotente. Montrer que e(A) est inversible et calculer son inverse. On remarque que si A est nilpotente ?A aussi.
2 avr. 2019 nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle. Q 17. Démontrer que si est une matrice nilpotente d'indice
15 juil. 2010 Montrer qu'une matrice nilpotente est diagonalisable ssi elle est nulle. Exercice 22 (Entraînement). Montrer que pour n = 2.
Montrer qu'il existe un couple d'endomorphismes (dn) et un seul tel que d est diagonalisable
Montrer que An est la matrice nulle. b. (***) Réciproquement montrer que toute matrice nilpotente de Mn(K) est semblable `a une matrice triangulaire.
3 oct. 2020 Quelles sont les matrices de MnpCq à la fois nilpotentes et diagonalisables ? 14. Montrer qu'une matrice est nilpotente si et seulement si
Q 2 Soit une matrice A = ((aij)) ? T dont les coefficients diagonaux aii sont tous nuls. a. Montrer que A est nilpotente d'indice inférieur ou égal `a n. b.
8 janv. 2021 Montrer qu'une matrice est nilpotente ssi elle est trigonalisable avec ... 1) Montrer que si un endomorphisme est nilpotent alors il existe ...
Montrer que si Q est positif sur R alors P l'est aussi. PSI 774 (Mines 774.) Soit M ? M3(C) une matrice nilpotente et p ? N son indice de nilpotence.
5 févr. 2021 Il n'y a qu'une matrice nilpotente d'ordre 1 (par définition : M1 = 0nn)
Mathématiques D08S