La matrice de la forme quadratique q s’écrit alors 1,2 1, 1,1 1,2 2,2, 1, 1, 1,; 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n a a a a a a a a a--æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ Ł ł L L M O M O Exemple : Soit l’applicationq définie sur ¡3 par :q x y z x z xy yz(, , 2 2 4) = + + +2 2 On reconnaît la forme
respond la forme quadratique $ X" $2= X " X" qui est la norme carr´ee (la longueur carr´ee) du vecteur X" Demˆeme, b a f2(x)dx est une norme carr´ee pour les fonctions (de carr´e int´egrable) sur (a,b) Th´eor`eme de Pythagore Soitf une forme bilin´eaire sym´etrique, Q la forme quadratique associ´ee, on a pour toute paire de vecteurs
la forme quadratique ne d epend pas de la base choisie En e et, deux 6= 0 ,q est non-d eg en er ee ou M est la matrice associ ee a la forme quadratique q Exemples :
Une forme quadratique q est dite positive si elle ne prend que des valeurs positives, i e si pour tout vecteur x on a q(x) 0; jusque là, la terminologie est claire Maintenant, une matrice auto-adjointe sera dite positive si la forme quadratique associØe l™est, i e si pour tout vecteur x on a x Ax 0 4
EXERCICE 2 : matrice associée à une forme quadratique On définit une forme quadratique q sur ¡3 en posant, pour tout vecteur u x y z=(, ,) de coordonnées x X y z æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ Ł ł dans la base canonique C de¡3: 1) q x y z x y z xy xz yz(, , 7 5 3 4 2 6) = - + - + -2 2 2, déterminer une matrice symétrique A˛M3 (¡)telle
2 Représentation d’une forme quadratique dans une base E dim finie, muni d’une ase DEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLE On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire PROPOSITION 15 : Soit q forme quadratique représentée par A dans
La forme f n’a aucune droite isotrope si et seulement si elle est anisotrope (par d e nition) Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos : il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ou 2 K n(K)2 En particulier, ce cas n’arrive pas sur un corps alg
est une forme quadratique Elle est appelée forme quadratique engendrée par la forme bi-linéaire symétrique f Démonstration La démonstration découle directement de la dé finition ¤ 3 2 Représentation matricielle d’une forme quadratique Si E est de dimen-sion finie, une représentation matricielle de q sera celle de la forme
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Chapitre 5 Formes quadratiques et matrices sym´etriques
Th´eor`eme de Pythagore Soitf une forme bilin´eaire sym´etrique, Q la forme quadratique associ´ee, on a pour toute paire de vecteurs orthogonaux ∀X,Y : f(X,Y)=0=⇒ Q(X +Y)=Q(X)+Q(Y) , (1 4) qui d´ecoule de (1 3) 1 2 Formes d´efinies positives On dit que la forme quadratique Q Taille du fichier : 440KB
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Chapitre 2 Formes quadratiques - Claude Bernard University
la matrice A q est entièrement déterminée par b,etqueb est entièrement déterminée par q (en caractéristique différente de 2) Dit autrement, on peut identifier polynôme et fonction polynôme en degré homogène2 (c’est-à-dire, pour les formes quadratiques) Il convient également de définir le noyau et le rang d’une forme quadratique On appelleTaille du fichier : 943KB
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cours FORME QUADRATIQUE - WordPresscom
On reconnaît la forme quadratique associée à la matrice 2 1 0 1 0 2 0 2 1 A æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ Ł ł 4) Conséquence 2 Soit q une forme quadratique sur ¡n associée à l’endomorphisme symétrique u Il existe C v v= (1, , n)base orthonormée de vecteurs propres de l’endomorphisme u
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TD7 : formes quadratiques - DMA/ENS
2) 6= 0, donc la matrice de f dans la base (v 1;v 2) est la matrice nulle (c’est une base orthogonale form ee de vecteurs isotropes), donc f= 0 Finalement, une forme quadratique sur un plan vectoriel admet soit aucune droite isotrope, soit une droite isotrope, soit deux droites isotropes, soit toutes les droites de P sont isotropes Tous ces casTaille du fichier : 204KB
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MATHÉMATIQUES Corrigé du TD Formes quadratiques
Les valeurs propres étant de signes opposés, la forme quadratique est de signe in-déterminé Elle est non dégénérée puisque 0 n’est pas valeur propre Matrice A 2 = 5 2 2 2 La forme quadratique associée est Q(x 1;x 2) = 5x2 +4x 1x 2 +2x2 2 La matrice de passage Ppermet d’obtenir les coordonnées (y 1;y 2) par la formule Y = tPX On a trouvé dans l’exercice 41
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C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S
La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée est linéaire Son noyau est l’espae des formes ilinéaires alternées PROPOSITION 13 : Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique On l’appelle a forme polaire et on la note d’où Q(E)= dim est un isomorphisme (car inj et de même dimension)Taille du fichier : 504KB
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Formes quadratiques r eelles Exemples et applications
D e nition 2 On appelle forme quadratique sur E toute application q de la forme q: E R x 7 ’(x;x) ou ’est une forme bilin eaire sym etrique sur E Exemples {Dans R3, q(x;y;z) = 3x2 + y2 + 2xy 3xzest une forme quadratique {En dimension in nie, q : R[X] Rd e nie par q(P) = R 1 0 P(x)P00(x)dx est une forme quadratique sur R[X] Proposition 3 Soit q une forme quadratique sur E Il existe une unique
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Leçon 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de
est appelée forme quadratique associée à b On note Q(E) l'ensemble des formes quadratiques sur E; on appelle (E;q) espace quadratique Proposition 1 ( [dSP] p 29 ) Soit qune forme quadratique sur Eassociée à une forme bilinéaire b On a : Pour tout x2E, pour tout 2K: q( x) = 2x Pour tout (x;y) 2E2, b(x;y) = 1 2 (q(x+ y) q(x) q(y))
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Optimisation Quadratique Optimisation quadratique sans
Cas d’une fonction quadratique sur ℜn-1-•On considère le cas d’une fonction quadratique f(x) = X aix 2 i + XX aijxixj + X bixi + c •On veut minimiser f sur ℜn •On peut écrire f sous la forme f(x) = 1 2 xTAx + bTx + c avec Aii = 2ai et Aij = Aji = aij •∇f = Ax + b •∇2f = A Si A ≻ 0 •alors f strictement convexe,
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Montrer que Q est une forme quadratique positive 2 Montrer que Q est définie positive si et seulement si la famille (f 1;:::; f n) est libre 3 Ecrire la matrice de Q dans la base canonique de Rn dans le cas particulier : 8i 2[[1;n]], 8t 2[a;b], f i(t)=ti 1 1Taille du fichier : 209KB
2 1 2 Matrice d'une forme bilinéaire symétrique On suppose E de la matrice M de la forme quadratique q dans la base E est la matrice de sa forme polaire La
Bil
On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire PROPOSITION 15 : Soit q forme quadratique représentée par A dans B Soit B' une autre
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C'est aussi le rang de la matrice Aq dans n'importe quelle base Pour terminer, à une forme quadratique, on peut associer le cône isotrope Cq = {x 2 E, q(x)=0}
Formes Quad
2 nov 2014 · Définition 5 Soit q une forme quadratique sur E de dimension finie et B = (e1, , en) une base de E On appelle matrice de q dans la base B la
memoire
Soit A la matrice associée à q dans une base B Alors, si x ∈ E a pour vecteur matrices Exemple 4 ([dSP] p 51) La forme quadratique q : R3 −→ R (x, y, z)
ruffini memoire
Matrices orthogonales 9 3 Matrices symétriques 11 4 Application aux formes quadratiques réelles 13 Chapitre 3 Fonctions de plusieurs variables 17 1
Copie de poly ic a math uf
7 mar 2013 · Matrices symétriques et formes quadratiques 67 Chapitre 5 Formes On dit que la forme quadratique Q est définie positive si ∀X = 0 ∈ E
LP
Soit B une autre base de E, et soit P la matrice de passage de B `a B , c'est-`a- dire la matrice telle que pour tout vecteur x de E, ayant les matrices colonnes X et X
quadrati
carrés de formes linéaires On rappelle si besoin est qu'une forme quadratique sur Rn est associée `a une matrice symétrique S telle que q(x1,x2, ··· ,xn) = XtSX,
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