3 Commutant d’une matrice diagonale Pour trouver le commutant d’une matrice diagonale (ou d’une matrice “simple” au sens où elle comporte beaucoup de zéros), on effectue généralement les calculs coefficient par coefficient (ce qui amène à résoudre unsystèmeden2 équationsàn2 inconnues Ilpeutêtreutilederetenirque:
ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice Correction de la question 1 Montrons que C(A) est une sous alg ebre de M n(K) Soit M;N 2C(A) et 2K Il est clair
PROBLEME -COMMUTANT D’UNE MATRICE 2 2 Pour toute matrice BP M np Rq , on note Cp Bq l’ensemble des matrices qui commutent avec B(appel e commutant de la matrice B) Autrement dit : Cp Bq t MP M np Rq BM MBu PARTIE A - Quelques propri et es g en erales du commutant Soit BP M np Rq On d esire prouver quelques propri et es sur Cp Bq
Commutant, racines carrées, espaces stables Voilà des applications très classiques de la réduction des matrices Souvent elles méritent un pro-blème entier avec différents exemples Je pose ici quelques points importants I Le commutant Définition et structure : Etant donnée une matrice A 2 M (K) on appelle commutant de A et
Premi`ere partie - Commutant d’une matrice Dans chacune des sous-questions de cette partie, on fixe une matrice A r´eelle (2,2) et on s’int´eresse a l’´equation : AM = MA (1) dont l’inconnue est une matrice r´eelle (2,2) not´ee M 1) Dans chacune des sous-questions a), b) et c), il est sugg´er´e de chercher l’inconnue M en
SESSION 2011 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) q FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Exercice Commutant d’une matrice 1 Soit A ∈ M 3(R) • Puisque 0 ×A =A ×0 =0, 0 ∈ C(A)
Commutant d’une matrice 1 C(A) est clairement stable par addition et multiplication externe donc constitue un sous-espace de M n(R) 2 Notons (C1,C2,C3) les colonnes de A et (e1,e2,e3) la base canonique de R3 On constate que C1+C2+C3 = 3(e1+e2+e3) donc 3 est valeur propre et ε1 = e1+e2+e3 est vecteur propre associ´e
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MATHEMATIQUES 2 - maths-francefr
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Dimension du commutant - Agreg-mathsfr
Dimension du commutant Ainsi,ilexisteb k1, ,b kr ∈K telsqueµ(k) = P r i=1 b kiM i Ainsi X= Xr i=1 p k=1 b kia k {z } ∈L M i Finalement, X ∈Vect L(M 1, ,M r) Il suffit alors de prendre L tel que χ A soit scindé Dans ce cas-là, Aest trigonalisable et la dimensiondel’espace C(A) estsupérieureouégaleà nsurL ou surK Théo On a K[A] = C(A) si et seulement si χ A = µ A
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CCP Maths 2 MP 2011 — Corrigé - prepamagfr
Commutant d’une matrice 1 Le commutant C(A) de A est l’ensemble des matrices qui commutent avec A Prouvons qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de M3(R) Pour commencer, il est non vide car il contient la matrice nulle On établit « manuellement » la stabilité par
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4-10- 2013 JFC Mat p 1 MATRICES
Commutant d’une matrice ou d’un ensemble de matrices 11 Exponentielle d’une matrice 12 Interpr etation matricielle des op erations el ementaires dans la m ethode du pivot XI DES PHRASES OU DES RHETORIQUES TOUTES FAITES XII DES ERREURS A NE PAS FAIRE J F C Mat p 3 MATRICES I Si voustrouvez quelques ”coquilles”dans ces feuilles merci de meles signaler (jean-francois cossutta
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1 Apprentissage du calcul matriciel - Free
Exercice 13 (Commutant d’une matrice) Soit A ∈ M n(K) On note C(A) l’ensemble des matrices de M n(K) qui commutent avec A, on l’appelle le commutant de A: C(A) = {M ∈ M n(K) AM = MA} 1 Démontrer que C(A) = {M ∈ M n(K) AM = MA} est stable par combinaison linéaire 2 Déterminer C(A) lorsque A = I n ou A = 0 3 On pose J = 1 1 1 1 Démontrer que C(J) = Vect{I2,J}
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Compléments d’algèbre - MATHEMATIQUES
Une matrice diagonale est en particulier une matrice triangulaire supérieure ou aussi une matrice triangulaire inférieure Plus précisément, D n (K)=T n,s (K)∩ T n,i (K) Théorème 10
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MATHEMATIQUES - PCSI-PSI AUX ULIS
EXERCICE 4 - Le commutant d’une matrice Soit A= 3 9 4 9 , P= 3 1 2 1 , N= 0 1 0 0 et I= 1 0 0 1 (matrice identit e de M 2(R)) 1 Un calcul de An (a)Montrer que Pest inversible, et pr eciser P 1 (b)V eri er que T= P 1APet une matrice triangulaire (c)D emontrer que, pour tout n2N, Tn= P 1AnP (d)Calculer N2, en d eduire une expression de
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SESSION 2011 MP ÉPREUVE ÉCRITE DE MATHÉMATIQUES 2
L’exercice proposait de travailler avec le commutant d’une matrice trigonalisable On demandait de trigonaliser une matrice, de chercher le commutant de la matrice triangulaire et d’en déduire, par isomorphisme, le commutant de la matrice de départ Le problème permettait de découvrir des inégalités de déterminants en travaillant principalement avec des matrices symétriques
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Réduction d’endomorphismes Chap 07 : cours complet
Définition 5 2 : matrice carrée trigonalisable Théorème 5 1 (admis): caractérisation des endomorphismes trigonalisables en dimension finie Théorème 5 2 : trigonalisabilité des matrices carrées complexes Théorème 5 3 : éléments diagonaux d’une matrice triangulaire ou diagonale semblable à une matrice carrée 6 Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme Définition 6 1 : sous-espace Taille du fichier : 134KB
on restreint le système aux matrices triangulaires supérieures, il reste n(n+1) 2 inconnues Comme AX − XA est triangulaire supérieure, dire que X est solution
Dimension du commutant
EXERCICE Commutant d'une matrice (a) Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure (avec pour diagonale le “ produit”
ccp maths mp corrige
Dimension du commutant La matrice de g dans la base β = β1 ∪ triangulaires supérieures commutant à T On va montrer que dimK(Com(T) ∩ Tn( K)) ≥ n
dimension du commutant
Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n Montrer triangulaire supérieure commutant avec sa transposée Nous avons T = ( α XT 0n,1
correction
∗∗Commutant d'une matrice diagonale ∗∗Montrer que si une matrice triangulaire supérieure `a coefficients réels commute avec sa transposée, alors elle
matrice
31 mar 2009 · 11 Modulo conjugaison, les nilpotentes sont les triangulaires strictes 10 Soit A une matrice commutant avec tout le monde Caest dire (par
Matrices
2) Commutant d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée A est une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) si et seulement si ∀(i, j) ∈ [1, n] 2 (i>j
reduction
4 oct 2013 · Inversibilité des matrices triangulaires et des matrices diagonales 6 Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices 11
MATRI
on restreint le système aux matrices triangulaires supérieures il reste n(n+1). 2 inconnues. Comme AX ? XA est triangulaire supérieure
Dans cette partie on étudie le commutant des matrices élémentaires et on en triangulaire si i = j
??Commutant d'une matrice diagonale. ??Montrer que si une matrice triangulaire supérieure `a coefficients réels commute avec sa transposée.
(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K). Soit T ? Mn(R) une matrice triangulaire supérieure.
Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On triangulaire si i = j et dans tous les cas ses coefficients diagonaux ...
17 août 2017 de Toeplitz Triangulaires Supérieures ) T(t1..
4 oct. 2013 Inversibilité des matrices triangulaires et des matrices diagonales ... Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices.
Commutant d'une matrice (a) Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure (avec pour diagonale le “produit”.
Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n. Montrer triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avons.
Dimension du commutant La matrice de g dans la base ? = ?1 ? . ... triangulaires supérieures commutant à T. On va montrer que dimK(Com(T) ? Tn(K)) ...
n(K) une matrice triangulaire sup erieure Int eressons nous alors a C K(A)T n(K) Si Xest triangulaire sup erieure c’est un el ement du commutant si et seulement si AX XA= 0 ce qui donne n(n+ 1) 2 equations Cependant les equations donn ees par la diago-nale sont toujours v eri ees puisqu’on a prit Xet Atriangulaires sup erieures
1)Montrer que C(A) est une sous alg ebre de M n(K) 2)Montrer que si A est diagonale d’ el ements diagonaux deux a deux distincts alors C(A) = D n(K) l’alg ebre des matrices diagonales de M n(K) ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice
1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale Écrire la dé?-nition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres 2 Se servir de l’inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de problème 3 a Prouver la symétrie et la positivité séparément en revenant aux dé?nitions
Qu'est-ce que le commutant d'une matrice ?
Le commutant d’une matrice est l’ensemble des matrices de même taille qui commutent avec : C’est un sous-espace vectoriel de ; il s’agit d’ailleurs du noyau de l’endomorphisme de . Les exercices portant sur le commutant demandent souvent de le déterminer explicitement pour une matrice précise, souvent diagonalisable.
Comment calculer le déterminant d'une matrice triangulaire à coefficients?
Si l'anneau R est commutatif, le déterminant d'une matrice triangulaire à coefficients dans R est le produit de ses coefficients diagonaux : (Si la matrice est triangulaire supérieure, développer suivant les mineurs de la première colonne et raisonner par récurrence sur la taille de la matrice.
Comment appelle-t-on le commutant d’une matrice?
ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice Enonce Soit n 2 et A 2M n(K). On appelle commuatant de A, note C(A) l’ensemble des matrices de M
Quelle est la valeur propre d'une matrice triangulaire supérieure?
La matrice A A étant triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont données par les éléments de la diagonale. La seule valeur propre de A A est donc ? ? .
Dimension du commutant Références : Oraux X ENS Algèbre 2