Le but est de résoudre : 2y’ + 3y = x² + 1 (E1) 1) Montrer que la fonction f telle que f(x) = 27 17 9 4 3 ² − + x x est solution de (E1) 2) Montrer que g + f est solution de l’équation (E1) si et seulement si g est solution de l’équation différentielle (E2) : 2y’ + 3y = 0 3) En déduire toutes les solutions de (E1)
Correction Si l’on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le systeme est libre ` Exercice 9Soit F = { a b c 0 d e 0 0 f : a,b,c,d,e,f r´eels } Montrer que F est un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension Correction On trouve 6 pour la dimension
1 Montrer que f est continue en 0 2 Étudier la dérivabilité de f en 0 Solution : 1 On a lim x→0+ x2 = 0 Donc, f est continue en 0 2 On a : lim x→0+ x2 −0 x −0 = lim x→0+ x = 0 Donc, f est dérivable à droite en 0 et f′ d(0) = 0 De même, il est clair que f est dérivable à gauche en 0, avec f′ g(0) = 0 Donc, f est
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de RN, l’espace vectoriel des suites réelles Montrer que si u ∈F ∩G, alors u est constante en déduire que la somme F +Gest directe 2 Solution: L’équation caractéristique d’une suite de F est r2−r−3=0 Ses racines sont r1= 1− √ 13 et r2= 1+ √ 13 2 Ainsi
6 Si F est un hyperplan vectoriel de F (i e un sous-espace vectoriel de dimension n 1), on dit que ˙ F est une réflexion Montrer que det˙ F = 1 7 Montrer que l’ensemble des isométries vectorielles de E forme un
Exercice 12 : [corrigé] Soit E un Kespace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f2−3f +2Id E= 0L( ) (Q 1) Montrer que f est un isomorphisme en montrant qu’elle est injective et surjective (Q 2) En utilisant votre travail effectué sur la surjectivité, calculer son application réciproque en fonction de f
• On dit que f est différentiable sur Ω si elle est différentiable en tout point a∈Ω Dans ce cas on a une application Df (ou D1f ou f ’) de Ω dans L (E,F), appelée application dérivée (1) On dit que f est une primitive de Df • On dit que f est p fois différentiable en a si : - Dp−1f est définie sur un voisinage ouvert Ω
Algèbre linéaire 1 1 Applications linéaires : 1 1 Rang de f2: Eest un K -espace vectoriel de dimension nie n Soit f∈ L(E) 1- Montrer que rg (f2) = rg f−dim(kerf∩Im f)
Montrer que l'ensemble fxn:n 2 N g[f xg est compact Dé nition 3 15 Soit (X;d ),(Y;D ) deux espaces métriques Une fonction f :X Y est un homéomorphisme si f est une bijection telle que les fonctions f et f 1 soient continues Proposition 3 16 Soit (X;d ), (Y;D ) deux espaces métriques compacts, et f :X Y une bijection continue
Proposition 3 Si f :E → F est une application linéaire, alors l’image d’un sous-espace vectoriel de E est toujours un sous-espace vectoriel de F ; et l’image réciproque de tout sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E Corollaire 1 Si f :E → F est une application linéaire, alors ker(f)est un sous-espace
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Injection, surjection, bijection
2 Pour montrer que g est bijective deux méthodes sont possibles Première méthode : montrer que g est à la fois injective et surjective En effet soient n;n02Z tels que g(n) = g(n0) alors n+1 = n0+1 donc n = n0, alors g est injective Et g est surjective car chaque m 2Z admet un antécédent par g : en posant n=m 1 2Z on trouve bien g(n)=m Deuxième méthode : expliciter directement la bijectionTaille du fichier : 163KB
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Injectivit e et surjectivit e pour des applications
1 Montrer que, pour tout B ˆF, f(f 1(B)) = B \f(E) 2 En d eduire que si f est surjective alors, pour tout B 2P(F), f(f 1(B)) = B 3 Montrer que, pour tout A ˆE, A ˆf 1(f(A)) 4 Montrer que si f est injective alors, pour tout A 2P(E), f 1(f(A)) = A D emonstration 1 Cette question est presque tautologique, car il su t de r e ecrire les d e nitions deTaille du fichier : 100KB
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Pascal Lainé Ensembles-Applications
1 Montrer que si admet au moins une section alors est surjective 2 Montrer que toute section de est injective Une application , de dans , telle que ∘ = s’appelle une rétraction de 3 Montrer que si possède une rétraction alors est injective 4 Montrer que si est injective alors possède une rétraction
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Chapitre 5 Applications - univ-rennes1fr
n’est pas injective Montrons que u est surjective Soit y un r´eel positif On veut montrer qu’il existe au moins un ´el´ement x de R tel que y = u(x) Posons x = y −1 On a alors x ≥ −1 et y = x +1, donc y = u(x) On a donc montr´e que pour tout y ∈ R+, il existe au moins un x ∈ R tel que y = u(x), c’est-a-dire que u est surjective 5 Etude des bijectionsTaille du fichier : 105KB
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Corrigé du TD no 6
2 On se demande si h est surjective Par unicité de la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers, il est clair que 5 ne peut pas s’écrire sous la forme 2p3q avec p et q entiers naturels Donc5 n’appartientpasàl’imagedeh,c’est-à-direqueh n’estpassurjective Exercice 5 Soitf: R →R l’applicationdéfiniepar: f(x) = b2xc 2bxc−1 1
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TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles
Démontrer que 1 Si g f est injective alors f est injective 2 Si g f est injective et f est surjective alors g est injective 3 Si g f est surjective alors g est surjective 4 Si g f est surjective et g est injective alors f est surjective 5 Donner un exemple où g f est bijective, mais f n’est pas surjective
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Feuille 2 : ensembles-Applications
a (Montrer que si deux couples de réels T1, U1) (et T2, U2) vérifient { T1+ U1= T2+ U2 T1− U1= T2− U2 Alors ( T1, U1)=( T2, U2)(autrement dit T1= T2 et U1= U2) b Montrer que est injective, on pourra se ramener au système du 2 a 3 Est-ce que est surjective ?
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Exo7 - Exercices de mathématiques
montrer que f est injective et surjective Un autre argument est d’utiliser un résultat du cours : f est continue, strictement croissante avec une limite ¥ en ¥ et +¥ en +¥ donc elle est bijective de R dans R (et on sait même que la bijection réciproque est continue) Correction del’exercice2 NTaille du fichier : 178KB
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Fiche Méthode 9 : Montrer qu’une application est linéaire
• Montrerque festinjective(enmontrantqueKer(f) = f~0g,c’est-à-direque,si f(~x) = ~0,alors~x= ~0)et quefestsurjective(enmontrantquepourtout~y,l’équationf(~x) = ~yaau-moinsunesolution) • Montrer directement que f est bijective en montrant que pour tout ~y, l’équation f(~x) = ~ya une unique
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Alg ebre - mathuniv-paris13fr
Montrer que si H0est un sous-groupe distingu e de G, alors ’ 1(H0) est distingu e dans G Montrer que si ’est surjective, l’image d’un sous-groupe distingu e de Gest distingu ee dans G0 Et si ’n’est pas surjective? Solution Soit g2’ 1(H0) Pour tout h2G, on a ’(hgh 1) = ’(h)’(g)’(h) 1 est dans H0car distingu e dans G0, et donc ’ 1(H0) est distingu e dans G On suppose
ce qui montre que f n'est pas injective (b) L'application f est-elle surjective ? Autrement dit, est-il vrai que tout élément t ∈ R est l'image par f d'un certain couple
TD corrige
Si c'est le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 On suppose que g ◦ f est injective et f surjective, montrer que g est injective Exercice
MathDiscretes TD Fonctions
On suppose g ◦ f surjective Montrer que g est surjective et que f l'est aussi si g est injective Démonstration 1 (a) Premi`
fetch.php?media=pmi:dm correction
Montrer que si et sont injectives alors ∘ est injective 2 Montrer que si et sont surjectives alors ∘ est surjective 3 Que
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges applications injectives surjectives composition reciproques
f est- elle injective, surjective, bijective? Montrer que la restriction de f à l' intervalle [0,+∞[ induit une bijection dont on déterminera la réciproque b)
Feuilletage
définie, qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f−1 Exercice n ◦ 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective Exercice
TD applications
g ◦ f surjective ⇒ g surjective Montrer que si f et g sont bijectives alors g ◦ f est bijective et que (g ◦ f)-1 = f-1 ◦ g-1 Exercice 6 : Soit f : E → G une application
exercices
La seule fonction surjective est la fonction du dessin IV de F dans E Exercice 12 : Montrer que si f est une bijection croissante (respectivement décroissante)
L lecon correction exercices
On suppose g ◦ f surjective. Montrer que g est surjective et que f l'est aussi si g est injective. Démonstration. 1. (a) Premi`
https://dms.umontreal.ca/~broera/MAT1500Slides_190911.pdf
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
c) Montrer que si g o f est surjective alors g est surjective. On sait : Hyp De plus g o f est surjective et g est injective alors f est surjective. (5a) ...
Autrement dit : f est surjective si et seulement si f (E) = F. Les fonctions f représentées ci-dessous sont surjectives : E. F f x y.
Si F = E f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire
De même si f est surjective
5 nov. 2020 Est-ce que f est injective ? 2. Est-ce que f est surjective ? 3 ... En utilisant ce qu'on vient de démontrer on va montrer que f
http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Injections
Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective. Exercice 2. Soient E un ensemble f : P(E) → P(E) une application telle que : ∀A
http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Injections
Pour montrer que f est bijective on démontre qu'elle est `a la fois injective et surjective avec les méthodes précédentes. 6. Pour montrer que f n'est pas
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
https://www.pcsijbmath.sitew.fr/fs/Root/bjl7l-C01_Inj_Surj_Bij_Methode.pdf
Q2 : Montrer que si f et g sont surjectives alors g o f est surjective. On sait : Hyp : ?y ? B ?x ? A
Pour montrer que f est une application linéaire il suffit de vérifier que f(u + ?v) = f(u) Par définition
Proposition 7 – Soit f ? L (EF). f est surjective si et seulement si Im f = F. On va montrer que M(f ? g)ei
https://www.math.univ-angers.fr/~tanlei/istia/cours21112012.pdf
3 – On dit que f est une bijection ou que f est bijective si elle est `a la fois injective et surjective. Démonstration : on va démontrer l'équivalence
On suppose g ? f surjective. Montrer que g est surjective et que f l'est aussi si g est injective. Démonstration. 1. (a) Premi`
f est surjective si et seulement si Im f ==fE()F 3 3 Bijectivité Proposition 3 Soit f ?L(EF) f est dite bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective • Tout élément de E possède une image unique dans F • Tout élément de F possède un antécédent unique dans E Théorème de la dimension
Bilan f est injective non surjective et donc non bijective 2 Pour montrer que g est bijective deux méthodes sont possibles Première méthode : montrer que g est à la fois injective et surjective En effet soient n;n02Z tels que g(n) = g(n0) alors n+1 = n0+1 donc n = n0 alors g est injective Et g est surjective car chaque m 2Z admet un
Une fonction f est dite surjective si et seulement si tout réel de l’image correspond à au moins un réel du domaine de définition En notation mathématique on a ? ? ???? ( ? = ) Remarque(s) En termes d’ensembles le cardinal de X est supérieur ou égal au Cardinal de Y En notation mathématique on a
Pour l’implication directe (?) : si g f est bijective alors en particulier elle est surjective et donc d’apr`es le deuxi`eme point g est surjective Si h g est bijective elle est en particulier injective donc g est injective (c’est le 1 )
1 Montrer que pour tout B ˆF f(f 1(B)) = B f(E) 2 En d eduire que si f est surjective alors pour tout B 2P(F) f(f 1(B)) = B 3 Montrer que pour tout A ˆE A ˆf 1(f(A)) 4 Montrer que si f est injective alors pour tout A 2P(E) f 1(f(A)) = A D emonstration 1 Cette question est presque tautologique car il su t de r e ecrire les d e
• Méthode 3: Si on peut prouver que f est surjective alors Imf = F En dimension finie connaître Ker f f permet de connaître dim Im f en appliquant le théorème du rang Comment montrer que f est un endomorphisme? On montrer que f est linéaire et que E est stable par f: x E f(x) E ou encore Im f E
CPGEI - P2 Correction DM 2 - Injectivité et surjectivité pour des
Cours de Mathématiques L1 Semestre 1
Colle 5 - lundi 13 octobre 2014 - Colleur : Isenmann - MPSI