Outils Mathématiques - Chapitre I : Dérivation complexe et fonctions
où n est un entier naturel et où a0···
Analyse réelle et nombres complexes
1 sept. 2016 Keywords: Analyse réelle intégrale
FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES
FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES Cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en a et se note ... Le nombre complexe l vaut alors f (a).
Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . Les dérivées de fonctions `a valeurs complexes vérifient des propriétés similaires `a celles des ...
FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE
Les nombres complexes ont été introduits vers 1535 par les italiens Cardano L'existence d'une dérivée est une condition de régularité très forte imposée ...
5. Intégration complexe
On suppose que la valeur de l'intégrale (1.2) est un nombre complexe non nul. tandis que la dérivée z (t) est continue par morceaux.
Fonctions holomorphes Fonctions analytiques Intégration le long de
) (x0y0). Ainsi la différence est-elle de taille : dans le cas d'une fonction holomorphe
Chapitre 0 - Nombres complexes : rappels et compléments
On rappelle qu'un nombre complexe z est défini comme la somme d'un nombre réel x et On peut obtenir la dérivée de l'exponentielle en dérivant la série ...
Cours délectrocinétique - EC4-Régime sinusoïdal
Un nombre complexe écrit dans sa forme cartésienne a pour expression : La dérivée d'un signal complexe est obtenue en multipliant le signal complexe.
NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
L'exponentielle complexe est au fond le thème de ce chapitre et le bon objet duquel 1 n'est rien de plus que le nombre dérivé de la fonction sin en 0.
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Soit f : U ? C une fonction holomorphe dans U On peut alors définir sur U une nouvelle fonction appelée dérivée complexe ou plus simplement dérivée de f
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Ces solutions sont des nombres complexes c'est-à-dire qui sont la somme d'un nombre réel et d'un multiple réel de i 1 Définition Un nombre complexe z est
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Sous l'identification ci-dessus la multiplication par le nombre complexe x + iy La fonction z ?? zn (pour n ? N) est holomorphe sur C Sa dérivée en
[PDF] Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES
Nous vous invitons ici `a revoir les formules de dérivation des produits quotients et composées de fonctions ainsi que les dérivées usuelles et `a vous
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Il s'agit d'un premier cours sur le sujet o`u les propriétés des nombres complexes et l'extension aux fonctions de ces nombres des fonctions élémentaires d'une
[PDF] Analyse Complexe - Laboratoire de Mathématiques dOrsay
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Le nombre dérivé `a gauche s'il existe est noté f1pa´q Les dérivées de fonctions `a valeurs complexes vérifient des propriétés similaires `a celles des
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Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en Indication : On calculera de deux façon différente la dérivée de la
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Il est alors intéressant de considérer la fonction complexe g(x) de la variable réelle définie comme suit et d'évaluer sa dérivée : g(x) = cos x + i sin x ? g
[PDF] Analyse complexe - Ecole Normale Supérieure dOran
1 2 Représentation graphique des nombres complexes 1 3 Forme polaire deun nombre complexe 3 1 Dérivation dans le domaine complexe
Comment dériver une fonction complexe ?
Soit Z=Z(z) une fonction dérivable de la variable complexe z=x+iy. Le nombre complexe Z peut s'écrire X+iY. La fonction qui applique z sur Z se ramène à un couple de 2 fonctions réelles de 2 variables X=X(x,y),Y=Y(x,y).Comment montrer qu'une fonction complexe est constante ?
Une fonction holomorphe f ? H(U) est constante si et seulement si f = 0.Comment savoir si une fonction est holomorphe ?
Définition
1On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z0 de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z0 existe :2On dit que f est holomorphe sur U si elle est holomorphe en tout point de U.3En particulier, on appelle fonction entière une fonction holomorphe sur ?.- Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition. tout entier est dite entière.
Laurent Poinsot
LIPN UMR CNRS 7030
Université Paris XIII & École de l"Air1/39
Table des matières
1Objectifs et plan du cours
2Dérivation complexe et holomorphie
3Premières conséquences
4Exemples de fonctions holomorphes
5Dérivée complexe et différentielle
6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)
2/39Objectifs
Le but de ce cours est de présenter les
bases de l" analyse complexe qui seront utiles pour1l"aérodynamiqueet la mécanique des fluides,2la résolution d"équations différentielles(pa rexemple, les équations de
diffusion de la chaleur),3letraitement et l"analyse du signal (décomp ositionfréquentielle des signaux, essentiellement pour les radars). 3/39Plan du cours
Chap. I : Dérivation complexe et fonctions holomorphes. Chap. II : Fonctions analytiques et exemples classiques. Chap. III : Intégrales curvilignes et primitives.Chap. IV : Résidus et applications.
Chap. V : Transformée de Laplace.
Chap. VI : Transformée de Fourier.
Chap. VII : Transformée en Z.
4/39Table des matières
1Objectifs et plan du cours
2Dérivation complexe et holomorphie
3Premières conséquences
4Exemples de fonctions holomorphes
5Dérivée complexe et différentielle
6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)
5/39Topologie du plan complexe
Rappelons que le
plan complexe C, vu comme unR-espace vectoriel, est isomorphe à R2: une base (la "base canonique") est donnée parf1;ig. Une bijection est donnée par(x;y)7!x+iyet sa fonction réciproque z7!(<(z);=(z)).Par ailleurs le
mo dulejzj=p<(z)2+=(z)2induit une distance d(z1;z2) =jz1z2j qui fait deCun espace métrique.On note pourz02CetR2[0;+1],D(z0;R)= fz:jzz0j disque ouvert centré enz0et de rayonR(avecD(z0;+1) =Cpar convention), etD(z0;R)= fz:jzz0j Rgledisque fermé . En tant qu"espaces métriques,CetR2(avec la distance euclidienne habituelle) sont homéomo rphes . Dans la suite, les termes d" ouverts fermés voisinages adhérence frontière feront réfèrence à la métrique de C. Udésigne un ouvert quelconque deC.
6/39 Définition : Fonction holomorphe
Soitf:U!Cune fonction complexe. Pourz02U, si
lim z!z0f(z)f(z0)zz0 existe, alors on notef0(z0)cette limite, que l"on appelle lenomb redérivé defenz0. Sif0(z0)existe pour toutz02U, alors la fonctionfest diteholomo rphe dansU. Etfest diteholomo rpheen z0s"il existe un voisinage dez0dans lequelfest holomorphe. Une fonction holomorphe dansCtout entier est appeléefonction entière .7/39 En détail :
Dire quef0(z0)existe revient à demander que pour tout >0, il existe r>0 tel quef(z)f(z0)zz0f0(z0)< pour toutz2D(z0;r)n fz0g U. Dans ce cas, on dit aussi quefestdérivable (au sens complexe) en z0. 8/39 Définition : Dérivée
Soitf:U!Cune fonction holomorphe dansU.
On peut alors définir surUune nouvelle fonction, appeléedérivée complexe , ou plus simplement dérivée , def, et notéef0oudfdz , laquelle, bien sûr, à tout pointz02Uassocie le nombre dérivéf0(z0)defen ce point.Autrement dit,f0(z0) =limz!z0 f(z)f(z0)zz0 pour chaquez02U. 9/39 (Contre-)Exemple La fonctionf:z7!z2est holomorphe dansCetf0(z0) =2z0.La fonctionf:z7!zn"est nulle part dérivable.La fonctionf:z7! jzj2est dérivable en 0 mais n"est pas holomorphe
en 0. 10/39 Table des matières
1Objectifs et plan du cours
2Dérivation complexe et holomorphie
3Premières conséquences
4Exemples de fonctions holomorphes
5Dérivée complexe et différentielle
6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)
11/39 Proposition
Sif:U!Cest dérivable enz02U, alors elle est continue enz0.12/39 Preuve
Dire quefest dérivable enz0revient à dire que pourhsuffisamment proche de zéro,f(z0+h) =f(z0) +hf0(z0) +jhj(h)avec limh!0(h) =0. On en déduit immédiatement quefest continue enz0.13/39 Proposition
Soientf;gdeux fonctions holomorphes dansU, et soit2C. Alors les fonctionsf+g,f,fg,fg (à la condition quegne s"annule en aucun point deU) et pour toutn2Z,fn(pourn<0, il faut de surcroît supposer que fne s"annule pas surU) sont holomorphes dansU, et leurs dérivées sont(f+g)0=f0+g0.(f)0=f0.(fg)0=f0g+fg0
fg 0 =(f0gfg0)g 2.(fn)0=nfn1f0.On retrouve par conséquent les formules usuelles du calcul des dérivées.
14/39 Proposition
Soientf:U!Cetg:V!Cdes fonctions holomorphes respectivement dansUet dansV, et telles quef(U)V. Alorsgf:U!Cest holomorphe dansU, et sa dérivée est (gf)0= (g0f)f0.15/39 Table des matières
1Objectifs et plan du cours
2Dérivation complexe et holomorphie
3Premières conséquences
4Exemples de fonctions holomorphes
5Dérivée complexe et différentielle
6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)
16/39 Fonctions polynomiales
Les fonctions constantes sont entières et de dérivées nulles en tout point. La fonction identiquez7!zest entière et sa dérivée est la fonction constante égale à 1. À partir de ces fonctions, on obtient par additions et multiplications l"holomorphie dansCde toutes les fonctionsfqui s"écrivent sous la forme suivante f(z) =nX i=0a izi oùnest un entier naturel et oùa0;;ansont des nombres complexes. Une telle fonction est dite
fonction p olynôme ou fonction p olynomiale La dérivée defest donnée pour toutz2Cpar
f 0(z) =0;sin=0
et f 0(z) =nX
i=1ia izi1=n1X j=0(j+1)aj+1zj;sin>0. 17/39 Unicité de la représentation d"une fonction polynomiale L"ensemble des fonctions deCdans lui-même est bien sûr unC-espace vectoriel de façon évidente. On constate que la fonction polynomialefdu transparent précédent est une combinaison linéaire de fonctions z7!znpourn2N. L"écriture def(comme combinaison linéaire) est alors unique à la condition que les fonctionsz7!zn,n2N, soientC-linéairement indépendantes, i.e., sin2Net(a0;;an)2Cn+1sont tels que pour toutz2C,Pn i=0aizi=0, alors tous lesaisont nuls. Or cela est vrai (preuve par récurrence surn) :Proposition Soitfune fonction polynomiale non identiquement nulle. Alors il existe un unique entiern2N(ledegré ) et un unique(n+1)-tuple (a0;;an)2Cn+1(lesco efficients) tels que pour toutz2C, f(z) =Pn i=0aizi, etan6=018/39 Fonctions rationnelles
On appelle
fonction rationnelle toute fonction fde la formeg=hoùgeth sont deux fonctions polynomiales,hétant supposée en outre non identiquement nulle (i.e., non représentée par le polynôme nul). La fonctionfest alors définie etholomo rphedans le complémentaire de l"ensemble des zéros deh(lequel est un ouvert). Sa dérivée est donc donnée par la formule f 0=g0hgh0h
2: Il en résulte que la dérivée d"une fonction rationnelle est rationnelle. 19/39 Remarque
On a d"emblée l"ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible p ourla fonction rationnelle f, c"est-à-dire dans laquellegethsont premiers entre eux. Rappelons que deux polynômes sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont les constantes non nulles; en particulier deux polynômes premiers entre eux ne possèdent pas de zéro commun - sinon ils auraient un diviseur commun de degré 1. 20/39 Table des matières
1Objectifs et plan du cours
2Dérivation complexe et holomorphie
3Premières conséquences
4Exemples de fonctions holomorphes
5Dérivée complexe et différentielle
6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)
21/39
Il existe surCdeux structures évidentes d"espace vectoriel : - d"une part, en tant que corps,Cest un espace vectoriel sur lui-même de dimension 1 (la base canonique est alors donnée parf1g), - d"autre part, c"est aussi unR-espace vectoriel de dimension 2, avec pour base canoniquef1;ig; cela permet d"identifier leR-espace vectorielCavec R 2viaz7!(<(z);=(z))et, inversement,(x;y)7!x+iy.Remarque
Soit:C!C. Dire queest linéaire n"a de sens que si on sait à quelle structure d"espace vectoriel surCon se réfère. Pour être plus précis on prendra soin d"indiquer queestR-linéaire(resp ectivement,C-linéaire) si elle est linéaire au sens de la structure vectorielle réelle (respectivement, complexe). 22/39
ApplicationsR-linéaires ouC-linéaires
Soit:C!C.
Posons(1) =aet(i) =b.
SiestR-linéaire, alors on a pour toutz=x+iy,
(z) =ax+by: C"est la forme générale des applicationsR-linéaires deCdans lui-même.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
Udésigne un ouvert quelconque deC.
6/39Définition : Fonction holomorphe
Soitf:U!Cune fonction complexe. Pourz02U, si
lim z!z0f(z)f(z0)zz0 existe, alors on notef0(z0)cette limite, que l"on appelle lenomb redérivé defenz0. Sif0(z0)existe pour toutz02U, alors la fonctionfest diteholomo rphe dansU. Etfest diteholomo rpheen z0s"il existe un voisinage dez0dans lequelfest holomorphe. Une fonction holomorphe dansCtout entier est appeléefonction entière .7/39En détail :
Dire quef0(z0)existe revient à demander que pour tout >0, il existe r>0 tel quef(z)f(z0)zz0f0(z0)< pour toutz2D(z0;r)n fz0g U. Dans ce cas, on dit aussi quefestdérivable (au sens complexe) en z0. 8/39Définition : Dérivée
Soitf:U!Cune fonction holomorphe dansU.
On peut alors définir surUune nouvelle fonction, appeléedérivée complexe , ou plus simplement dérivée , def, et notéef0oudfdz , laquelle, bien sûr, à tout pointz02Uassocie le nombre dérivéf0(z0)defen ce point.Autrement dit,f0(z0) =limz!z0 f(z)f(z0)zz0 pour chaquez02U. 9/39 (Contre-)ExempleLa fonctionf:z7!z2est holomorphe dansCetf0(z0) =2z0.La fonctionf:z7!zn"est nulle part dérivable.La fonctionf:z7! jzj2est dérivable en 0 mais n"est pas holomorphe
en 0. 10/39Table des matières
1Objectifs et plan du cours
2Dérivation complexe et holomorphie
3Premières conséquences
4Exemples de fonctions holomorphes
5Dérivée complexe et différentielle
6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)
11/39Proposition
Sif:U!Cest dérivable enz02U, alors elle est continue enz0.12/39Preuve
Dire quefest dérivable enz0revient à dire que pourhsuffisamment proche de zéro,f(z0+h) =f(z0) +hf0(z0) +jhj(h)avec limh!0(h) =0. On en déduit immédiatement quefest continue enz0.13/39Proposition
Soientf;gdeux fonctions holomorphes dansU, et soit2C. Alors les fonctionsf+g,f,fg,fg (à la condition quegne s"annule en aucun point deU) et pour toutn2Z,fn(pourn<0, il faut de surcroît supposer quefne s"annule pas surU) sont holomorphes dansU, et leurs dérivées sont(f+g)0=f0+g0.(f)0=f0.(fg)0=f0g+fg0
fg 0 =(f0gfg0)g2.(fn)0=nfn1f0.On retrouve par conséquent les formules usuelles du calcul des dérivées.
14/39Proposition
Soientf:U!Cetg:V!Cdes fonctions holomorphes respectivement dansUet dansV, et telles quef(U)V. Alorsgf:U!Cest holomorphe dansU, et sa dérivée est (gf)0= (g0f)f0.15/39Table des matières
1Objectifs et plan du cours
2Dérivation complexe et holomorphie
3Premières conséquences
4Exemples de fonctions holomorphes
5Dérivée complexe et différentielle
6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)
16/39Fonctions polynomiales
Les fonctions constantes sont entières et de dérivées nulles en tout point. La fonction identiquez7!zest entière et sa dérivée est la fonction constante égale à 1. À partir de ces fonctions, on obtient par additions et multiplications l"holomorphie dansCde toutes les fonctionsfqui s"écrivent sous la forme suivante f(z) =nX i=0a izi oùnest un entier naturel et oùa0;;ansont des nombres complexes.Une telle fonction est dite
fonction p olynôme ou fonction p olynomialeLa dérivée defest donnée pour toutz2Cpar
f0(z) =0;sin=0
et f0(z) =nX
i=1ia izi1=n1X j=0(j+1)aj+1zj;sin>0. 17/39 Unicité de la représentation d"une fonction polynomiale L"ensemble des fonctions deCdans lui-même est bien sûr unC-espace vectoriel de façon évidente. On constate que la fonction polynomialefdu transparent précédent est une combinaison linéaire de fonctions z7!znpourn2N. L"écriture def(comme combinaison linéaire) est alors unique à la condition que les fonctionsz7!zn,n2N, soientC-linéairement indépendantes, i.e., sin2Net(a0;;an)2Cn+1sont tels que pour toutz2C,Pn i=0aizi=0, alors tous lesaisont nuls. Or cela est vrai (preuve par récurrence surn) :Proposition Soitfune fonction polynomiale non identiquement nulle. Alors il existe un unique entiern2N(ledegré ) et un unique(n+1)-tuple (a0;;an)2Cn+1(lesco efficients) tels que pour toutz2C, f(z) =Pn i=0aizi, etan6=018/39Fonctions rationnelles
On appelle
fonction rationnelle toute fonction fde la formeg=hoùgeth sont deux fonctions polynomiales,hétant supposée en outre non identiquement nulle (i.e., non représentée par le polynôme nul). La fonctionfest alors définie etholomo rphedans le complémentaire de l"ensemble des zéros deh(lequel est un ouvert). Sa dérivée est donc donnée par la formule f0=g0hgh0h
2: Il en résulte que la dérivée d"une fonction rationnelle est rationnelle. 19/39Remarque
On a d"emblée l"ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible p ourla fonction rationnelle f, c"est-à-dire dans laquellegethsont premiers entre eux. Rappelons que deux polynômes sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont les constantes non nulles; en particulier deux polynômes premiers entre eux ne possèdent pas de zéro commun - sinon ils auraient un diviseur commun de degré 1. 20/39Table des matières
1Objectifs et plan du cours
2Dérivation complexe et holomorphie
3Premières conséquences
4Exemples de fonctions holomorphes
5Dérivée complexe et différentielle
6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)
21/39Il existe surCdeux structures évidentes d"espace vectoriel : - d"une part, en tant que corps,Cest un espace vectoriel sur lui-même de dimension 1 (la base canonique est alors donnée parf1g), - d"autre part, c"est aussi unR-espace vectoriel de dimension 2, avec pour base canoniquef1;ig; cela permet d"identifier leR-espace vectorielCavec R
2viaz7!(<(z);=(z))et, inversement,(x;y)7!x+iy.Remarque
Soit:C!C. Dire queest linéaire n"a de sens que si on sait à quelle structure d"espace vectoriel surCon se réfère. Pour être plus précis on prendra soin d"indiquer queestR-linéaire(resp ectivement,C-linéaire) si elle est linéaire au sens de la structure vectorielle réelle (respectivement, complexe). 22/39ApplicationsR-linéaires ouC-linéaires
Soit:C!C.
Posons(1) =aet(i) =b.
SiestR-linéaire, alors on a pour toutz=x+iy,
(z) =ax+by: C"est la forme générale des applicationsR-linéaires deCdans lui-même.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] apprendre ? prendre des notes cm2
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