Outils Mathématiques - Chapitre I : Dérivation complexe et fonctions
où n est un entier naturel et où a0···
Analyse réelle et nombres complexes
1 sept. 2016 Keywords: Analyse réelle intégrale
FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES
FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES Cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en a et se note ... Le nombre complexe l vaut alors f (a).
Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . Les dérivées de fonctions `a valeurs complexes vérifient des propriétés similaires `a celles des ...
FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE
Les nombres complexes ont été introduits vers 1535 par les italiens Cardano L'existence d'une dérivée est une condition de régularité très forte imposée ...
5. Intégration complexe
On suppose que la valeur de l'intégrale (1.2) est un nombre complexe non nul. tandis que la dérivée z (t) est continue par morceaux.
Fonctions holomorphes Fonctions analytiques Intégration le long de
) (x0y0). Ainsi la différence est-elle de taille : dans le cas d'une fonction holomorphe
Chapitre 0 - Nombres complexes : rappels et compléments
On rappelle qu'un nombre complexe z est défini comme la somme d'un nombre réel x et On peut obtenir la dérivée de l'exponentielle en dérivant la série ...
Cours délectrocinétique - EC4-Régime sinusoïdal
Un nombre complexe écrit dans sa forme cartésienne a pour expression : La dérivée d'un signal complexe est obtenue en multipliant le signal complexe.
NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
L'exponentielle complexe est au fond le thème de ce chapitre et le bon objet duquel 1 n'est rien de plus que le nombre dérivé de la fonction sin en 0.
[PDF] Chapitre I : Dérivation complexe et fonctions holomorphes - LIPN
Soit f : U ? C une fonction holomorphe dans U On peut alors définir sur U une nouvelle fonction appelée dérivée complexe ou plus simplement dérivée de f
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Ces solutions sont des nombres complexes c'est-à-dire qui sont la somme d'un nombre réel et d'un multiple réel de i 1 Définition Un nombre complexe z est
[PDF] Fonctions dune variable complexe - Laboratoire JA Dieudonné
Sous l'identification ci-dessus la multiplication par le nombre complexe x + iy La fonction z ?? zn (pour n ? N) est holomorphe sur C Sa dérivée en
[PDF] Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES
Nous vous invitons ici `a revoir les formules de dérivation des produits quotients et composées de fonctions ainsi que les dérivées usuelles et `a vous
[PDF] Analyse complexe - Département de mathématiques et statistique
Il s'agit d'un premier cours sur le sujet o`u les propriétés des nombres complexes et l'extension aux fonctions de ces nombres des fonctions élémentaires d'une
[PDF] Analyse Complexe - Laboratoire de Mathématiques dOrsay
nombres complexes avant de présenter les concepts topologiques bien sûr de telles fonctions qui n'admettent pas de dérivée continue d'ordre 2 — penser
[PDF] Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
Le nombre dérivé `a gauche s'il existe est noté f1pa´q Les dérivées de fonctions `a valeurs complexes vérifient des propriétés similaires `a celles des
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1
Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en Indication : On calculera de deux façon différente la dérivée de la
[PDF] Nombres complexes : rappels et compléments - ENS
Il est alors intéressant de considérer la fonction complexe g(x) de la variable réelle définie comme suit et d'évaluer sa dérivée : g(x) = cos x + i sin x ? g
[PDF] Analyse complexe - Ecole Normale Supérieure dOran
1 2 Représentation graphique des nombres complexes 1 3 Forme polaire deun nombre complexe 3 1 Dérivation dans le domaine complexe
Comment dériver une fonction complexe ?
Soit Z=Z(z) une fonction dérivable de la variable complexe z=x+iy. Le nombre complexe Z peut s'écrire X+iY. La fonction qui applique z sur Z se ramène à un couple de 2 fonctions réelles de 2 variables X=X(x,y),Y=Y(x,y).Comment montrer qu'une fonction complexe est constante ?
Une fonction holomorphe f ? H(U) est constante si et seulement si f = 0.Comment savoir si une fonction est holomorphe ?
Définition
1On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z0 de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z0 existe :2On dit que f est holomorphe sur U si elle est holomorphe en tout point de U.3En particulier, on appelle fonction entière une fonction holomorphe sur ?.- Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition. tout entier est dite entière.
Chapitre 4
Nombres complexes et exponentielle
complexeSommaire4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
824.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
834.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
844.4.1 Racines n-ieme de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
844.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . .
854.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . .
854.5 Suites et fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.5.1 Suites a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.5.2 Fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.6 Application aux equations dierentielles lineaires d'ordre un a coecients constants
89 4.1 Denition
Proposition et Denition 4.1On denit surR2des operations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a)pa;bq pc;dq pac;bdq; (b)pa;bq pc;dq pacbd;adbcq.Muni des operations,R2est un corps commutatif (cf. denition 1.52) dont l'element neutre pour l'addition
estp0;0qet l'element neutre pour la multiplication estp1;0q. On note ce corpsC. C'est le corps des nombres
complexes. On denitegalement la multiplication d'un nombre reel par un nombre complexe de la facon suivante :
(c)k:pa;bq pka;kbq.On a doncpa;bq a:p1:0q b:p0;1q. Commep1;0qest l'element neutre pour la multiplication, on le note plus
simplement 1, et on notei p0;1q. On ecrit ainsi les nombres complexes sous la formeabiouaib. L'addition
et la multiplication sont alors donnees par les formules : (a')paibq pcidq pacq ipbdq, (b')paibq pcidq pacbdq ipadbcq, et on constate quei2ii 1. Sizaib, on appelle : (d) partie r eellede zle nombre reel4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe
Proposition et Denition 4.2OMpzqMpkzq1kxyOn identieCau plan en associant au nombre complexezaible point
Mde coordonneespa;bq. Le nombrezest alors appele axe deMet on ecritMMpzq.Dans cette representation :
(a) le mo dulede zn'est autre que la longueurOMpzq; (b) l'addition de z1correspond a la translation de vecteurÝÝÝÝÑ0Mpz1q; (c) la m ultiplicationpar un nom brer eelkcorrespond a l'homothetie de centreOet de rapportk; (d) la m ultiplicationpar icorrespond a la rotation de centreOet d'angle2 (e) la conjugaison corresp ond ala sym etriepar rapp ort al'axe Ox.OMpzqMpz1qMpz`z1q
xyOMpzqMpkzq1kxyOMpzqMpizqa"?epzq?mpzq "b
´b"?epizqa"?mpizqxyOMpzq
Mp¯zqa"?epzq?mpzq "b
?mp¯zq " ´bxyLa preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.Denition 4.3OMpzqMpkzq1kxySoitzaibun nombre complexe non nul. On appelle argument dez, et on note argpzq,
l'angleentre l'axeOxet le vecteurÝÝÝÝÑOMpzq. L'argument dezest deni a 2pres. On ecrit argpzq r2s.
UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen82maj 28 ao^ut, 20171M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesOMpzq
θ"argpzq r2πs
1ab xyOn a alors cosaOMpzqa|z|et sinbOMpzqb|z|, d'ouzaib |z|a|z|ib|z| |z|pcosisinq.Cette expression s'appelle la forme polaire dez(alors que l'expressionaibs'appelle la forme cartesienne dez).
Proposition 4.4Soitzetz1deux nombres complexes non nuls. On a argpzz1q argpzq argpz1q. Preuve :On pose part de la forme polaire dezetz1:zrpcosisinqetz1r1pcos1isin1q. On aalors :zz1rr1pcoscos1sinsin1q ipcossin1sincos1qrr1cosp1q isinp1q.Remarque 4.5On deduit de ce qui precede que la multiplication par le nombre complexe cos'isin', de
module 1 et d'argument', correspond, dans le plan, a la rotation de centreOet d'angle'.OMpzqMpz1qz
1"zˆpcos?`isin?q
xy4.3 Exponentielle complexeDenition 4.6(a)Soit PR; on pose exppiq cosisin;
(b) Soit zaibPCavecpa;bq PR2; on pose exppzq eapcosbisinbq, oueaest l'exponentielle usuelle denie sur les nombres reels.Remarque 4.7(1)Comme p ourl'exp onentieller eelle,il est d'usage de noter l'exp onentiellecom plexe egalementsous la
formeez, mais attention : alors que pourxPR,exest bien egal aepuissancex, qu'on peut denir independamment de l'exponentielle, ce n'est pas le cas pourezaveczPC. (2) Les fonctions sin xet cosxetant periodique de periode 2, la fonctionezest periodique de periode 2i, c.-a-d. :ezk2iezpour toutkPZ. (3) De la d enitionon d eduitimm ediatementque |ez| e2233456
e i1?3i2?2i?2 21i?32i1i?3
2 ?2i?2 2 ?3i210 6 4 3 2 2334
56e
i1?3i2?2i?2 21i?3
2i1i?3
2 ?2i?2 2?3i21L'inter^et de cette denition reside dans la propriete suivante, analogue a celle de l'exponentielle usuelle denie
sur les nombres reels. Proposition 4.8(a)P ourtout pz;z1q PC2, on a :ezz1ezez1.Consequence :
(b) p ourtout zPCon a :ez0 et l'inverse deezestez; (c) p ourtout zPCetnPZon a :enzezn. Preuve :(a)Soit zaibavecpa;bq PR2etz1a1ib1avecpa1;b1q PR2. On a alorsezeapcosbisinbqet e z1ea1pcosb1isinb1q, d'ouezez1eaea1pcosbcosb1sinbsinb1q ipsinbcosb1cosbsinb1qc.-a-d. : e zez1eaa1cospbb1q isinpbb1qezz1. (b) D'apr esle p ointpr ecedent,on a ezeze01 d'ou le resultat annonce. (c)Si nPNalorsenzenfoishkkkikkkj
zzznfoishkkkkikkkkj e zezezezn. SinPZ, alorsn kaveckPNet alors, par denition, ezn1 ezk, maisezkekzdoncezn1e kzekzenz. Ennez01 par denition, mais 1e0e0zd'ouez0e0z.4.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe4.4.1 Racines n-ieme de l'unite
Denition 4.9SoitnPN. On appelle racinen-ieme de l'unite tout nombre complexe!tel que!n1. Remarque 4.10Pour toutkPZ, le nombre complexeei2kn ei2n kest une racinen-ieme de l'unite. De plus, s'il existepPZtel quek1kpn, alors : e i2k1n ei2pkpnqn ei2kn i2pei2kn ei2pei2kn pei2qpei2kn Proposition 4.11SoitnPN. Il y a exactementnnombres complexes qui sont racinesn-iemes de l'unite.Ce sont les nombres :
e i2kn ei2n Preuve :Si!n1, alors!0, donc!reiavecr |!| PRetargp!q P r0;2r. On a alors : r nein1, d'ourn1 et doncr1 d'une part, etn0pmod 2qet doncn2k, c.-a-d.2kn aveckPZ, d'autre part. Ainsi, toute les racinesn-ieme de l'unite sont de la formeei2kn aveckPZ. De plus e i2k1n ei2kn si et seulement si2k1n 2kn r2s, c.-a-d. s'il existepPZtel que2k1n 2kn2p, c.-a-d.
k1kpn. Mais d'apres le theoreme de division euclidienne, pour toutk1PZ, il existe un unique couplepp;kq
1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexes4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque
Denition 4.12SoientzPCetnPN. On appelle racinen-ieme deztout nombre complexe!tel que nz. Proposition 4.13SoientzeiPCetnPN. Il y a exactementnnombres complexes qui sont racines n-iemes dez. Ce sont les nombres : n?e i2knPreuve :c'est une consequence immediate de la proposition 4.11.4.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque
D'apres la proposition 4.13 tout nombre complexe non nul a exactement 2 racines carrees, mais l'expression qui
en est donnee est sous forme polaire. On en donne ici une expression cartesienne.SoitzaibPCet!xiytel que!2z; on a alors :
x2y2 2b2: On en deduit que :
x 2?a 2b2a2 ety2?a 2b2a2 On distingue plusieurs cas :
Si b0 eta¡0 alorsy0 etx2ad'oux?aoux ?a, c.-a-d. :!?aou! ?a. Si b0 eta 0 alorsx0 ety2 |a|d'ouya|a|ouy a|a|c.-a-d. :!ia|a|ou! ia|a|. Si b¡0 alorsxetysont de m^eme signe car 2xyb¡0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Si b 0 alorsxetysont de signes opposes car 2xyb 0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Ces formules ne sont pas a retenir par cur. Voici un exemple pour les illustrer. Exemple 4.14soitz43iet!xiytel que!2z; on a alors : x 2y2 232?255;
on en deduit que : x 292
ety212 orxy 0 doncxetysont de signes opposes, d'ou les deux valeurs possibles de!: x3?2 ety 1?2 d'ou!3i?2 x 3?2 ety1?2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
On en deduit que :
x 2?a 2b2a2 ety2?a 2b2a2On distingue plusieurs cas :
Si b0 eta¡0 alorsy0 etx2ad'oux?aoux ?a, c.-a-d. :!?aou! ?a. Si b0 eta 0 alorsx0 ety2 |a|d'ouya|a|ouy a|a|c.-a-d. :!ia|a|ou! ia|a|. Si b¡0 alorsxetysont de m^eme signe car 2xyb¡0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Si b 0 alorsxetysont de signes opposes car 2xyb 0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Ces formules ne sont pas a retenir par cur. Voici un exemple pour les illustrer. Exemple 4.14soitz43iet!xiytel que!2z; on a alors : x2y2 232?255;
on en deduit que : x 292
ety212 orxy 0 doncxetysont de signes opposes, d'ou les deux valeurs possibles de!: x3?2 ety 1?2 d'ou!3i?2 x 3?2 ety1?2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
232?255;
on en deduit que : x 292ety212 orxy 0 doncxetysont de signes opposes, d'ou les deux valeurs possibles de!: x3?2 ety 1?2 d'ou!3i?2 x 3?2 ety1?2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
[PDF] apprendre ? prendre des notes cm2
[PDF] caplp anglais 2017
[PDF] dessin svt pour page de garde
[PDF] rapport de jury caplp 2016
[PDF] exercices sur les loisirs
[PDF] configuration routeur wifi menara
[PDF] résumé chapitre par chapitre le rapport de brodeck
[PDF] fiche methode schema
[PDF] le rapport de brodeck analyse des personnages
[PDF] le rapport de brodeck analyse fin
[PDF] le rapport de brodeck questionnaire de lecture
[PDF] fratergekeime
[PDF] le rapport de brodeck analyse littéraire
[PDF] cathor
