[PDF] NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

L"introduction qui suit est plus un survol destiné à vous séduire qu"un voyage sur la terre ferme au cours duquel on

prouverait tout, mais tout vient à point à qui sait attendre et l"essentiel sera démontré en fin d"année.

ez=+∞? n=0z nn!. Nous verrons plus tard dans l"année que pour toutz??, la suite complexe" n? k=0z kk!" n??converge. Par définition, sa limite est notée e zet appeléeexponentielle(de)z.

Ne sommes-nous pas cependant en train de donner une deuxièmesignification à la notation exquandx

est un réel alors qu"elle en a déjà une? Heureusement non, lesdeux exponentielles coïncident. La fonction

exponentielle qu"on vous a introduite en Première est en effet la seule fonctionf? ?(?,?)pour laquellef?=fetf(0) =1

et il se trouve que la nouvelle exponentielle possède ces propriétés. En principe, une somme infinie ne se dérive pas comme

une somme finie, mais on peut montrer que dans le cas qui nous occupe, les choses se passent bien. Ainsi, pour toutx??:

d dxex=ddx" n=0x nn!"

Gonflé!=+∞?

n=0ddx! xnn!! n=0nx n-1n!=+∞? n=1 xn-1 (n-1)!=+∞? k=0x kk!=exet e0=+∞? n=00 nn!=00=1.

Plus généralement, étant donnés un intervalleIet une fonction?? ?(I,?), dérivons la fonction complexe e?:

e??=" n=0? n n!"

Gonflé!=+∞?

n=0n???n-1n!=??+∞? n=1 ?n-1 (n-1)!=??+∞? k=0? kk!=??e?.

Intéressons-nous à présent au produit de deux exponentielles et autorisons-nous à manipuler les sommes infinies avec

légèreté. Nous verrons en fin d"année que les calculs qui suivent sont corrects, mais ça n"a rien d"évident. Pour tousz,z???:

e zez?=+∞? i=0z i i!×+∞? j=0z ?jj!=? i,j?0z iz?ji!j!=+∞? n=0? i,j?0 i+j=nz iz?ji!j!après regroupement des termes en fonction dei+j n=0n i=0z iz?n-i i!(n-i)!=+∞? n=01n!n i=0! n i! z iz?n-i=+∞? n=0(z+z?)nn!=ez+z?.

Qui eût cru que la relation e

z+z?=ezez?était une autre manière d"énoncer la formule du binôme? En particulier, pour toutz??: eze-z=e0=1, donc d"une part ez?=0, et d"autre part1 ez=e-z.

Autre relation utile, pour toutz??:

ez= n=0z n n!=+∞? n=0 zn n!=e z. En particulier, pour toutx??: eix??2=eix eix=eixeix=eixe-ix=eix-ix=e0=1, donc e

ixappartient à l"ensemble?des nombres complexes de module 1. On définit finalement les fonctions cosinus et sinus

à partir de l"exponentielle complexe en posant pour toutx??: cosx=Reeix=eix+e-ix2et sinx=Imeix=eix-e-ix2i.

Les fonctions ainsi définies sont de banales fonctions de?dans?et pour toutx??: eix=cosx+isinx. En termes

de module, cette relation montre que cos

2x+sin2x=1, et si nous la dérivons, que :

cos ?(x)+isin?(x) =d dxeix=i×eix=i×(cosx+isinx) =-sinx+icosx, donc par identification des parties réelle et imaginaire : cos?=-sin et sin?=cos. Dernier calculessentiel,pourtousx,y??: cos(x+y) +isin(x+y) =ei(x+y)=eixeiy= (cosx+isinx)(cosy+isiny) =cosxcosy-sinxsiny+isinxcosy+cosxsiny, donc par identification des parties réelle et imaginaire : cos(x+y) =cosxcosy-sinxsiny et : sin(x+y) =sinxcosy+cosxsiny. Beurk!

Je ne m"aventurerai pas plus loin sur ce sentier qui pose plusde questions qu"il n"apporte de réponses. Si on suivait la

piste jusqu"au bout, on parviendrait à définir le nombreπlui-même à partir de l"exponentielle complexe en montrant que

les solutions de l"équation e ix=1 d"inconnuex??sont tous les multiples d"un certain réel positif, 2πpar définition.

Mais trève de bavardages! Oubliez les détails et retenez ceci :LA TRIGONOMÉTRIE EST FONDAMENTALEMENT UNE AFFAIRE

DE NOMBRES COMPLEXES. Bien que?ait pu vous sembler artificiel au premier abord, la relation unique ei(x+y)=eixeiyest

clairement plus satisfaisante que les deux formules d"addition cos(x+y) =... et sin(x+y) =... L"exponentielle complexe

est le thème de ce chapitre et le bon objet duquel nous partirions proprement si nous en avions les moyens. Nous ne les

avons pas à ce stade de l"année, c"est comme ça, et je m"appuierai désormais uniquement sur vos connaissances du lycée.

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

1 FONCTIONS COSINUS,SINUS ET TANGENTE

1.1 RELATIONS DE CONGRUENCE

Définition(Relations de congruence, ensemblesα?+β)Soitα,β??. Pour tousx,y??, on dit quex est congru

à y moduloα, ce qu"on note :x≡y[α], si pour un certaink??:x=y+kα.

L"ensemble

x??|x≡β[α]

β+kα|k??

est généralement notéα?+βouβ+α?.

Exemple

•Être pair c"est être congru à 0 modulo 2, être impair c"est être congru à 1 modulo 2. L"ensemble des entiers pairs est

donc 2?tandis que l"ensemble des entiers impairs est 2?+1. •Les mesures d"angles orientés sont définies modulo 2π: 11π≡π[2π]et-π

2≡3π2[2π].

•On peut généraliser la notation "α?+β». Par exemple,

2,π2

+π?est l"ensemble des réels de la formex+kπ, xdécrivant

2,π2

etkdécrivant?. Dans ce cas particulier, il se trouve que -π2,π2 +π?=?\ π2+π?

1.2 FONCTIONS COSINUS ET SINUS

Définition-théorème(Fonctions cosinus et sinus, lien avec le cercle trigonométrique) cosθ sinθ •Lien avec le cercle trigonométrique :Pour toutθ??: cos2θ+sin2θ=1. Réciproquement, pour tout couple(x,y)??2pour lequelx2+y2=1, il existe un réelθ,unique modulo 2π,pour lequel(x,y) = (cosθ,sinθ).Entermes géométriques, tout point du cercle trigonométrique a des coordonnées de laforme(cosθ,sinθ). ?y

π-y

-y cosy siny sinx=siny si et seulement si xvautyouπ-y modulo 2π. cosx=cosy si et seulement si xvautyou-y modulo 2π.

•Résolution d"équations :Pour tousx,y??:

#cosx=cosy??x≡y[2π]oux≡ -y[2π].

•Transformations affines :Les relations suivantes se lisent toutes sur le cercle trigonométrique. Pour toutx??:

sin(x+π) =-sinx sin(π-x) =sinxsin x+π2 =cosxsin π2-x =cosx cos(x+π) =-cosx cos(π-x) =-cosxcos x+π2 =-sinxcos π2-x =sinx

D"après les relations : cos(x+π) =-cosxet sin(x+π) =-sinx, ajouterπdans un cosinus ou un sinus revient

à le multiplier par-1. Ajouterkπ=π+...+πrevient donc à multiplier par(-1)×...×(-1) = (-1)kpour toutk??.

End"autres termes:

cos(x+kπ) = (-1)kcosxet sin(x+kπ) = (-1)ksinx.En particulier : cos(kπ) = (-1)k et : sin(kπ) =0. ?Attention !cosx=cosy??x=y.À peine mieux :cosx=cosy??x≡y[2π]. ExemplePour toutx??: sinx=cosx??x≡π4[π].

DémonstrationCette équivalence se lit bien sur le cercle trigonométrique, mais on peut aussi la démontrer

par le calcul. Pour toutx??: sinx=cosx??sinx=sin π 2-x ??x≡π

2-x[2π]oux≡π- π2-x

0≡π

2[2π]??x≡π4[π].

2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

tanxsinxcosxx 0 010 1 1 ?21 ?2π 4 1 ?31 2? 3 2π 6 3? 3 21
2π 3

10π

2Les valeurs remarquables du cosinus, du sinus

et de la tangente (paragraphe suivant) doivent être connuesPAR COEUR! Définition-théorème(Fonctions cosinus et sinus, aspects fonctionnels)

•Fonction cosinus :La fonction cos est paire, 2π-périodique, indéfiniment dérivable sur?, et : cos?=-sin.

•Fonction sinus :La fonction sin est impaire, 2π-périodique, indéfiniment dérivable sur?, et : sin?=cos.

Pour toutx??:|sinx|?|x|. En outre : limx→0sinx x=1, autrement dit sinx≈xpourxproche de 0. 2 3π 2 2π y=cosx 2 3π 2 2π y=sinx

Tangente en 0

d"équationy=x

DémonstrationLa limite limx→0sinxx=1 n"est rien de plus que le nombre dérivé de la fonction sin en 0.

Ensuite, la fonction sin est concave sur[0,π]car sa dérivée cos y est décroissante, donc pour toutx?[0,π]:

|sinx|=sinx?sin?(0)x+sin0=0. A fortiori, pour toutx?[-π,0]:|sinx|=??sin(-x)???|-x|=|x|. Enfin, l"inégalité est triviale pourx> πetx< π:|sinx|?1?π?|x|. Théorème(Fonctions cosinus et sinus, formules d"addition et de produit)Pour tousx,y??: sin(x+y) =sinxcosy+cosxsiny sin(x-y) =sinxcosy-cosxsiny cos(x+y) =cosxcosy-sinxsiny cos(x-y) =cosxcosy+sinxsiny sinxsiny=12 cos(x-y)-cos(x+y) sinxcosy=12 sin(x+y)+sin(x-y) cosxcosy=12 cos(x+y)+cos(x-y) Pourx=y, ces relations s"appellentformules de duplication: sin2x=1-cos(2x)

2, cos2x=1+cos(2x)2,

sin(2x) =2sinxcosxet cos(2x) =2cos2x-1=1-2sin2x.

Les formules d"addition et de duplication doivent être connuesPAR COEUR— et ce même si les secondes découlent des

premières. En revanche, vous devez juste savoir retrouver vite et bien les formules de produit, si possible de tête.

1.3 FONCTION TANGENTE

Définition-théorème(Fonction tangente)

•Définition et régularité :On appellefonction tangentela fonction définie sur

2,π2

+π?par : tan=sincos.

Impaire etπ-périodique, tan est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition et :

tan ?=1+tan2=1 cos2. -π2 2 y=tanx cosθ sinθ tanθ

Merci Thalès!

grand petit=1cosθ=tanθsinθ 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Définition-théorème(Fonction tangente (suite))

•Résolution d"équations :Pour tousx,y?

2,π2

+π?: tanx=tany??x≡y[π].

•Formules d"addition et de duplication :Les formules suivantes sont vraies pour tous les réelsxetypour

lesquels chaque terme est bien défini. tan(x+y) =tanx+tany

1-tanxtany, tan(x-y) =tanx-tany1+tanxtanyet tan(2x) =2 tanx1-tan2x.

•Expression decosx,sinxettanxen fonction detanx

2:Pour toutx?]-π,π[+2π?, si on poset=tanx2:

cosx=1-t2

1+t2, sinx=2t1+t2et tanx=2t1-t2.

La relation

tan?=1+tan2=1cos2ne sert pas tant à calculer tan?qu"à transformer cos en tan et vice versa.

C"est comme ça qu"il faut la retenir!

Les expressions de cosx, sinxet tanxen fonction de tanx

2ne sont pas à connaître par coeur, vous devez en revanche

savoir qu"elles existent et savoir les retrouver rapidement en cas de besoin.

Démonstration

•Définition :La tangente est définie là où le cosinus ne s"annule pas, i.e. sur -π2,π2

•Imparité :Pour toutx?

2,π2

+π?: tan(-x) =sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-tanx.

•Périodicité :Pour toutx?

2,π2

+π?: tan(x+π) =sin(x+π)cos(x+π)=-sinx-cosx=sinxcosx=tanx.

On comprend ici pourquoi la fonction tangente estπ-périodique alors que sinus et cosinus ne sont que

2π-périodiques, deux signes " moins » se simplifient.

•Dérivée :tan?=sin?×cos-sin×cos?

cos2=cos2+sin2cos2, donc tan?=1cos2=1+tan2. •Variations et limites :Par imparité etπ-périodicité, une étude sur

0,π

2 suffit. La fonction tangente est strictement croissante sur

0,π

2 car tanquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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