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Fonctions holomorphes, Fonctions analytiques

Intégration le long de courbes

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Introduction

Ce chapitre commence par un survol rapide des propriétés algébriques élémentaires des nombres complexes, avant de présenter les concepts topologiques fondamentaux concer- nant les sous-ensembles du plan complexeC=R2. Ensuite, on définit précisément la notion-clé defonctionC-différentiable ou holo- morphe, qui est l"analogue complexe de la notion de fonction réelleR-différentiable. On caractérise alors l"holomorphiepar les équations ditesde Cauchy-Riemann, et on démontre que les séries entières convergentes : 1 X n=0a nzn(an2C) en la variable complexez=x+iy2Csont toujoursC-différentiables,i.e.holomorphes. Enfin, on définit la notion d"intégrationd"une fonction le long d"une courbe : [0;1]!Ctracée dans le plan complexeC. En particulier, on démontre un pre- mier résultat important de la théorie d"après lequel, si une fonctionf=f(z)holomorphe par rapport à la variablez=x+iyadmet uneprimitive, à savoir une fonctionF=F(z) dont laC-dérivée par rapport àzest exactementf, alors pour toute courbe ferméeC, on a : 0 =Z f(z)dz: Ainsi s"effectuera le tout premier pas vers la théoriemagiquede Cauchy, laquelle joue un rôle absolument central dans la toute belleAnalyse Complexe. 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France2. Nombres complexes et similitudes complexes

Unnombre complexeprend la forme :

z=x+iy; oùxetysont deux nombres réels et oùiest un nombre (abstrait) satisfaisant : i 2=1; que les mathématiciens asiatiques préfèrent noter systématiquement :p1; mais il s"agit d"un autre continent, où l"on ne craint aucun caractère. Classiquement, on note :

Cl"ensemble de ces nombres.

On appellexlapartie réelledezetylapartie imaginairedez: x=Rez; y=Imz: Les nombres réels sont donc précisément les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle, et les nombrespurement imaginaires :iy:y2R; ceux dont la partie réelle est nulle. Grâce à Argand et à Gauss, on peut visualiser les nombres complexes dans le plan euclidien usuelR2en identifiant :

C3x+iy !(x;y)2R2:

Par exemple,02Ccorrespond à l"origine(0;0)2R2, et le nombrei=p1correspond au point(0;1)2R2. Naturellement, l"axe desxest appelé l"axe réel, tandis que l"axe desyest appelé l"axe imaginaire.z=x+iy= (x;y)

0axe imaginaire

i y 1 xaxe réel Les règles pour additionner et pour soustraire les nombres complexes sont naturelles : il suffit de conserver en mémoire quei2=1. Par exemple, étant donné deux nombres complexes : z

1=x1+iy1etz2=x2+iy2;

leur somme vaut : z

1+z2= (x1+x2) +i(y1+y2);

2.Nombres complexes et similitudes complexes 3et leur produit vaut :

z

1z2= (x1+iy1)(x2+iy2)

=x1x2+ix1y2+iy1x2+i2y1y2 = (x1x2y1y2) +i(x1y2+y1x2): Si l"on prend ces deux expressions pour définitions de l"addition et de la multiplication, il est facile de vérifier les trois propriétés suivantes. Commutativité :z1+z2=z2+z1etz1z2=z2z1pour tousz1;z22C. Associativité :(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)et(z1z2)z3=z1(z2z3)pour tousz1;z2;z32 C. Distributivité :z1(z2+z3) =z1z2+z1z3pour tousz1;z2;z32C.z 2 z 1 0z 2z1z 1+z2 Géométriquement, l"addition des nombres complexes correspond à l"addition des vec- teurs dans le planR2. La multiplication quant à elle consiste en une rotation suivie d"une dilatation, un fait qui devient intuitivement transparent une fois qu"on a introduit la forme polaire d"un nombre complexe (voir ci-dessous). À ce stade, observons au moins quela multiplication paricorrespond à une rotation d"angle2 La notion de valeur absolue d"un nombre complexe est identique à la norme euclidienne des vecteurs dansR2. Définition 2.1.Lavaleur absolueou lemoduled"un nombre complexez=x+iyest la quantité positive : jzj:=x2+y212 de telle sorte quejzjest précisément ladistance euclidienneentre l"origine(0;0)et le point (x;y)2R2.Re jzjIm z 0 Bien entendu,jzj= 0si et seulement siz= 0, et l"inégalité du triangleest tout aussi valable : jz+wj6jzj+jwj(z;w2C):

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceD"autres inégalités seront aussi utiles. Pour toutz2C, on a :Rezj6jzj;Imzj6jzj;

et pour tousz;w2C, on a :jzj jwj6jzwj; ce qui découle par soustraction de l"inégalité du triangle, puisque : jzj6jzwj+jwjetjwj6jzwj+jzj: Définition 2.2.Leconjuguéd"un nombre complexez=x+iyest le nombre :z=xiy; que l"on obtient géométriquement en appliquant la symétrie le long de l"axe réel du plan complexe.z z ReIm 0 Évidemment, un nombre complexezest réel si et seulement si : z=z; et il est imaginaire pur si et seulement si : z=z:

On vérifie aussi sans difficulté que :

Rez=z+z

2

Imz=zz

2i:

De plus :

jzj2=zz; et aussi :1z =z jzj2(z6=0): Définition 2.3.Un nombre complexe quelconquez2Cnf0gnon nul peut toujours s"écrire sous formepolaire : z=rei; avecr >0réel égal au modulejzjet2Rappelé l"argumentdez, qui est défini à un multiple entier2Zde2près, traditionnellement noté : =argz;

3.Convergence 5sachant que :

e i=cos+isin; e i(+2k)=cos+ 2k+isin+ 2k =cos+isin; pour tout entierk2Z, en effet. Puisquejeij= 1, le nombreest l"angleque fait la demi-droite0zavec l"axe des réels positifs.0 r z=rei Enfin, notons que la multiplication entre deux nombres complexesz=reietw= se i'donne : z w=rsei(+'); de telle sorte quela multiplication complexe consiste toujours, géométriquement, en une homothétie composée (commutativement) avec une rotation.

3. Convergence

Les notions-clés deconvergenceet delimitepermettent maintenant d"effectuer une tran- sition appropriée. Définition 3.1.Une suite de nombres complexes :z1; z2; z3; :::::: est diteconvergentevers un nombre complexez12Clorsque :

0 =limn!1znz1:

Cette notion de convergence n"a rien de nouveau, puisque la valeur absolue dansC s"identifie à la norme euclidienne dansR2. Ainsi, la suite de pointszn=xn+iyndu plan converge vers le pointz1=x1+iy1. On vérifie en effet (exercice mental) que : z

1=limn!1zn()

x

1=limn!1xnety1=limn!1yn

Comme il n"est pas toujours possible de réellement identifier explicitement la limite d"une suite, comme par exemple le nombre réel fini(3) =limn!1Pn k=11k

3dont on sait

seulement qu"il est irrationnel (Apéry 1978), il est nécessaire de posséder un critère qui

assure la convergence d"une suite. Définition 3.2.Une suitefzng1n=1est dite être unesuite de Cauchylorsque :

0 =limn

1;n2!1zn2zn1;

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Franceà savoir plus précisément lorsque :

8" >09N=N(")1

n

1; n2>N=)zn2zn16"

Une propriété fondamentale du corpsRdes nombres réels est qu"il estcomplet : toute suite de Cauchy de nombres réels admet une (unique) limite qui est un nombre réel. C"est d"ailleurs pour assurer l"existence de limites, souvent inexistantes dans le corpsQdes nombres rationnels, que l"on construitRcomme étant lacomplétiondeQ, soit en idéa- lisant les limites de toutes les suites de Cauchy possibles, soit en utilisant la notion de coupure au sens de Dedekind. Bien entendu, la complétude deRest héritée parR2=C(exercice mental). Théorème 3.3.Le corpsCdes nombres complexes est complet.

4. Sous-ensembles du plan complexeC

Tournons maintenant notre attention vers des considérations topologiques élémentaires qui seront nécessaires à notre étude ultérieure des fonctions. Définition 4.1.Siz02Cest un point, pourr >0, ledisque ouvertDr(z0)de centrez0et de rayonrest l"ensemble : D r(z0) :=z2C:jzz0j< r; et c"est précisément le disque géométrique euclidien (ouvert) dansR2de centre (Rez0;Imz0)et de rayonr.

Ledisque ferméD

r(z0)de centrez0et de rayonr>0est quant à lui l"ensemble :D r(z0) :=z2C:jzz0j6r: Enfin, le bord géométrique commun de deux tels disques, ouvert ou fermé, de rayonr >0, est bien entendu lecercle de centrez0et de rayonr: C r(z0) :=z2C:jzz0j=r =@Dr(z0) =@D r(z0): Dans la théorie des fonctions holomorphes que nous allons développer et découvrir

ensemble, ledisque unité, à savoir le disque de rayon1centré à l"origine, va jouer un rôle

particulièrement important, et nous le noterons : D:=z2C:jzj<1:Définition 4.2.Étant donné un sous-ensemblequelconqueEC, un pointz02Eest dit être unpoint intérieurs"il existe un disque ouvert de rayonr >0assez petit centré enz0 qui est contenu dansE: D r(z0)E: L"intérieurIntEdeEest la réunion de tous les points intérieurs deE. Un sous-ensemble Cest ditouvertlorsque chacun de ses points est un point intérieur : 8z02

9r >0Dr(z0)

ou, de manière équivalente, lorsque : Int

4.Sous-ensembles du plan complexeC7On se convainc aisément (exercice de compréhension) que cette définition munitC

d"une topologie, ne serait-ce que parce que cette topologie coïncide avec la topologie stan- dard deR2. Définition 4.3.Un sous-ensembleFCest ditfermélorsque son complémentaire : CF est ouvert. Cette notion d"ensemble fermé peut être reformulée et comprise en termes d"adhérence. Définition 4.4.Un pointz2Cest dit être unpoint adhérentà un sous-ensembleEC lorsqu"il existe une suite de pointszn2Etelle que : lim n!1zn=z: L"adhérenceEdeEest la réunion deEavec tous les points qui lui sont adhérents. On vérifie (exercice) qu"un sous-ensembleFCest fermé si et seulement si tout point adhérent àFappartient encore àF, ou de manière équivalente, si et seulement si :F=F:

Définition 4.5.Dans un ouvert

C, un sous-ensembleE

est ditdiscretlorsque :

8z2E9Dr(z)avecr >0etDr(z)

tel queDr(z)\E=fzg: Définition 4.6.Lebord@Ed"un ensembleEest le complémentaire de son intérieur dans son adhérence : @E:=E IntE: Ainsi,w2@Es"il existe deux suitesfzng1n=1aveczn2Eetfng1n=1avecn2CnE telles que : lim n!1zn=w=limn!1n; ce qui veut dire, intuitivement, que@Econsiste en les points qui 'hésitent" entreEet son complémentaireCnE. Définition 4.7.Un sous-ensembleECest ditbornés"il existe un rayonR >0assez grand pour que :

Ejzj6R;

à savoir siEest contenu dans un disque fermé assez grand. LorsqueEest borné, son diamètreest défini par : diamE:=sup z;w2Ejzwj: Définition 4.8.Un sous-ensembleECest ditcompactlorsqu"il est fermé et borné.

Théorème 4.9.

(Exer cicede révision) Un sous-ensembleECest compact si et seule- ment si tout suitefzng1n=1de pointszn2Epossède une sous-suiteznk 1 k=1qui converge vers un point deE.

8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceDéfinition 4.10.Unrecouvrement ouvertd"un sous-ensembleECest une famille d"ou-

vertsU

2Aindexée par un ensembleAquelconque dont la réunion contientE:

E[ 2AU

PuisqueC=R2, on a le :

Théorème 4.11.

[Heine-Bor el]Un sous-ensembleECest compact si et seulement si, partant d"un recouvrement ouvert quelconque deE, on peut extraire un nombrefini d"ouverts dont la réunion recouvre encoreE. Un autre concept intéressant est celui desuite d"ensembles emboîtés: E

1E2E3 ;

que nous utiliserons au début du développement de la théorie des fonctions holomorphes dans le Chapitre 2, à savoir dans la démonstration du Théorème dit de Goursat. Proposition 4.12.Étant donné une suite d"ensembles emboîtéscompactsnon vides dans C: K

1K2K3 ;

dont le diamètre tend vers zéro :

0 =limn!1diamKn;

il existe un unique pointz2Cqui appartient à tous lesKn, ou, de manière équivalente, l"intersection complète de tous lesKnse réduit à un seul point : fzg=1\ n=1K n: Démonstration.Bien qu"intuitivement immédiat et connu par ailleurs, cet énoncé mérite quelques explications. Pour toutn, prenons un point au hasardzn2Kn. Alors la condi-

tion de rétrécissement des diamètres assure (exercice de vérification) que toute telle suite

fzng1n=1est de Cauchy. CommeCest complet, elle admet un point-limite : z=limn!1zn; de fermés reste fermée,\1n=1Knest fermé, et (exercice de vérification) : z21\ n=1K n: Maintenant, nous affirmons que le pointzainsi trouvé est forcément l"unique point satisfaisant cette propriété. En effet, si pour un autre pointz06=z, on avait aussi : z 021\
n=1K n; alors on déduirait :

0

6diamKn[remarquer quez2Knet quez02Kn];

ce qui contredirait l"hypothèse principale.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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