Analyse réelle et nombres complexes PDF

où n est un entier naturel et où a0···

Analyse réelle et nombres complexes

1 sept. 2016 Keywords: Analyse réelle intégrale

FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES Cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en a et se note ... Le nombre complexe l vaut alors f (a).

Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe

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FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE

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1 2 Représentation graphique des nombres complexes 1 3 Forme polaire deun nombre complexe 3 1 Dérivation dans le domaine complexe

Comment dériver une fonction complexe ?
Soit Z=Z(z) une fonction dérivable de la variable complexe z=x+iy. Le nombre complexe Z peut s'écrire X+iY. La fonction qui applique z sur Z se ramène à un couple de 2 fonctions réelles de 2 variables X=X(x,y),Y=Y(x,y).
Comment montrer qu'une fonction complexe est constante ?
Une fonction holomorphe f ? H(U) est constante si et seulement si f = 0.
Comment savoir si une fonction est holomorphe ?
Définition
1On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z0 de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z0 existe :2On dit que f est holomorphe sur U si elle est holomorphe en tout point de U.3En particulier, on appelle fonction entière une fonction holomorphe sur ?.
Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition. tout entier est dite entière.

Institut national des sciences

appliquées de Rouen

INSA de Rouen

ASI 3.1

Analyse réelle et nombres

complexesSoufianeBelharbi soufiane.belharbi@insa-rouen.fr

01 Septembre 2016

Résumé

Ce support contient quelques rappels sur des notions de base de l"ana- lyse réelle et les nombres complexes avec quelques exercices. C"est fait pour les étudiants ASI3.1. Merci de me signaler les éventuelles erreurs dans les supports : soufiane.b elharbi@insa- rouen.fr. Keywords:Analyse réelle, intégrale, dérivée, nombre complexe. 1

Table des matières

1 Série 1 : Introduction rapide aux nombres complexes 3

2 Introduction rapide au calcul intégral 5

3 Introduction rapide au calcul des dérivées 7

3.1 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Retour aux intégrales 9

5 Nombres complexes 12

6 Intégration par partie et changement de variable 22

7 Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles 23

References27

1 Série 1 : Introduction rapide aux nombres com-

plexes Un nombre complexezse présente en général sous forme algébrique comme une sommea+ib, oùaetbsont des nombres réels quelconques et oùiest un nombre particulier tel quei2=1. Leaest appelépartie réelledezet se noteRe(z). Le réelbest sapartie imaginaireet se noteIm(z). Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s"ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Un nombre complexezest ditimaginaire puroutotalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s"écrit sous la formez=ib. Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est dit réel. Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire.

Quelques propriétés

Siz=x+iyetz0=x0+iy0deux nombres complexes, oùx;y;x0;y0sont des réels, on a : a.

Somme : z+z0= (x+x0) +i(y+y0)

Pro duit: zz0= (xx0yy0) +i(xy0+yx0)

Conjugué : z=xiy

P artieréelle : Re(z) =x

P artieimaginaire : Im(z) =y

Mo dule: jzj=pzz=px

2+y2 g.

In verse:

1z =xiyx

2+y2=zjzj2

Forme polaire

Pour tout couples de réels(a;b)différent du couple(0;0), il existe un réel positifret une famille d"angle déterminés à un multiple de2près tels que a=rcos()etb=rsin(). Tout nombre complexe non nul peut être donc s"écrit sous uneforme tri- gonométrique: z=r(cos() +isin()); r >0(1) oùrest appeléle moduledu complexezet est notéjzj. Le réelest appelé l"argumentdu complexezet est notéarg(z). (voir Fig.3)

Forme exponentielle

Formule d"Euler

Pour tout réel, on note la formule d"Euler (Fig.2) : e i= cos+isin(2) 3 Figure1 - Représentation géométrique d"un nombre complexe.Figure2 - La formule d"Euler. On définit l"exponentielle d"un nombre complexez=x+iypar : e z=exeiy=ex(cosy+isiny)(3) Sizest un nombre complexe non nul de moduleret d"argument, on peut alors écrire : z=rei=r(cos+isin);z=rei=r(cosisin)(4)

Opérations sur la forme géométrique

Siz=reietz0=r0ei0deux nombres complexes. on a :

a.rei r 0ei0 = (rr0)ei(+0) b. rei1=1r ei

Relation à la trigonométrie

cosx=Re(eix) =eix+eix2 (5) sinx=Im(eix) =eixeix2i(6) 4

Relations

cos

2x=1 + cos2x2

(7) sin

2x=1cos2x2

(8)

2 Introduction rapide au calcul intégral

Soitfune fonction définie sur un intervalleI= [a;b]deR.

On noteF=Rb

af(x)dxla primitive defsurI.

On note :Rb

af(x)dx=F(b)F(a) =: [F]ba.

Propriétés

1) Rb af(x)dx2R(Fig.3)Figure3 - Exemple d"une intégrale. 2) Ra af(x)dx= 0 3)

Soit c2[a;b], on a :Rc

af(x)dx+Rb cf(x)dx=Rb af(x)dx 4)Ra bf(x)dx=Rb af(x)dx 5)Rb a(f+g)(x)dx=Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx

6)Rf0(g(x)):g0(x)dx=f(g(x))

7) df(g(x))dx=f0(g(x)):g0(x) 5

Primitives usuelles

(Tab.1)fF=Rfx ; 6=1x +1+11 x+ln(x+)sinxcosxcosxsinxe xe x1p1x2arcsinx1

1+x2arctanx1

x n=xnx n+1n+1=1(n+1)xn1Table1 - Primitives usuelles.

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

a) R1 0xdx b) R1 1x3dx c) R2 110dx
d) R3

1x+ 1dx

e) R4

1(2x+ 1)7dxf)

R sinxdx g) R=2 =2sin4xdx h) R2

03exdx

i) R1

1e2xdx

j) R=2 =2cos2xdx(avec deux méthodes)

Solution 1

a) R1

0xdx= 1=2

b) R1

1x3dx= 0

c) R2

110dx= 30

d) R3

1x+ 1dx= 6

e) R4

1(2x+ 1)7dx=983816

f) R sinxdx= 0 g) R=2 =2sin4xdx= 0 h) R2

03exdx= 3(e21)

i) R1

1e2xdx= 1=2(e2e2)

j) R=2 =2cos2xdx==2 6

3 Introduction rapide au calcul des dérivées

3.1 Nombre dérivé

Soitfune fonction définie continue dans un voisinage dex0contenantx0. fest dérivable enx0ssi : f

0(x0) = limx!+x0f(x)f(x0)xx0(9)

est définie. Cette limite, notéf0(x0), est appelée nombre dérivé defenx0.

3.2 Fonction dérivée

SoitD= [x02R]; f0(x0)existe.

On définit la correspondance suivante :

8x02D!f0(x0)2R(10)

la fonction dérivée première def.

Fonction dérivée sur un intervalle

Soitfdérivable sur l"intervalle]a;b[, alors :

a)fest dérivable enx08x02]a;b[ b)fest dérivable à droite dea c)fest dérivable à gauche deb

Opérations sur les dérivées

1.[u(x) +v(x)]0=u0(x) +v0(x)

2.[u(x)v(x)]0=u0(x)v(x) +u(x)v0(x)

3.(u(x))0=u0(x)

4.hu(x)v(x)i

0=u0(x)v(x)u(x)v0(x)v(x)2

5.[f[u(x)]]0=u0(x)f0[u(x)]

6.(af)0=afln(a)f0

7.(loga(f))0=f0flna

8.(fg)0=gfg1f0+fglnfg0

Dérivées usuelles

(Tab.2)

Exercice 2

Calculer la fonctionf0des fonctionsfsuivantes :

7 ff

0C(constant)0

x1 x n; n2Nnx n11 x 1x 2x n; n2Znx n1x n; n2Znx(n+1)x a; a2R+ax a1lnx1 xe xe xa x; a2R+lnxaxcosxsinxsinxcosxtang x1 cos

2(x)arcsin x1p1x2actan x1

1+x2arccos x11x2Table2 - Dérivées usuelles.

1)f= 2x2+ 4x45x+ 7

2)f=7 + 5x5=2x23x4

3)f= (x+ 7)4

4)f= (2x2+ 5x7)9

5)f= 1=5x5=21=3x3=2

6)f=x25)7=2

7)f=p1x3

8)f=3p3x37

9)f=6x

+7x 212x5

10)f=x5(x+ 2)2

11)f= (x+ 2)3(x1=2)212)f=x+2x2

13)f= sin2x

14)f= cos(3x+ 1)

15)f=tangx2

16)f= 3sin(3=2x2+ 2)

17)f= 2cos2x+ 7

18)f=1sinx

19)f= 7x25x+4

20)f= ln3x

21)f=ex2

Solution 2