[PDF] FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES





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Analyse réelle et nombres complexes

1 sept. 2016 Keywords: Analyse réelle intégrale



FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES Cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en a et se note ... Le nombre complexe l vaut alors f (a).



Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . Les dérivées de fonctions `a valeurs complexes vérifient des propriétés similaires `a celles des ...



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Les nombres complexes ont été introduits vers 1535 par les italiens Cardano L'existence d'une dérivée est une condition de régularité très forte imposée ...



5. Intégration complexe

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Chapitre 0 - Nombres complexes : rappels et compléments

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1 2 Représentation graphique des nombres complexes 1 3 Forme polaire deun nombre complexe 3 1 Dérivation dans le domaine complexe

  • Comment dériver une fonction complexe ?

    Soit Z=Z(z) une fonction dérivable de la variable complexe z=x+iy. Le nombre complexe Z peut s'écrire X+iY. La fonction qui applique z sur Z se ramène à un couple de 2 fonctions réelles de 2 variables X=X(x,y),Y=Y(x,y).

  • Comment montrer qu'une fonction complexe est constante ?

    Une fonction holomorphe f ? H(U) est constante si et seulement si f = 0.

  • Comment savoir si une fonction est holomorphe ?

    Définition

    1On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z0 de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z0 existe :2On dit que f est holomorphe sur U si elle est holomorphe en tout point de U.3En particulier, on appelle fonction entière une fonction holomorphe sur ?.
  • Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition. tout entier est dite entière.

PSIFONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

On se placera dans le cadre suivant :

fest une fonction d"unintervalledeR,I, non réduit à un point, etfest à valeurs dansC.

Elle est doncà variable réelle.

On note8x2I; f(x) =f1(x) +if2(x)oùf1etf2sont des applications deIdansR. f

1s"appelle la partie réelle etf2la partie imaginaire de la fonctionf.

On note fréquemmentf1= Re (f)etf2= Im (f).

I-LIMITES - CONTINUITÉ1)Limitesdéf.Soienta2Iouaune extrémité deI(éventuellementa=1)et`2C.`est limite defenalorsqueDans le casa2R:8" >0;9 >0=8x2I;jxaj6=) jf(x)`j6"

Dans le casa= +1:8" >0;9B >0=8x2I;x>B=) jf(x)`j6"

Dans le casa=1:8" >0;9B >0=8x2I;x6B=) jf(x)`j6"

prop.fa une limite enasi et seulement si ses parties réelles et imaginairesf1etf2en ont une ena.En notant`=`1+ i`2, on a alors :limx!af(x) =`()limx!af1(x) =`1etlimx!af2(x) =`2.

On peut donc toujours se ramener à travailler avec les parties réelles et imaginaires def, c"est à dire sur des fonctions à valeurs dansR. Propriétés analogues aux fonctions à valeurs réelles: Unicité de la limite, caractérisation par les suites, opérations sur les limites. Mais certaines propriétés ne sont pas conservées: Toutes les propriétés liées à la relation d"ordre6deR: Théorèmes d"encadrement.

2)Continuitédéf.1Soientf:I!Ceta2I.fest continue enalorsquelimx!af(x) =f(a).

prop.1fcontinue ena()Re (f)etIm (f)sont continues ena.

déf.2f: [a;b]!Cest continue par morceaux sur[a;b]lorsqu"il existe une subdivision(a0;a1;:::;an)de[a;b]telle quefj]ai;ai+1[soit continue sur]ai;ai+1[et prolongeable en une fonction continue sur[ai;ai+1].

prop.2fcontinue par morceaux surI()Re (f)etIm (f)sont continues par morceaux surI. Proprétés analogues aux fonctions à valeurs réelles:

Opérations, caractérisation par les suites, applications lipschitziennes, une application continue sur unsegment

est encore bornée. Mais certaines propiétés ne sont pas conservées:

L"image d"un intervalle n"est plus un intervalle.

Donc le théorème des valeurs intermédiaires , celui de la bijection réciproque ne sont plus valables.

Fonctions complexes page 1 sur 2 IB

II-DÉRIVATIONdéf.Soientf:I!Ceta2I.fest dérivable enalorsquelimt!af(t)f(a)taexiste dansC.Cette limite s"appelle le nombre dérivé defenaet se notef0(a)ouD(f)(a)oudfdt

(a).Cela équivaut à dire quefadmet un développement limité à l"ordre 1 ena,ou encore qu"il existe`dansCet":I!Ctels que :8t2I; f(t) =f(a) + (ta)`+ (ta)"(t)etlimt!a"(t) = 0.Le nombre complexe`vaut alorsf0(a).

prop.fest dérivable enasi et seulement siRe (f)etIm (f)sont dérivables ena.Dans ce cas,f0(a) = (Re (f))0(a) + i (Im (f))0(a), ieRe (f0) = (Re (f))0etIm (f0) = (Im (f))0

Propriétés analogues aux fonctions à valeurs réelles:

Fonction dérivable sur un intervalle, opérations (somme, produit, quotient) sur les fonctions dérivables,

dérivées successives, fonctions de classeCk, formule de Leibniz. La propriété sur la composée des fonctions subsiste à condition de considérergf oùf:I!Retg:J!Cavecf(I)J. Mais certaines propriétés ne sont pas conservées: Il n"y a plus le théorème sur la bijection réciproque.

La notion d"extremum local , liée à la relation d"ordre dans l"ensemble d"arrivée, n"a plus de sens.

Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont plus valables. Par exemple, pourf: [0;2]!Cdéfinie parf(t) = cos(t) +isin(t) = eit, on af(0) =f(2) = 1 mais la dérivéef0(t) = ieitne s"annule jamais. Par contre l"inégalité des accroissements finis est valable :

Donc la caractérisation des fonctions constantes par leur dérivée nulle, et celle des applications lipschitziennes

par leur dérivée bornée, sont toujours valables. Ainsi si deux fonctions dérivables,fetg, del"intervalleIdansCvérifientf0=g0 alorsfetgdiffèrent d"une constante surI. Parler du signe de la dérivée ou de monotonie n"a pas de sens pourfdeIdansC. III-INTÉGRATIONdéf.Soitf:I!Cune application continue par morceaux et(a;b)2I2.On définit : Z b a f(t)dt=Z b a

Re (f)(t)dt+ iZ

b a

Im (f)(t)dt.C"est à direRe

Zb a f(t)dt ) =Z b a

Re (f)(t)dtetIm

Zb a f(t)dt =Z b a

Im (f)(t)dt.

Propriétés analogues aux fonctions à valeurs réelles:

Linéarité de l"intégrale, relation de Chasles, sommes de Riemann, primitives,formules de Taylor,

dèveloppements limitès.

Lorsquea6b:8f2C0m([a;b];C);

Z b a f(t)dt 6Z b a jf(t)jdt. Les méthodes de calcul des intégrales : Intégration par parties, changement de variables. Mais certaines propriétés ne sont pas conservées: On ne parle plus de positivité de l"intégrale ou de croissance de l"intégrale.

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