[PDF] Chapitre 0 - Nombres complexes : rappels et compléments





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Analyse réelle et nombres complexes

1 sept. 2016 Keywords: Analyse réelle intégrale



FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES Cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en a et se note ... Le nombre complexe l vaut alors f (a).



Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . Les dérivées de fonctions `a valeurs complexes vérifient des propriétés similaires `a celles des ...



FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE

Les nombres complexes ont été introduits vers 1535 par les italiens Cardano L'existence d'une dérivée est une condition de régularité très forte imposée ...



5. Intégration complexe

On suppose que la valeur de l'intégrale (1.2) est un nombre complexe non nul. tandis que la dérivée z (t) est continue par morceaux.



Fonctions holomorphes Fonctions analytiques Intégration le long de

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Chapitre 0 - Nombres complexes : rappels et compléments

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1 2 Représentation graphique des nombres complexes 1 3 Forme polaire deun nombre complexe 3 1 Dérivation dans le domaine complexe

  • Comment dériver une fonction complexe ?

    Soit Z=Z(z) une fonction dérivable de la variable complexe z=x+iy. Le nombre complexe Z peut s'écrire X+iY. La fonction qui applique z sur Z se ramène à un couple de 2 fonctions réelles de 2 variables X=X(x,y),Y=Y(x,y).

  • Comment montrer qu'une fonction complexe est constante ?

    Une fonction holomorphe f ? H(U) est constante si et seulement si f = 0.

  • Comment savoir si une fonction est holomorphe ?

    Définition

    1On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z0 de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z0 existe :2On dit que f est holomorphe sur U si elle est holomorphe en tout point de U.3En particulier, on appelle fonction entière une fonction holomorphe sur ?.
  • Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition. tout entier est dite entière.

Chapitre 0

Nombres complexes :

z=x+i y x=Axe imaginaire i 1z zArg(z) xy

Fig.1 {

ztel que : z=Le module jzj=p z£ z=p x

2+y22IR+:

zest le m^eme que celui dezou de¡z. On note

L'argument

0.2 Fonction exponentielle exp(x) =1X n=0x n n!= 1 +x 1! +x2 2! +¢¢¢+xn n!+¢¢¢:(2) exp(a+b) = exp(a)£exp(b):(3) exp(x) = limn!1(1 +x n )n exp

0(x) =1X

n=0nxn¡1 n!=1X p=0x p p!= exp(x):(4)

N.B.On peut aussi utiliser la relation (

3 exp(x+h)¡exp(x) h = exp(x)exp(h)¡1 h 'exp(x)1 +h+h2=2 +¢¢¢ ¡1 h f

0(x) =df(x)

dx =®exp(®x) =® f(x):(5)

Exponentielle complexe

2 5 g(x) = cosx+isinx)g0(x) = (¡sinx) +i(cosx) =i(isinx+ cosx) =i g(x):

Document disponible sur

http://www.phys.ens.fr/~hare cosx+isinx= exp(ix):(6) e i¼=¡1:

Module

Tout d'abord, nous pouvons constater que le nombre complexeexp(iµ)est de module1, puisquecos2µ+

sin intervalle de longueur2¼.

Il s'ensuit que la relation (

1 z=jzj £z jzj=jzjexp(iArg(z)); z=jzjexp(¡iArg(z))et¡z=jzjexp(i(Arg(z) +¼)):(7) z zdonne d'ordre), et µa titre d'exemple,p fa»con naturelle. Il en est de m^eme pour les racines d'ordren >2.2π/5 = 72◦

Fig.2 {

Les cinq racines cin-

n µ=p2¼oµup2ZZ: denou d'un multiple dendonnent la m^eme solution. En conclusion, les z n=

1 = 1; pournpair il est en outre

Document disponible sur

http://www.phys.ens.fr/~hare 2 ) et ( 6 sinµ: cosµ=1X p=0(¡1)px2p (2p)!etsinµ=1X p=0(¡1)px2p+1 (2p+ 1)!:(8)

0.2.3 Formules de Moivre

La relation (

6 d'un polyn^ome encos(x)et desin(x). On a en e®et : cos(nx) +isin(nx) = exp(inx) = (cosx+isinx)n vement aux puissances paires et impaires deisin(x): (eiµ)n=nX p=0µ n cos n¡px(isinx)p nX p=0;pair(¡1)p 2 µn cos n¡pxsinpx+inX p=0;impair(¡1)p¡1 2 µn cos n¡pxsinpx 0 @E(n 2 )X q=0(¡1)qµn cos n¡2qxsin2qx1 A +i0 @E(n¡1 2 )X q=0(¡1)qµn cos n¡2q¡1xsin2q+1x1 A

sinx, et est donc une fonctionpaire, tandis que lesinusqui comporte une puissance impaire desinxest une

fonctionimpaire.

0.2.4 Fonction logarithme

3 ), µa savoirlog(z1z2) = log(z1) + log(z1). En 7 ) pourz2CI, il vient alors : log(z) = log(jzj) + log(exp(iArg(z))) = log(jzj) +iArg(z):(9)

logarithme ne sera une((vraie fonction))que si l'on impose en outre une condition sur les valeurs prises par

Arg(z).

0.3 Polyn^omes et racines

0.3.1

si l'on suppose, contrairement µa ce qui a pu ^etre fait jusqu'ici, que les coe±cientsa,betcsont des nombres

complexes, et que l'inconnuexle soit aussi : ax

2+bx+c=a"

x+b 2 +c a

¡µb

2# =a" x+b 2

¡b2¡4ac

4a#

Document disponible sur

http://www.phys.ens.fr/~hare x

1=¡b

2a+r

2aetx1=¡b

2a¡r

2a; complexe(s), on a donc deux cas :

¢·0:

¢<0:

¡¢, et les solutions sont donc :

x

§=¡b

2a§ip

2a:

P(x) =®(x¡r1)£ ¢¢¢(x¡rn):-8

-6 -4 -2 0 2 -1-0.5 0 0.5 1 1.5 2

Fig.3 {

Polyn^ome du troisiµeme de-

deux racines complexes. n= 2. En e®et, siP(z) = 0, on a P( z) = 0, oµu x chercher les racines deP(x)=(x¡1) =x2¡2x+2, qui sont1§i, complexes

Document disponible sur

http://www.phys.ens.fr/~harequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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