[PDF] SECOND DEGRÉ (Partie 2) Soit f et g deux





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MATHS : FONCTIONS - Parité de - 26 positions relatives de courbes

Conséquence graphique : la courbe représentative de la fonction fest symétrique par rapport à l'axe des ordon- nées. LA MÉTHODE. Étudier par le calcul les 



Position relative dune courbe et dune tangente

la courbe représentative de f. a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à 



SECOND DEGRÉ (Partie 2)

Soit f et g deux fonctions définies sur ? par : ( ) = ? : + 8 ? 11 et ( ) = ? 1. Étudier la position relative des courbes représentatives et  



I- À quelle question répond-on? II- Interprétation graphique?

14 déc. 2017 Étudier la position relative de deux courbes. - Interpréter graphiquement le signe ... La droite d'équation y = 0 est asymptote à c en –?.



DÉRIVATION (Partie 3)

La fonction f ' est une fonction affine représentée par une droite dont le coefficient Méthode : Étudier la position relative de deux courbes.



Position relative dune courbe et dune tangente

la courbe représentative de f. a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à 



Etude des fonctions numeriques

Exercice : Reprendre l'exemple précédent et étudier les positions relatives de la courbe représentant f et de son asymptote. et D la droite d'équation y 



LE SECOND DEGRE · Déterminer les racines (à la main ou à la

Etudier la position relative de deux courbes ; Déterminer une équation de droite (avec 2 points avec le coefficient directeur et un point) ;.



Position relative de deux courbes_1s_tp.pdf

Étudier la position relative des courbes représentatives 2) Étudier les positions relatives de c et de la droite d'équation.



Équation différentielle et étude dune fonction

Pour étudier la position relative de la droite et de la courbe Cg étudions le signe de d1(x) = 2 – g(x). d1(x)=2?2 e4 x. ?1 e4 x. +1. =.



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FICHE MÉTHODE : POSITIONS RELATIVES DE DEUX COURBES Sont traités dans cette fiche les problèmes de positions relatives de deux courbes ou d'une courbe par rapport à une droite (Une droite n'étant qu'une courbe particulière) Exemple 1 : Soient ƒ et gles fonctions définies par : ƒ(x) =x2; g(x) =x

Comment étudier la position relative de deux droites ?

On peut étudier la position relative de deux droites à partir de leurs équations cartésiennes. Soient (d) la droite de vecteur directeur et (d') la droite de vecteur directeur . Les droites (d) et (d') sont parallèles et sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.

Comment calculer la position relative d'une courbe ?

"Pour étudier la position relative de la courbe C_ {f} et de la droite D d'équation y=ax+b, on étudie le signe de fleft ( x right)-left ( ax+b right) ." Pour étudier la position relative de C_f et de D, on étudie le signe de fleft (xright)-left ( x-1 right) pour tout réel x différent de -1.

Qu'est-ce que la position relative de deux courbes ?

La position relative de deux courbes se résume à l'étude du signe de la différence des ordonnées de deux points de même ­abscisse de ­chacune des deux courbes. Cette étude permet, en ­économie, d'estimer un bénéfice.

Quelle est la fonction de l'étude de la position relative de deux courbes 1 et 2 ?

Cette étude permet, en ­économie, d'eestimer un bénéfice. Étudier la position relative de deux courbes 1 et 2 revient à savoir sur quel intervalle 1 est au-dessus (respectivement en dessous) de 2.

1

SECOND DEGRÉ - Chapitre 2/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/tc9wvbYuZts Partie 1 : Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ++=0 où , et sont des réels avec ≠0.

Exemple :

L'équation 3

-6-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre D= -4. Propriété : Soit D le discriminant du trinôme - Si D < 0 : L'équation ++=0 n'a pas de solution réelle. - Si D = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution : - Si D > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions distinctes : et

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/7VFpZ63Tgis

On a vu dans " Second degré - Chapitre 1/2 » que la fonction définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous sa forme canonique : + avec =- et = -

Donc :

++=0 peut s'écrire :

2

5 -4

4

=0

2

5

4

=0

2

5

4

2

5

4

car est non nul. 2 - Si D < 0 : Comme un carré ne peut être négatif 7

4

2 <09, l'équation ++=0 n'a pas de solution. - Si D = 0 : L'équation ++=0 peut s'écrire :

2

5 =0

L'équation n'a qu'une seule solution :

- Si D > 0 : L'équation ++=0 est équivalente à : ou + ou + ou = ou= L'équation a deux solutions distinctes : ou Méthode : Résoudre une équation du second degré

Vidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk

Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk

Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE

Résoudre les équations suivantes :

a) 2 --6=0 b) 2 -3+ 9 8 =0 c) +3+10=0

Correction

a) Calculons le discriminant de l'équation 2 --6=0 : =2, =-1 et =-6 donc D= -4= -1 -4×2×(-6)=49. Comme D > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : !0 (2 4 !0 (2 =2 b) Calculons le discriminant de l'équation 2 -3+ 9 8 =0 : 3 =2, =-3 et = 9 8 donc D= -4= -3 -4×2×=0. Comme D=0, l'équation possède une unique solution : !4 4 c) Calculons le discriminant de l'équation +3+10=0 : =1, =3et =10donc D= -4=3 -4×1×10=-31. Comme D<0, l'équation ne possède pas de solution réelle.

Définition :

Pour une fonction polynôme du second degré de la forme ++, les solutions de l'équation ++=0s'appelle les racines de .

Remarque : Dans la pratique, une racine

de vérifie =0. La courbe de coupe l'axe des abscisses en

Propriété : La somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré de la

forme ++ sont donnés par : =- et = Méthode : Utiliser les formules de somme et produit des racines

Vidéo A venir bientôt

Soit la fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par : =-2 ++1.

1) Montrer que

=1 est une racine de .

2) Déterminer la deuxième racine.

Correction

1)

est une racine si elle vérifie =0. 1 =-2×1 +1+1=0.

Donc

une racine de .

2) En utilisant le produit des racines, on a :

=1×

Et =

1 -2 1 2

Donc

1 2

Et donc admet

1 2 comme deuxième racine. 9 8 4

Partie 2 : Factorisation et signe d'un trinôme

1) Factorisation

Propriété : Soit une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par :

- Si D = 0 : , avec racine de . - Si D > 0 : , avec et racines de . Remarque : Si D < 0, il n'existe pas de forme factorisée de . Méthode : Déterminer les fonctions du second degré, s'annulant en deux nombres réels distincts

Vidéo https://youtu.be/JiokX41_2nw

On considère la fonction polynôme du second degré s'annulant en -1 et 2 et tel que (3)=-2. Déterminer une expression factorisée de la fonction .

Correction

Comme la fonction s'annule en -1 et 2, on peut affirmer que -1 et 2 sont les racines de

Et donc :

-(-1) -2 =(+1)(-2). De plus, (3)=-2

Donc :

3+1 3-2 =-2 ×4×1=-2 2 4 1 2 On en déduit que : 1 2 (+1)(-2).

Méthode : Factoriser un trinôme

Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8

Factoriser les trinômes suivants : a) 4

+19-5 b) 9 -6+1

Correction

a) On cherche les racines du trinôme 4 +19-5:

Calcul du discriminant : D=19

-4×4×(-5)=441

Les racines sont :

!02! ((0 =-5 et !02' ((0 0 5

On a donc :

4

+19-5=4B- -5

C7-

1 4 9=4 +5

7-

1 4 9. b) On cherche les racines du trinôme 9 -6+1 :

Calcul du discriminant : D=

-6 -4×9×1=0

La racine unique est :

!9 #×2 0 4

On a donc :

9

-6+1=9- 1 3 5

2) Signe d'un trinôme

Propriété : Soit une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par - Si D < 0 : ne possède pas de racine. Donc ne s'annule pas. - Si D = 0 : possède une unique racine . Donc s'annule en - Si D > 0 : possède deux racines et . Donc s'annule en et 0 + O + 0 - O - 1 + O - O + 1 - O + O - a>0a<0a>0a<0 a>0a<0## 6 Méthode : Déterminer le signe d'un trinôme

Vidéo https://youtu.be/pT4xtI2Yg2Q

Vidéo https://youtu.be/sFNW9KVsTMY

Vidéo https://youtu.be/JCVotquzIIA

Démontrer que la fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par ()=2 ++4 est positive.

Correction

Le discriminant de 2

++4 est D=1 -4×2×4=-31<0

La fonction ne possède pas de racine.

La parabole représentant se trouve donc soit au-dessus de l'axe des abscisses, soit en dessous. Comme =2>0, la parabole a les branches tournées vers le haut (en position " ») et donc elle se trouve au-dessus de l'axe des abscisses.

On en déduit que est toujours positive.

Méthode : Résoudre une inéquation du second degré

Vidéo https://youtu.be/AEL4qKKNvp8

Résoudre les inéquations : a)

-2-15<0 b) +3-5<-+2

Correction

a) Le discriminant de -2-15 est D= -2 -4×1×(-15)=64 et ses racines sont : 9( #×0 =-3 et 9( #×0 =5

On obtient le tableau de signes :

On lit dans le tableau de signes que

-2-15<0 pour -3<<5. L'ensemble des solutions de l'inéquation -2-15<0 est donc = -3;5 -∞-3 5+∞ -2-15 + O - O + a=1>0 7 b) On commence par rassembler tous les termes dans le membre de gauche afin de pouvoir

étudier le signe d'un trinôme :

+3-5<-+2 +3-5+-2<0 +4-7<0.

Le discriminant de

+4-7 est D=4 -4×1×(-7)=44 et ses racines sont : #×0 00 =-2-

11 et

#×0 =-2+ 11

On obtient le tableau de signes :

On lit dans le tableau de signes que

+4-7<0 pour -2-

11<<-2+

11. L'ensemble des solutions de l'inéquation +3-5<-+2 est donc : =J-2-

11;-2+

11K.

3) Application

Méthode : Étudier la position de deux courbes

Vidéo https://youtu.be/EyxP5HIfyF4

Soit et deux fonctions définies sur ℝ par : +8-11 et =-1. Étudier la position relative des courbes représentatives et

Correction

On va étudier le signe de la différence +8-11-+1=- +7-10.

Le discriminant du trinôme -

+7-10 est D=7 -4×(-1)×(-10)=9 Le trinôme possède deux racines distinctes : 2 !0 =5 et 2 !0 =2 On dresse le tableau de signes du trinôme - +7-10 :

On conclut :

pour tout de -∞;2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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