[PDF] Etude des fonctions numeriques

Asymptotes1AsymptoteverticaleDéfinition :Soitaun nombre réel.Lorsquelimx→af(x) =+∞(respectivementlimx→af(x) =-∞), on dit que la droite d"équationx=aestasymptote(verticale) à la courbe représentantf.Remarque :Cette définition est aussi valable pour les limites à droite ou à gauche.Exemple :On reprend l"exemple du 2.3.1.On a vu que :limx→13x<13x-23x-1= +∞etlimx→13x>13x-23x-1=-∞Donc la droite d"équationx=13est asymptote à la courbe représentant la fonctionx-→x-23x-1.3.2 Asymptote horizontaleDéfinition :Soitlun réel.Lorsquelimx→+∞f(x) =l(respectivementlimx→-∞f(x) =l), on dit que la droite d"équationy=lestasymptote(horizontale)àla courbe représentantf.Exemple :On reprend l"exemple du 2.3.2.On a vu que :limx→+∞x+ 2x3= 0Donc la droite d"équationy= 0(c"est-à-dire l"axe des abscisses) est asymptote à la courbe représentant lafonctionx-→x+2x3.3AsymptoteobliqueDéfinition :SoitΔla droite d"équationy=ax+b.Silimx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0(respectivementlimx→-∞[f(x)-(ax+b)] = 0) alors la droiteΔestasymptote à la courbeCfreprésentantf.

Remarque :Pour étudier la position de la courbe représentantfpar rapport à son asymptote, il suffit d"étudierle signe deφ(x) =f(x)-(ax+b).Exercice :Reprendre l"exemple précédent et étudier les positions relatives de la courbe représentantfet deson asymptote.etDla droited"équationy=-x+ 3.-2x2+ 5x+ 12x+ 1-(-x+ 3)-2x2+ 5x+ 1-(-x+ 3)(2x+ 1)2x?+ 1-2x2+ 5x+ 1- -2x2+ 6x-x+ 3?f(x)-(-x+ 3) ====2x+ 1-2x2+ 5x+ 1 + 2x2-6x+x-32x+ 1=-22x+ 1Or,limx→+∞?-x22 +1?= 0, doncDest asymptote à la courbe représentant la fonctionf.Exemple :Soitfla fonction définie sur[0; +∞[par :f(x)=-2x2+ 5x+ 12x+ 1O?i?jy=ax+bExemple:f:R?-→Rx?-→2x+ 1 +1x•Cfadmet-elle une droite comme asymptote en+∞?•Justifier.Exemple:f:Df-→Rx?-→?x2-1 + 2x•DéterminerDf;•Prouver que la droited:y= 3xest asymptote àCfen+∞;•Cfadmet-elle une asymptote oblique en-∞? (attendre ce qui suit pour répondre à cette question)

II Branches paraboliques1Brancheparaboliquededirection(Ox)On dit queCfprésente unebranche parabolique de directionasymptotique(Ox) en +∞si :•limx→+∞f(x) =±∞;•limx→+∞f(x)x= 0 ;O?i?j2Brancheparaboliquededirection(Oy)On dit queCfprésente unebranche parabolique de directionasymptotique(Oy) en +∞si :•limx→+∞f(x) =±∞;•limx→+∞f(x)x=±∞;O?j3Brancheparaboliquededirectionladroited"équationy=axOn dit queCfprésente unebranche parabolique de directionasymptotique la droite d"équationy=axen +∞si :•limx→+∞f(x) =±∞;•limx→+∞f(x)x=a;•limx→+∞f(x)-ax=±∞;O?jy=axConvexité-Pointd"inflexion1Notiondeconvexité,deconcavitéDéfinition :Soitfune fonction dérivable sur un intervalleIetCsa courbe représentative dans un repère.- On dit quefestconvexesurIsi, sur l"intervalleI, la courbeCest entièrementau-dessusde chacunede sestangentes.- On dit quefestconcavesurIsi, sur l"intervalleI, la courbeCest entièrementau-dessousde chacunede ses tangentes.Exemples :1. La fonction carréex→x2est convexe surR(voir figure 1).

Figure1 - La fonction carrée2.La fonction racine carréex→⎷xest concave sur[0; +∞[(voir figure 2).3. La fonction inversex→1xest concave sur sur]-∞; 0[et convexe sur]0; +∞[(voir figure 3).2Pointd"inflexionDéfinition :Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI,Csa courbe représentative dans un repère eta?I.On dit que le pointA(a;f(a))est unpoint d"inflexiondeCsi, enA, la courbeCtraverse sa tangente.Figure2 - La fonction racine carréeFigure3 - La fonction inverse

Figure-LafonctioncubeExemple :La fonction cubex→x3admet un point d"inflexion en l"origineOdu repère (voir figure 6).Elleest concave sur]-∞; 0]et convexe sur[0; +∞[.Remarque :En l"abscisseadu point d"inflexion, la courbeCpasse de concave à convexeou de convexe àconcave.3ConvexitéetopérationsPropriété 1 :Soitfetgdeux fonctions dérivables etconvexessur un intervalleIetλ?R.- La fonctionf+gestconvexesurI.- Siλ >0, la fonctionλfestconvexesurI.- Siλ <0, la fonctionλfestconcavesurI.Propriété 2 :Soitfetgdeux fonctions dérivables etconcavessur un intervalleIetλ?R.- La fonctionf+gestconcavesurI.- Siλ >0, la fonctionλfestconcavesurI.- Siλ <0, la fonctionλfestconvexesurI.Convexitéetdérivées1Convexitéetsensdevariationdef?Théorème :(admis)Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI.-festconvexesurIsi et seulement sif?estcroissantesurI.-festconcavesurIsi et seulement sif?estdécroissantesurI.

2Convexitéetsignedef??Définition : Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI.Si la dérivéef?defest elleaussi dérivablesurI, on dit quefestdeux fois dérivablesurIet on notef??ladérivée def?surI.f??est appeléedérivée secondedef.Exemple:1.f(x) = 3x2-3x+ 1f?(x) = 6x-3f??(x) = 6Théorème :Soitfune fonction deux fois dérivable sur un intervalleI.-festconvexesurIsi et seulement sif??estpositivesurI.-festconcavesurIsi et seulement sif??estnégativesurI.3Pointd"inflexionetdérivéesecondeThéorème :(admis)Soitfune fonction deux fois dérivable sur un intervalleIeta?I. On noteCla courbe représentative def.La courbeCadmet unpoint d"inflexionau pointA(a;f(a))si et seulement sif??s"annule en changeantde signeena.® ®thogonal (O, i , j) par une courbe (C).ηÎ-Î-·ÎÎ-Î-

x 1 Signe de la différence f()xg ()x 0 Conséquences f en dessous de g f au dessus de gf en dessous de gIntersectionintersection