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cours du mercredi 1/3/17

Chapitre V Fonctionsarcsin;arccos;arctan

1 Définitions

1.1arcsin

Proposition 1.1La fonctionsin : [=2;=2]![1;1]est une bijection. On notearcsin : [1;1]![=2;=2]la fonction réciproquei.e.si1 x1, alorsy= arcsinx,siny=xET=2x=2. Par exemple, arcsin(p3 2 )6= 2=3mais==3.

Démonstration de la proposition :

8=2x=2;sin0x= cosx0,

>0si=2< x < =2. Doncsinest strictement croissante sur[=2;=2]. En particulier, la fonctionsin : [=2;=2]![1;1]est injective. Surjecti- vité : commesin(=2) =1et commesin=2 = 1, d"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout1y1, il existe=2x=2tel quesinx=y.q.e.d.1.2arccos Proposition 1.2La fonctioncos : [0;]![1;1]est une bijection. On notearccos : [1;1]![0;]la fonction réciproquei.e.si1x1, alorsy= arccosx,cosy=xET0x.

1.3arctan

Proposition 1.3La fonctiontan : [=2;=2]!Rest une bijection. On notearctan :R![=2;=2]la fonction réciproquei.e.six2R, alorsy= arctanx,tany=xET=2< x < =2.

2 Propriétés

Proposition 2.1a)L esfonctions arctanetarcsinsont impaires maisarccos n"est pas paire; 1 b)les fonctions arctanetarcsinsont strictement croissantes et la fonction arccosstrictement décroissante. c) les fonctions arcsinetarccossont continues sur[1;1], la fonctionarctan est continue surR. d)arcsinest dérivable sur]1;1[et81< x <1;arcsin0x=1p1x2,arccos est dérivable sur]1;1[et81< x <1;arccos0x=1p1x2,arctan est dérivable surRet8x2R;arctan0x=11+x2; e)arcsin(0) = 0,arcsin(1=2) ==6,arcsin(1=p2) ==4,arcsin(p3=2) = =3,arcsin(1) ==2;arccos(0) ==2,arccos(1=2) ==3,arccos(1=p2) = =4,arccos(p3=2) ==6,arccos(1) = 0,arctan(0) = 0,arctan(1) = =4,arctan(1) ==4,arctan(p3) ==3,limx!1arctan(x) ==2;

3 Quelques formules concernantarctan

Proposition 3.1a)arctan1 + arctan2 + arctan3 =;

b)arctan(1=2) + arctan1=5 + arctan1=8 ==4; c)4arctan(1=5)arctan(1=239) ==4; d)2arctan(1=3) + arctan(1=7) ==4; e)limn!1Pnk=0(1)k2k+1==4. Démonstration :a,b,c,d) : on utilise quetan(x+y) =tanx+tany1tanxtanyet donc que :tan(x+y+z) =tanx+tany+tanztanxtanytanz1tanxtanytanytanztanxtanz. Par exemple pour a) : tan(arctan1 + arctan2 + arctan3) =

1+2+31:2:311:22:31:3= 0. Doncarctan1 +

arctan2 + arctan3 =k,k2Z. Or, la fonctionarctanest strictement croissante majorée par=2donc :02n+1arctan1 ==4u2n: q.e.d.2

Chapitre VI Intégration

1 Intégrales des fonctions en escaliers

Soientab2R.

Définition 1On dit qu"une fonctionf: [a;b]!Rest en escaliers s"il existe =fa=t0< ::: < tn=bgune subdivision de l"intervalle telle que pour tout0in1,fest constante (égale à une certaine constanteci2R) sur l"intervalle ouvert]ti;ti+1[. Dans ce cas, on dit que la subdivisionest adaptée àf. Exemple :soitI[a;b]un intervalle. On poseI: [a;b]!Rla fonction telle que

I(x) =8

:1six2I,

0six62I.

La fonctionIest en escaliers.

Exercice 1L"ensembleE([a;b])des fonctions en escaliers sur[a;b]est un sous-Respace vectoriel deR[a;b]l"espace des fonctions :[a;b]!R. Les fonctionsI,Iintervalle ouvert deR, forment une famille génératrice de l"espaceE([a;b].

Remarques :

a) on a f([a;b]) =fci: 0in1g[ff(ti) : 0ing; en particulier fne prend qu"un nombre fini de valeurs et est bornée; b) si 0sont des subdivisions de[a;b](on dit que0est une subdivision plus fine que), alors siest adaptée àf, fonction en escaliers,0aussi. Définition 2Soitfune fonction en escaliers sur[a;b]. Le nombre : n1X i=0(ti+1ti)ci où =fa=t0< ::: < tn=bgest une subdivision adaptée àfetf]ti;ti+1[= c i, est indépendant de la subdivision adaptée àfchoisie. On le note : Z b af : 3 Démonstration de l"indépendance vis à vis de la subdivision : Siest une subdivision adaptée àf, notonsI=Pn1i=0(ti+1ti)cila somme correspondante. Siet0sont des subdivisions adaptées,00= [0est une subdivision adaptée àfet plus fine queet0. Il suffit donc de montrer queI=I00=I0. Posons00=fx0;:::;xmgpour certains a=x0< ::: < xm=bdans[a;b]. Alors =fxi0;:::;xingpour certains indices0 =i0< ::: < in=m. On a alors en notantcjla valeur constante de fsur]xij;xij+1[: I =X j(xij+1xij)cj X ji j+11X i=ij(xi+1xi)cj X i(xi+1xi)c00i=I00

(oùc00iest la valeur constante defsur]xi;xi+1[). De même,I0=I00.q.e.d.Exercice 2SoitIun intervalle contenue dans[a;b]. On aRb

aI=l(I)la longueur de l"intervalleI. 4quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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