Chapitre V Fonctions arcsin arccos
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf
Cours de Mathématiques L1 Semestre 1
Or arccos(x) ∈]0π[ et sin(arccos(x)) > 0. Donc sin(arccos(x)) = √1 - x2 1 Représentez la fonction x ↦→ arcsin(sin(x)). 2 Représentez la fonction x ...
Chapitre12 : Fonctions circulaires réciproques
D'où comme pour Arcsin
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
%20d%C3%A9riv%C3%A9es
Exercices de mathématiques - Exo7
f3(x) = arcsin√1−x2 −arctan. (√. 1−x. 1+x. ) . 4. f4(x) = arctan 1. 2x2 −π +2kπ ⩽ x < 2kπ alors arccos(cosx) = arccos(cos(2kπ −x)) = 2kπ −x avec k ...
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tan(x) = y ⇐⇒ x = arctan y arctan (x) = 1. 1 + x2. ∀x ∈. Mini-exercices. 1. Calculer les valeurs de arccos et arcsin en 0 1
Cours3 Compléments trigonométrie
sin(Arcsin( )) cos(Arcsin( )) Si deux nombres sont égaux alors ils ont la même tangente (mais la réciproque est fausse) donc… SI Arctan( ) Arctan(4) Arctan(5).
1) La fonction Arccos.
Par le cours on en déduit que sa fonction réciproque Arccos est dérivable exemple Arctan(tan(3π)) = Arctan(0) = 0. Question : si x est un réel tel que x ...
I Propriétés fondamentales
Groupe-cours 51. MAT1112 - Calcul Le graphe de f−1 est le symétrique du graphe de f par rapport à la droite y = x. III.2 Les fonctions arccos arcsin
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arccosarcsin
Chapitre V Fonctions arcsin arccos
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Chapitre12 : Fonctions circulaires réciproques
4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre12 : Fonctions circulaires D'où comme pour Arcsin
Cours de Mathématiques L1 Semestre 1
Cours magistral 4 : Réciproques des fonctions trigonométriques sin(arccos(x))? Ce que l'on sait cos(arccos(x)) = x et ... arcsin(sin(x)) = x Vx ? [-?.
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ter à notre catalogue de nouvelles fonctions : chsh
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de nouvelles fonctions : ch sh
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2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)
arcsin(x)+arccos(x)= y + arcos(cos( ?. 2. ? y)) = ?. 2 . III. La fonction arctan: la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 Résumé de cours. 2. Exercices. ... Arctan etc) n'ont pas toujours de primitives élémentaires. ... Arcsin d – Arcsin c
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réciproques arcsin arccos et arctan. Résumé de cours sur les nombres complexes. Le nombre imaginaire i est introduit comme solution de x2 = ?1 et vérifie
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décroissante donc est une bijection Sa bijection réciproque est la fonction arccosinus : { cos(x) = y x ? [0?] ? { x = arccos(y) y ? [-11]
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Comme expliqué dans le cours sur les fonctions réciproques la courbe de arcsin est la symétrique de celle de sin par rapport à la droite d'équation y = x mais
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Etude de la fonction Arccos() Arccos:[ 1; 1] [0; ] ? ? + ? fonction ni paire ni impaire non-périodique y=sin(x) y=Arcsin(x)
Fonctions usuellesExo7
ter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch,sh,th,arccos,arcsin,arctan,argch,argsh,argth.Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier
issus de la physique. Par exemple lorsqu"un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenuentre deux mains) alors la courbe dessinée est unechaînettedont l"équation fait intervenir le
cosinus hyperbolique et un paramètrea(qui dépend de la longueur du fil et de l"écartement des
poteaux) : yAEach³xa´1.Logarithme et exponentielle
1.1.Logarithme Proposition 1
Il existe une unique fonction, notée ln:]0,Å1[!Rtelle que : ln0(x)AE1x
(pour toutxÈ0) et ln(1)AE0. De plus cette fonction vérifie (pour touta,bÈ0) : 1. ln( a£b)AElnaÅlnb, 2. ln( 1a )AE¡lna, 3. ln( an)AEnlna, (pour toutn2N) 4. ln est une fonction continue, strictement croissante et définit une bijection de ]0,Å1[ surR,1 2 5. lim x!0ln(1Åx)x AE1, 6. la fonction ln est conca veet ln xÉx¡1 (pour toutxÈ0).xy lnxe1 10Remarque
lnxs"appelle lelogarithme naturelou aussilogarithme néperien. Il est caractérisé par ln(e)AE1. On définit lelogarithme en baseapar log a(x)AEln(x)ln(a)De sorte que log
a(a)AE1. PouraAE10 on obtient lelogarithme décimallog10qui vérifielog10(10)AE1 (et donc log10(10n)AEn). Dans la pratique on utilise l"équivalence :xAE10y()yAElog10(x)En informatique intervient aussi le logarithme en base 2 : log2(2n)AEn.Démonstration L"existence et l"unicité viennent de la théorie de l"intégrale : ln(x)AERx 11t dt. Passons aux propriétés. 1. Posonsf(x)AEln(xy)¡ln(x) oùyÈ0 est fixé. Alorsf0(x)AEyln0(xy)¡ln0(x)AEyxy¡1x
AE0. Donc
x7!f(x) a une dérivée nulle, donc est constante et vautf(1)AEln(y)¡ln(1)AEln(y). Doncln(xy)¡
ln(x)AEln(y). 2.D"une part ln( a£1a
)AElnaÅln1a , mais d"autre part ln(a£1a )AEln(1)AE0. Donc lnaÅln1a AE0. 3.Similaire ou récurrence .
4. ln est dérivable donc continue,ln0(x)AE1x È0 donc la fonction est strictement croissante. Comme ln(2)Èln(1)AE0 alorsln(2n)AEnln(2)!Å1(lorsquen!Å1). Donclimx!Å1lnxAEÅ1. DelnxAE¡ln1x
on déduitlimx!0lnxAE ¡1. Par le théorème sur les fonctions continues et strictement croissantes, ln:]0,Å1[!Rest une bijection. 5. lim x!0ln(1Åx)x est la dérivée de ln au pointx0AE1, donc cette limite existe et vaut ln0(1)AE1. 6. ln 0 (x)AE1xest décroissante, donc la fonctionlnest concave. Posonsf(x)AEx¡1¡lnx;f0(x)AE1¡1x.Par une étude de fonctionfatteint son maximum enx0AE1. Doncf(x)Êf(1)AE0. DonclnxÉx¡1.1.2.Exponentielle
3Définition 1La bijection réciproque deln:]0,Å1[!Rs"appelle la fonctionexponentielle, notéeexp:R!
]0,Å1[.xyexpxe 1 10Pourx2Ron note aussiexpour expx.Proposition 2
La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes : exp(lnx)AExpour toutxÈ0et ln(expx)AExpour toutx2R-exp(aÅb)AEexp(a)£exp(b) -exp(nx)AE(expx)n -exp :R!]0,Å1[ est une fonction continue,strictement croissante vérifiantlimx!¡1expxAE0 et lim
x!Å1expAEÅ1. La fonction exponentielle est dérivable etexp0xAEexpx, pour toutx2R. Elle est convexe et expxÊ1ÅxRemarque La fonction exponentielle est l"unique fonction qui vérifieexp0(x)AEexp(x) (pour toutx2R) et exp(1)AEe. Oùe'2,718...est le nombre qui vérifie lneAE1.Démonstration Ce sont les propriétés du logarithme retranscrites pour sa bijection réciproque.Par exemple pour la dérivée : on part de l"égalitéln(expx)AExque l"on dérive. Cela donneexp0(x)£
ln0(expx)AE1 donc exp0(x)£1expxAE1 et ainsi exp0(x)AEexpx.1.3.Puissance et comparaison
Par définition, pouraÈ0 etb2R,
a bAEexp¡blna¢ 4Remarque
paAEa12AEexp¡12
lna¢ npaAEa1nAEexp¡1n
lna¢(laracinen-ièmedea) -On note aussi expxparexce qui se justifie par le calcul :exAEexp¡xlne¢AEexp(x). -Les fonctionsx7!axs"appellent aussi des fonctions exponentielles et se ramènent sys- tématiquement à la fonction exponentielle classique par l"égalitéaxAEexp(xlna). Il nefaut surtout pas les confondre avec les fonctions puissancesx7!xa.Comparons les fonctions lnx, expxavecx:Proposition 3
lim x!Å1lnxxAE0 et limx!Å1expxx
AEÅ1.xyx
a(aÈ1)x a(aÇ1)expxlnxx 1 10Démonstration
1. On a vu ln xÉx¡1 (pour toutxÈ0). Donc lnxÉxdonclnpxpxÉ1. Cela donne
0Élnxx
AEln³px
2´x
AE2lnpx
xAE2lnpxpx
1pxÉ2px
Cette double inégalité entraîne lim
x!Å1lnxx AE0. 2. On a vu exp xÊ1Åx(pour toutx2R). Donc expx!Å1(lorsquex!Å1). xexpxAEln(expx)expxAElnuu lorsquex! Å1alorsuAEexpx! Å1et donc par le premier pointlnuu !0. Doncxexpx!0 et reste positive, ainsi limx!Å1expxxAEÅ1.
5Mini-exercices
1. Montrer que ln(1 Åex)AExÅln(1Åe¡x), pour toutx2R.2.Étudier la fonctionf(x)AEln(x2Å1)¡ln(x)¡1. Tracer son graphe. Résoudre l"équation
(f(x)AE0). Idem avecg(x)AE1Ålnxx . Idem avech(x)AExx. 3.Expliquer comment log
10permet de calculer le nombre de chiffres d"un entiern.
4.Montrerln(1Åx)Êx¡x22pourxÊ0 (faire une étude de fonction). Idem avecexÊ1ÅxÅx22
pour toutxÊ0. 5. Calculer la limite de la suite définie parunAE¡1Å1n nlorsquen! Å1. Idem avec vnAE¡1n netwnAEn1n .2.F onctionscirculaires inverses 2.1.Arccosinus
Considérons la fonction cosinuscos:R![¡1,1],x7!cosx. Pour obtenir une bijection à partir decette fonction, il faut considérer la restriction de cosinus à l"intervalle [0,¼]. Sur cet intervalle la
fonction cosinus est continue et strictement décroissante, donc la restriction cos j:[0,¼]![¡1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarccosinus: arccos:[¡1,1]![0,¼]xy cosx0¼¼2¡¼¡¼2Å1¡1xy
arccosx01¡1¼ ¼2 On a donc, par définition de la bijection réciproque : cos¡arccos(x)¢AEx8x2[¡1,1]
arccos¡cos(x)¢AEx8x2[0,¼]Autrement dit : Six2[0,¼] cos(x)AEy()xAEarccosyTerminons avec la dérivée de arccos : arccos0(x)AE¡1p1¡x28x2]¡1,1[
6Démonstration
On démarre de l"égalité cos(arccosx)AExque l"on dérive : cos(arccosx)AExAE) ¡arccos0(x)£sin(arccosx)AE1
AE)arccos0(x)AE¡1sin(arccosx)
yAEarccosxon obtientcos2(arccosx)Åsin2(arccosx)AE1 doncx2Åsin2(arccosx)AE1. On en déduit : sin(arccosx)AEÅp1¡x2(avec le signeÅcar arccosx2[0,¼]).2.2.ArcsinusLa restriction
sin j:[¡¼2 ,ż2 ]![¡1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarcsinus: arcsin:[¡1,1]![¡¼2 ,ż2 ]xysinx0¼¼2¡¼¡¼2Å1¡1xy
arcsinx01¡1¼2 ¼2 sin¡arcsin(x)¢AEx8x2[¡1,1]
arcsin¡sin(x)¢AEx8x2[¡¼2 ,ż2 ]Six2[¡¼2 ,ż2 ] sin(x)AEy()xAEarcsinyarcsinLa restriction
tan j:]¡¼2 ,ż2 [!R 7 est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarctangente: arctan:R!]¡¼2 ,ż2 [xytanx¼2¡¼23¼2¼¡¼xy
arctanx0¼2 ¼2 tan¡arctan(x)¢AEx8x2R
arctan¡tan(x)¢AEx8x2]¡¼2 ,ż2 [Six2]¡¼2 ,ż2 [ tan(x)AEy()xAEarctanyarctan0(x)AE11Åx28x2RMini-exercices
1.Calculer les valeurs dearccosetarcsinen 0, 1,12,
p2 2 p3 2 . Idem pourarctanen 0, 1,p3 et 1p3 2. Calculerarccos(cos7¼3). Idem avecarcsin(sin7¼3) etarctan(tan7¼3) (attention aux inter- valles!) 3. Calculer cos(arcta nx), cos(arcsinx), tan(arcsinx). 4. Calculer la dérivée def(x)AEarctan³xp1¡x2´. En déduire quef(x)AEarcsinx, pour tout x2]¡1,1[. 5.Montrer que arccos xÅarcsinxAE¼2
, pour toutx2[¡1,1]. 8 3.F onctionshyperboliques et hyperboliques inverses
3.1.Cosinus hyperbolique et son inverse
Pourx2R, lecosinus hyperboliqueest :
chxAEexÅe¡x2La restrictionchj:[0,Å1[![1,Å1[ est une bijection. Sa bijection réciproque estargch:[1,Å1[!
[0,Å1[.xychxshx1 10 xy argchxargshx1 10 3.2.Sinus hyperbolique et son inverse
Pourx2R, lesinus hyperboliqueest :
shxAEex¡e¡x2 sh :R!Rest une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiantlimx!¡1shxAE¡1 et lim x!Å1shxAEÅ1, c"est donc une bijection. Sa bijection réciproque est argsh:R!R.Proposition 4 -ch2x¡sh2xAE1. -ch0xAEshx, sh0xAEchx. -argsh:R!Rest strictement croissante et continue. -argsh est dérivable et argsh0xAE1px2Å1.
-argshxAEln¡xÅpx2Å1¢.
9Démonstration
-ch2x¡sh2xAE14 ddx (chx)AEddx exÅe¡x2AEex¡e¡x2
AEshx. Idem pour la dérivée de shx.
-Car c"est la réciproque de sh. -Comme la fonctionx7!sh0xne s"annule pas surRalors la fonctionargshest dérivable surR. On calcule la dérivée par dérivation de l"égalité sh(argshx)AEx: argsh0xAE1ch(argshx)AE1q
sh2(argshx)Å1AE1px
2Å1
-Notonsf(x)AEln¡xÅpx2Å1¢alors
f0(x)AE1Åxpx
2Å1xÅpx
2Å1AE1px
2Å1AEargsh0x
Comme de plusf(0)AEln(1)AE0 etargsh0AE0 (carsh0AE0), on en déduit que pour toutx2R, f(x)AEargshx.3.3.T angentehyperbolique et son inversePar définition latangente hyperboliqueest :
thxAEshxchxLa fonction th:R!]¡1,1[ est une bijection, on note argth:]¡1,1[!Rsa bijection réciproque.xy
thx1¡10xyargthx1¡10
3.4.T rigonométriehyperbolique
ch2x¡sh2xAE1
10 ch(aÅb)AEcha¢chbÅsha¢shb ch(2a)AEch2aÅsh2aAE2 ch2a¡1AE1Å2 sh2a sh(aÅb)AEsha¢chbÅshb¢cha sh(2a)AE2 sha¢cha th(aÅb)AEthaÅthb1Åtha¢thb ch0xAEshx
sh0xAEchx
th0xAE1¡th2xAE1ch
2x argch0xAE1px
2¡1(xÈ1)
argsh0xAE1px
2Å1
argth0xAE11¡x2(jxjÇ1)
argchxAEln¡xÅpx2¡1¢(xÊ1)
argshxAEln¡xÅpx2Å1¢(x2R)
argthxAE12 (¡1ÇxÇ1)Mini-exercices1.Dessiner les courbes paramétréest7!(cost,sint) ett7!(cht,sht). Pourquoicosetsin
s"appellent des fonctions trigonométriquescirculairesalors quechetshsont des fonc- tions trigonométriqueshyperboliques? 2. Prouver par le calcul la formulech(aÅb)AE...En utilisant quecosxAEeixÅe¡ix2retrouver la formule pour cos(aÅb). 3.Résoudre l"équation sh xAE3.
4.Montrer que
sh(2x)1Åch(2x)AEthx. 5. Calculer les dérivées des fonctions définies par :th(1Åx2),ln(chx),argch(expx), argth(cosx). 11Auteurs
Arnaud Bodin, Niels Borne, Laura Desideri
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