[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Fonctions usuelles

de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth.

Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier issus de la physique.

Par exemple lorsqu"un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenu entre deux mains) alors la courbe

dessinée est unechaînettedont l"équation fait intervenir le cosinus hyperbolique et un paramètrea(qui dépend de la

longueur du fil et de l"écartement des poteaux) : y=achxa

1. Logarithme et exponentielle

1.1. LogarithmeProposition 1.

Il existe une unique fonction, notéeln :]0,+1[!Rtelle que : ln

0(x) =1x

(pour tout x>0)etln(1) =0. De plus cette fonction vérifie (pour tout a,b>0) :

1.ln(ab) =lna+lnb,

2.ln(1a

) =lna,

3.ln(an) =nlna, (pour tout n2N)

4.lnest une fonction continue, strictement croissante et définit une bijection de]0,+1[surR,

5.limx!0ln(1+x)x

=1, 6. la fonction lnest concave etlnx6x1(pour tout x>0). FONCTIONS USUELLES1. LOGARITHME ET EXPONENTIELLE2xy lnxe1 10

Remarque.

lnxs"appelle lelogarithme naturelou aussilogarithme néperien. Il est caractérisé parln(e) =1. On définit le

logarithme en baseapar log a(x) =ln(x)ln(a)

De sorte que log

a(a) =1.

Poura=10on obtient lelogarithme décimallog10qui vérifielog10(10) =1(et donclog10(10n) =n). Dans la

pratique on utilise l"équivalence :x=10y()y=log10(x)En informatique intervient aussi le logarithme en base 2 : log

2(2n) =n.

Démonstration.

L"existence et l"unicité viennent de la théorie de l"intégrale :ln(x) =Rx 11t dt. Passons aux propriétés.

1.Posonsf(x) =ln(x y)ln(x)oùy>0est fixé. Alorsf0(x) =yln0(x y)ln0(x) =yx y

1x=0. Doncx7!f(x)a

une dérivée nulle, donc est constante et vautf(1) =ln(y)ln(1) =ln(y). Donc ln(x y)ln(x) =ln(y).

2.

D"une part ln (a1a

) =lna+ln1a , mais d"autre part ln(a1a ) =ln(1) =0. Donc lna+ln1a =0. 3.

Similaire ou récurrence.

4. ln est dérivable donc continue,ln0(x) =1x >0donc la fonction est strictement croissante. Commeln(2)>ln(1) =0 alorsln(2n) =nln(2)!+1(lorsquen!+1). Donclimx!+1lnx= +1. Delnx=ln1xon déduit

limx!0lnx=1. Par le théorème sur les fonctions continues et strictement croissantes,ln:]0,+1[!Rest

une bijection. 5. lim x!0ln(1+x)x est la dérivée de ln au pointx0=1, donc cette limite existe et vaut ln0(1) =1. 6. ln 0 (x) =1xest décroissante, donc la fonctionlnest concave. Posonsf(x) =x1lnx;f0(x) =11x. Par une étude de fonctionfatteint son minimum enx0=1. Doncf(x)>f(1) =0. Donc lnx6x1.1.2. Exponentielle

Définition 1.

La bijection réciproque de ln :]0,+1[!Rs"appelle la fonctionexponentielle, notée exp :R!]0,+1[.

FONCTIONS USUELLES1. LOGARITHME ET EXPONENTIELLE3xyexpxe 1 10

Pourx2Ron note aussiexpour expx.Proposition 2.

La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes : •exp(lnx) =x pour tout x>0etln(expx) =x pour tout x2R• exp(a+b) =exp(a)exp(b) exp(nx) = (expx)n exp:R!]0,+1[est une fonction continue, strictement croissante vérifiantlimx!1expx=0et limx!+1exp= +1.

La fonction exponentielle est dérivable etexp0x=expx, pour tout x2R. Elle est convexe etexpx>1+x.Remarque.

La fonction exponentielle est l"unique fonction qui vérifieexp0(x) =exp(x)(pour toutx2R) etexp(1) =e. Où

e'2,718... est le nombre qui vérifie lne=1.

Démonstration.Ce sont les propriétés du logarithme retranscrites pour sa bijection réciproque.

Par exemple pour la dérivée : on part de l"égalitéln(expx) =xque l"on dérive. Cela donneexp0(x)ln0(expx) =1

donc exp0(x)1expx=1 et ainsi exp0(x) =expx.1.3. Puissance et comparaison

Par définition, poura>0 etb2R,a

b=expblnaRemarque. •pa=a12 =exp12 lna npa=a1n =exp1n lna(laracinen-èmedea) On note aussi expxparexce qui se justifie par le calcul :ex=expxlne=exp(x).

Les fonctionsx7!axs"appellent aussi des fonctions exponentielles et se ramènent systématiquement à la fonction

exponentielle classique par l"égalitéax=exp(xlna). Il ne faut surtout pas les confondre avec les fonctions

puissancesx7!xa.Proposition 3.

Soit x,y>0et a,b2R.

•x a+b=xaxb•x a=1x a•(x y)a=xaya•(xa)b=xab

FONCTIONS USUELLES1. LOGARITHME ET EXPONENTIELLE4•ln(xa) =alnxComparons les fonctions lnx, expxavecx:Proposition 4.

lim x!+1lnxx =0etlimx!+1expxx = +1.xyx a(a>1)x a(a<1)expxlnxx 1 10

Démonstration.

1. On a vu ln x6x1 (pour toutx>0). Donc lnx6xdonclnpxpx

61. Cela donne

06lnxx

=ln€px

2Šx

=2lnpx x =2lnpxpx 1px 62px

Cette double inégalité entraîne lim

x!+1lnxx =0. 2. On a vu exp x>1+x(pour toutx2R). Donc expx!+1(lorsquex!+1). xexpx=ln(expx)expx=lnuuLorsquex!+1alorsu=expx!+1et donc par le premier pointlnuu !0. Doncxexpx!0et reste positive, ainsi limx!+1expxx = +1.Mini-exercices. 1.

Montrer que ln (1+ex) =x+ln(1+ex), pour toutx2R.

2.

Étudier la fonctionf(x) =ln(x2+1)ln(x)1. Tracer son graphe. Résoudre l"équation(f(x) =0). Idem avec

g(x) =1+lnxx . Idem avech(x) =xx. 3.

Expliquer comment log

10permet de calculer le nombre de chiffres d"un entiern.

4. Montrerln(1+x)>xx22pourx>0(faire une étude de fonction). Idem avecex>1+x+x22pour toutx>0. 5. Calculer la limite de la suite définie par un=1+1n nlorsquen!+1. Idem avecvn=1n netwn=n1n FONCTIONS USUELLES2. FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES5

2. Fonctions circulaires inverses

2.1. ArccosinusConsidérons la fonction cosinuscos:R![1,1],x7!cosx. Pour obtenir une bijection à partir de cette fonction,

il faut considérer la restriction de cosinus à l"intervalle[0,]. Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et

strictement décroissante, donc la restriction cos j:[0,]![1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarccosinus: arccos :[1,1]![0,]xy cosx0 2

2+11xy

arccosx011 2 On a donc, par définition de la bijection réciproque : cos arccos(x)=x8x2[1,1] arccoscos(x)=x8x2[0,]Autrement dit : Six2[0,]cos(x) =y()x=arccosyTerminons avec la dérivée de arccos : arccos

0(x) =1p1x28x2]1,1[Démonstration.On démarre de l"égalité cos(arccosx) =xque l"on dérive :

cos(arccosx) =x =) arccos0(x)sin(arccosx) =1 =)arccos0(x) =1sin(arccosx) =)arccos0(x) =1p1cos2(arccosx)() =)arccos0(x) =1p1x2

FONCTIONS USUELLES2. FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES6Le point crucial()se justifie ainsi : on démarre de l"égalitécos2y+sin2y=1, en substituanty=arccosxon obtient

cos2(arccosx)+sin2(arccosx) =1doncx2+sin2(arccosx) =1. On en déduit :sin(arccosx) = +p1x2(avec le signe+car arccosx2[0,], et donc on a sin(arccosx)>0).2.2. Arcsinus

La restriction

sin j:[2 ,+2 ]![1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarcsinus: arcsin :[1,1]![2 ,+2 ]xysinx0 2

2+11xy

arcsinx011 2 2 sin arcsin(x)=x8x2[1,1] arcsinsin(x)=x8x2[2 ,+2 ]Six2[2 ,+2 ]sin(x) =y()x=arcsinyarcsin

0(x) =1p1x28x2]1,1[2.3. Arctangente

La restriction

tan j:]2 ,+2 [!R est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarctangente: arctan :R!]2 ,+2 FONCTIONS USUELLES3. FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES INVERSES7xytanx 2 232xy
arctanx0 2 2 tan arctan(x)=x8x2R arctantan(x)=x8x2]2 ,+2 [Six2]2 ,+2 [tan(x) =y()x=arctanyarctan

0(x) =11+x28x2RMini-exercices.

1.

Calculer les valeurs de arccos et arcsin en 0, 1,

12 ,p2 2 ,p3 2 . Idem pour arctan en 0, 1,p3 et 1p3 2.

Calculer arccos (cos73

). Idem avec arcsin(sin73 )et arctan(tan73 )(attention aux intervalles!) 3. Calculer cos (arctanx), cos(arcsinx), tan(arcsinx). 4. Calculer la dérivée de f(x) =arctan€xp1x2Š . En déduire quef(x) =arcsinx, pour toutx2]1,1[. 5.

Montrer que arccos x+arcsinx=2

, pour toutx2[1,1].3. Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses

3.1. Cosinus hyperbolique et son inverse

Pourx2R, lecosinus hyperboliqueest :chx=ex+ex2

La restriction ch

j:[0,+1[![1,+1[est une bijection. Sa bijection réciproque est Argch :[1,+1[![0,+1[. FONCTIONS USUELLES3. FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES INVERSES8xychxshx1 10 xy

ArgchxArgshx1

10

3.2. Sinus hyperbolique et son inverse

Pourx2R, lesinus hyperboliqueest :shx=exex2

sh:R!Rest une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiantlimx!1shx=1et limx!+1shx= +1, c"est donc une bijection. Sa bijection réciproque est Argsh :R!R.Proposition 5. ch2xsh2x=1 ch0x=shx,sh0x=chx

Argsh :R!Rest strictement croissante et continue.

Argshest dérivable etArgsh0x=1px

2+1.

Argshx=lnx+px

2+1Démonstration.

ch2xsh2x=14 (ex+ex)2(exex)2=14 (e2x+2+e2x)(e2x2+e2x)=1. ddx (chx) =ddx e x+ex2 =exex2 =shx. Idem pour la dérivée de shx.

Car c"est la réciproque de sh.

Comme la fonctionx7!sh0xne s"annule pas surRalors la fonctionArgshest dérivable surR. On calcule la

dérivée par dérivation de l"égalité sh(Argshx) =x: Argsh

0x=1ch(Argshx)=1AE

sh

2(Argshx)+1=1px

2+1

Notonsf(x) =lnx+px

2+1alors

f

0(x) =1+xpx

2+1x+px

2+1=1px

2+1=Argsh0x

Comme de plusf(0) =ln(1) =0etArgsh0=0(carsh0=0), on en déduit que pour toutx2R,f(x) =Argshx. FONCTIONS USUELLES3. FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES INVERSES9

3.3. Tangente hyperbolique et son inverse

Par définition latangente hyperboliqueest :thx=shxchxLa fonction th :R!]1,1[est une bijection, on note Argth :]1,1[!Rsa bijection réciproque.xy

thx1

10xyArgthx110

3.4. Trigonométrie hyperbolique

ch

2xsh2x=1

ch(a+b) =chachb+shashb ch(2a) =ch2a+sh2a=2 ch2a1=1+2 sh2a sh(a+b) =shachb+shbcha sh(2a) =2 shacha th(a+b) =tha+thb1+thathb chquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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