Chapitre V Fonctions arcsin arccos
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf
Cours de Mathématiques L1 Semestre 1
Or arccos(x) ∈]0π[ et sin(arccos(x)) > 0. Donc sin(arccos(x)) = √1 - x2 1 Représentez la fonction x ↦→ arcsin(sin(x)). 2 Représentez la fonction x ...
Chapitre12 : Fonctions circulaires réciproques
D'où comme pour Arcsin
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%20d%C3%A9riv%C3%A9es
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f3(x) = arcsin√1−x2 −arctan. (√. 1−x. 1+x. ) . 4. f4(x) = arctan 1. 2x2 −π +2kπ ⩽ x < 2kπ alors arccos(cosx) = arccos(cos(2kπ −x)) = 2kπ −x avec k ...
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tan(x) = y ⇐⇒ x = arctan y arctan (x) = 1. 1 + x2. ∀x ∈. Mini-exercices. 1. Calculer les valeurs de arccos et arcsin en 0 1
Cours3 Compléments trigonométrie
sin(Arcsin( )) cos(Arcsin( )) Si deux nombres sont égaux alors ils ont la même tangente (mais la réciproque est fausse) donc… SI Arctan( ) Arctan(4) Arctan(5).
1) La fonction Arccos.
Par le cours on en déduit que sa fonction réciproque Arccos est dérivable exemple Arctan(tan(3π)) = Arctan(0) = 0. Question : si x est un réel tel que x ...
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4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre12 : Fonctions circulaires D'où comme pour Arcsin
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Cours magistral 4 : Réciproques des fonctions trigonométriques sin(arccos(x))? Ce que l'on sait cos(arccos(x)) = x et ... arcsin(sin(x)) = x Vx ? [-?.
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Trigonométrie hyperbolique
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1***ITDomaine de définition et calcul des fonctions suivantes :1.x7!sin(arcsinx),
2.x7!arcsin(sinx),
3.x7!cos(arccosx),
4.x7!arccos(cosx),
5.x7!tan(arctanx),
6.x7!arctan(tanx).
2.Calculer arctan x+arctan1x
pourxréel non nul. 3. Calculer cos (arctana)et sin(arctana)pouraréel donné. 4. Calculer ,pour aetbréels tels queab6=1, arctana+arctanben fonction de arctana+b1ab(on étudiera d"abord cos(arctana+arctanb)et on distinguera les casab<1,ab>1 eta>0,ab>1 eta<0).Rsin2x
0arcsinpt dt+Rcos2x
0arccospt dt.
1.f1(x) =arcsinxp1+x2
2.f2(x) =arccos1x21+x2
13.f3(x) =arcsinp1x2arctan
q1x1+x4.f4(x) =arctan12x2arctanxx+1+arctanx1x
12 +arctan15 +arctan182+arctan22
2+:::+arctan2n
(Utiliser l"exercice 2 4)) f(x) = (x21)arctan12x1; et on appelle(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.Quel est l"ensemble de définition Ddef?
2. Exprimer ,sur Dnf0g, la dérivée defsous la forme :f0(x) =2xg(x). 3. Montrer que : 8x2R;2x44x3+9x24x+1>0 et en déduire le tableau de variation deg. 4.Dresser le tableau de v ariationde f.
2. En déduire la v aleurde un=20th(20x)+21th(21x)++2nth(2nx)pournentier naturel non nul etx réel non nul donnés puis calculer la limite de(un). 1. sin (2arcsinx), 22.cos (2arccosx),
3. sin2arccosx2
4. ln (px2+1+x)+ln(px
2+1x),
5. ar gsh x212x 6. ar gch(2x21), 7. ar gth qchx1chx+1 8. ch(lnx)+sh(lnx)x 1. ch x=2, 2. arcsin (2x) =arcsinx+arcsin(xp2), 3.2 arcsinx=arcsin(2xp1x2).
Correction del"exer cice1 Narcsinxexiste si et seulement sixest dans[1;1]. Donc, sin(arcsinx)existe si et seulement sixest dans[1;1]
et pourxdans[1;1], sin(arcsinx) =x. arcsin(sinx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dansp2 ;p2 . • S"il existe un entier relatifktel quep2 +2kp6xDe plus, on ak6x2p+14
Pour tout réelx, tan(arctanx) =x. arctan(tanx)existe si et seulement sixn"est pas dansp2 +pZet pour cesx, il existe un entier relatifktel que p2 +kp
0(x) =1p1x21p1x2=0:
Doncfest constante sur[1;1]et pourxdans[1;1],f(x) =f(0) =p28x2[1;1];arccosx+arcsinx=p2
:2ème solution. Il existe un unique réelqdans[0;p]tel quex=cosq, à savoirq=arccosx. Mais alors,
arccosx+arcsinx=q+arcsin sin(p2 q) =q+p2 q=p2 (car p2 qest dans[p2 ;p22.1ère solution. Pourxréel non nul, posonsf(x) =arctanx+arctan1x
.fest impaire.fest dérivable surRet pour tout réelxnon nul,f0(x) =11+x21x211+1x
2=0.fest donc constante sur]¥;0[et sur
]0;+¥[(mais pas nécessairement surR). Donc, pourx>0,f(x) =f(1) =2arctan1=p2 , et puisquef est impaire, pourx<0,f(x) =f(x) =p2 . Donc,8x2R;arctanx+arctan1x
p2 six>0 p2 six<0=p2 sgn(x):42èmesolutionPourxréelstrictementpositifdonné, ilexisteununiqueréelqdans0;p2
telquex=tanqà savoirq=arctanx. Mais alors,
arctanx+arctan1x =q+arctan1tanq =q+arctan tan(p2 q) =q+p2 q=p2 (carqetp2 qsont éléments de0;p2 3. cos2(arctana) =11+tan2(arctana)=11+a2. De plus , arctanaest dans]p2
;p2 [et donc cos(arctana)>0. On en déduit que pour tout réela, cos(arctana) =1p1+a2puis sin(arctana) =cos(arctana)tan(arctana) =ap1+a2:8a2R;cos(arctana) =11+a2et sin(arctana) =ap1+a2:4.D"après 3),
cos(arctana+arctanb) =cos(arctana)cos(arctanb)sin(arctana)sin(arctanb) =1abp1+a2p1+b2;ce qui montre déjà , puisqueab6=1, que cos(arctana+arctanb)6=0 et donc que tan(arctana+arctanb)
existe. On a immédiatement, tan(arctana+arctanb) =a+b1ab:Maintenant, arctana+arctanbest dansp;p2
[p2 ;p2 [p2 ;p.1er cas.Siab<1 alors cos(arctana+arctanb)>0 et donc arctana+arctanbest dansp2
;p2 . Dans ce cas, arctana+arctanb=arctana+b1ab.2ème cas.Siab>1 alors cos(arctana+arctanb)<0 et donc arctana+arctanbest dansp;p2
[p2 ;p.Si de plusa>0, arctana+arctanb>p2
et donc arctana+arctanbest dansp2 ;p. Dans ce cas, arctana+arctanbpest dansp2 ;p2 et a même tangente que arctana+b1ab. Donc, arctana+ arctanb=arctana+b1ab+p. Sia<0, on trouve de même arctana+arctanb=arctana+b1abp.En résumé,
arctana+arctanb=8 >:arctan a+b1absiab<1 arctan a+b1ab+psiab>1 eta>0 arctan a+b1abpsiab>1 eta<0:Correction del"exer cice3 Nch(a+b) =chachb+shashbet ch(ab) =chachbshashb; sh(a+b) =shachb+chashbet sh(ab) =shachbshbcha th(a+b) =tha+thb1+thathbet th(ab) =thathb1thathb:5Deux démonstrations :
chachb+shashb=14 ((ea+ea)(eb+eb)+(eaea)(ebeb)) =12 (ea+b+eab) =ch(a+b): th(a+b) =sh(a+b)ch(a+b)=shachb+shbchachachb+shashb=tha+thb1+thathbaprès division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul chachb. En appliquant àa=b=x,
on obtient :8x2R;ch(2x) =ch2x+sh2x=2ch2x1=2sh2x+1;sh(2x) =2shxchxet th(2x) =2thx1+th2x:En additionnant entre elles les formules d"addition, on obtient les formules de linéarisation :
chachb=12 (ch(a+b)+ch(ab));shashb=12 (ch(a+b)ch(ab))et shachb=12 (sh(a+b)+sh(ab)); et en particulier ch2x=ch(2x)+12
et sh2x=ch(2x)12 :Correction del"exer cice4 NPourxréel, on posef(x) =Rsin2x0arcsinpt dt+Rcos2x
0arccospt dt.
La fonctiont7!arcsinptest continue sur[0;1]. Donc, la fonctiony7!Ry0arcsinpt dtest définie et dérivable
sur[0;1]. De plus,x7!sin2xest définie et dérivable surRà valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonction
x7!Rsin2x0arcsinpt dtest définie et dérivable surR. De même, la fonctiont7!arccosptest continue sur[0;1].
Donc, la fonctiony7!Ry
0arccospt dtest définie et dérivable sur[0;1]. De plus, la fonctionx7!cos2xest
définie et dérivable surR, à valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonctionx7!Rcos2x0arccospt dtest définie et
dérivable surR. Donc,fest définie et dérivable surRet, pour tout réelx, f0(x) =2sinxcosxarcsin(psin
2x)2sinxcosxarccos(pcos
2x) On note alors quefestp-pérodique et paire. Pourxélément de[0;p2 ],f0(x) =2sinxcosx(xx) =0.fest donc constante sur[0;p2 ]et pourxélément de[0;p2 ],f(x) =fp4 =R1=20arcsinpt dt+R1=2
0arccosptdt=R1=2
0p2 dt=p4 . Mais alors, par parité etp-périodicité,8x2R;Rsin2x
0arcsinpt dt+Rcos2x
0arccospt dt=p4
:Correction del"exer cice5 N1.1ère solution.Pour tout réelx,px2+1>px
2=jxjet donc1 2+1<1. Ainsif1est définie et
dérivable surR, impaire, et pour tout réelx, f 01(x) =1px
2+112 x2x(x2+1)px 2+1 1q 1x21+x2=11+x2=arctan0(x):
Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réelx,f1(x) =arctanx+C.x=0 fournitC=0 et donc, 6 8x2R;arcsinxpx
2+1 =arctanx:2ème solution.Pourxréel donné, posonsq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq. xpxquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13
2+1<1. Ainsif1est définie et
dérivable surR, impaire, et pour tout réelx, f01(x) =1px
2+112 x2x(x2+1)px 2+1 1q1x21+x2=11+x2=arctan0(x):
Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réelx,f1(x) =arctanx+C.x=0 fournitC=0 et donc, 68x2R;arcsinxpx
2+1 =arctanx:2ème solution.Pourxréel donné, posonsq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq. xpxquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13[PDF] appréciation 3eme trimestre primaire
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