I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien PDF

Fonctions réciproques

Dèfinition 2 (Fonction Bijective) une fonction f est bijective sur un domaine (intervalle) si chaque fois que f (x1) = f (x2) alors x1 = x2. Remarque 1

Université de Nice Année 2007-2008 Département de

La réciproque (ou l'inverse) d'une fonction x ?? f(x) est une fonction x ?? g(x) telle Mais d'apr`es la définition le point (f(x)x) n'est autre que.

2.2 Graphe dune fonction numérique – définition 2.3 Réciproque

Tracé du graphe de la fonction inverse f : x ?. 1 x définie sur Df = R?. 2.3 Réciproque composition des fonctions. Définition 16 (Réciproque).

Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions sinus cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition

Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque

12 oct. 2017 3 Dérivée de la fonction réciproque ... Définition 1 : Fonction composée de f par g. Soit les fonctions f et g définies respectivement sur ...

II. Fonctions cyclométriques. 1. Introduction 2. La fonction réciproque

2. . 2. (pour que cette restriction soit injective). 5.1 Définition : arcsin : [-1

Analyse 2 FONCTIONS ELEMENTAIRES 1. Dérivée dune fonction

La fonction logarithme. Définition. La fonction logarithme naturel ln :]0?[? R est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. On a donc.

1 Fonction réciproque

Définition 3 (Fonction injective surjective et bijective). Soit f une fonction bijective de D dans E. On appelle fonction réciproque de f

Chapitre 7 Fonctions réciproques et nouvelles fonctions usuelles

q. 7.3 Fonctions hyperboliques. 7.3.1 Fonction sinus cosinus et tangente hyperboliques. Définition 7.18 On définit les

I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien

D'après le paragraphe précédent elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0; +?[. 1. Définition. La fonction logarithme népérien est la bijection

[PDF] Fonctions réciproques

11 1 1 Fonction réciproque – Définition Il arrive souvent que pour une fonction donnée f on a besoin (si c'est possible) d'une autre fonction g telle

[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque

f C I ? L'application qui a tout ( ) y f I ? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f On la note 1

[PDF] Fonctions réciproques

BTS MAI 2 Chap 8 : Fonctions réciproques I Définition Théor`eme 1 : Toute fonction f définie sur un intervalle I continue et strictement monotone sur

[PDF] Fonctions usuelles et réciproques Fiche de cours

L'application réciproque de ln est la fonction exponentielle c'est-à-dire ?x ? R ?y ?]0 +?[ exp(x) = y ?? x = ln y Définition 5 Fonction logarithme

[PDF] La notion de fonction réciproque et son enseignement

Les mathématiciens de la fin du XXè siècle proposent des définitions de la notion de fonction réciproque en liaison avec la notion de bijection

[PDF] Bijection Définition : Fonction réciproque Résumé

Bac Sc expérimentales – Résumé : Fonctions réciproques Définition : "Bijection" Théorème : Définition : "Fonction réciproque" Conséquence :

Fonction réciproque - Vikidia lencyclopédie des 8-13 ans

En analyse la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui à partir du résultat obtenu en

[PDF] Fonction réciproque dune fonction strictement monotone sur un

Soit f : I ?? R une fonction continue et strictement monotone définie sur un intervalle I ? R 63 1 Fonctions réciproques Définition 1 : Soient E

[PDF] 1 Fonctions réciproques

Définition 2 Si f est bijective alors on note f?1 la fonction dite ”réciproque de f” allant de J vers I et définie pour tout y ? J par f?1(y)

La réciproque (ou l'inverse) d'une fonction x ?? f(x) est une fonction x ?? g(x) telle que g(f(x)) = x pour tout x du domaine o`u la fonction f est définie.

Quelle est la fonction réciproque ?
En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f^-¹ qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.
Quelle est la formule de la réciproque ?
La relation réciproque d'une fonction f de X dans Y est la relation notée f^-¹, de Y dans X, telle que, pour tous les éléments du domaine de f, si y = f(x), alors x = f ^-¹(y).
Comment déterminer l'expression de la fonction réciproque ?
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f ? 1 f^{-1} f?1f, start superscript, minus, 1, end superscript.
La propriété réciproque est l'énoncé obtenue en inversant les propositions 1 et 2 d'une propriété directe. Elle doit être vraie et démontrée. de la propriété réciproque. si la proposition 2 de la propriété n'est pas vérifiée alors la proposition 1 n'est pas vérifiée.

TSChapitre 9 : La fonction logarithme népérien2012-2013

I Fonction réciproque d"une fonction

1. Définition

IetJsont des intervalles deR.fest une bijection deIsurJsignifie que : "Pour toutydeJ, il existe un uniquex?Itel quey=f(x)." →exemples f:x?-→x2définie sur [0;3] est une bijection de [0;3] sur [0;9].

f:x?-→x2définie sur [-3;3] n"est pas une bijection. (en effet, par exemple-3 et 3 ont la même image.

xyf x?Iy?JSifest une bijection deIsurJ, il existe une fonction définie sur J, notéef-1, appelée fonction réciproque def: ?y=f(x) x?I??······

2. Représentation graphique d"une fonction réciproque

Résultat : Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives defet def-1sont symétriques par rapport à la droite Δ d"équationy=x. O?i ?j y=x Cf

II Logarithme népérien

Au chapitre 6, nous avons vu que la fonction exponentielle (exp:x?-→ex) est continue, strictement croissante

surR. Ainsi grâce au théorème vu au chapitre 3,expréalise une bijection deRsur ]0;+∞[. D"après le paragraphe

précédent, elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0;+∞[.

1. Définition

La fonctionlogarithme népérienest la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Elle est notéeln. Elle

est définie sur ]0;+∞[.?y= lnx x?]0;+∞[??x= ey y r´eel →Conséquences :

1.ln1 = 0car e0= 1 ;lne = 1care1= e ;ln1e=-1care-1=1e

2. Pour toutx?R,

lnex=xet pour toutx?]0;+∞[,elnx=x

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TSChapitre 9 : La fonction logarithme népérien2012-2013

2. Représentation graphique et limites

Les courbes représentatives de ln et de exp sont symétriquespar rapport à la droite d"équationy=x, ce qui

donne : O?? 1e 1 e ?i ?j y=x ClnC expLes limites à retenir et déduites de celles de la fonctionexponentielle par symétrie : limx→0lnx=-∞ limx→+∞lnx= +∞ limx→+∞lnxx= 0

3. Propriétés

Pour tous réelsaetbstrictement positifs et pour tout entier relatifn, on a : lnab= lna+ lnb;ln1b=-lnb;lnab= lna-lnb;lnan=nlna;lnn⎷a=1nlna(n?1) →Exemple : Exprimer en fonction de ln2 et de ln3 les nombresA= ln36 etB= ln2.25

4. Sens de variation et signe

On admet que la fonctionlnest dérivable sur ]0;+∞[ (et donc continue sur cet intervalle! chapitre 3)

Pourx?]0;+∞[, on considère la fonctionu:x?-→exp(lnx). uest-elle dérivable sur ]0;+∞[? En remarquant queu(x) =x, en déduire la dérivée de la fonctionlnpourx >0. →Théorème : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[ et, pour toutx >0,ln?(x) =1x →Conséquences immédiates : La fonctionln est strictement croissante sur]0;+∞[ car pour toutx >0 ln?(x) =1x>0.

lnx= lny?x=y;

lnx
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TSChapitre 9 : La fonction logarithme népérien2012-2013 →Signe delnx:
lnx= 0?x= 1;

lnx <0?0< x <1;

lnx >0?x >1 .

→Utilisation des propriétés précédentes pour la résolutiond"équations et d"inéquations comporatnt des "ln" :
On considère l"équation(E) : ln(x2+ 4x+ 3) = ln(x+ 7) . ?Quel est l"ensemble de définition de cette équation? (E) a d"éventuelles solutions??······
On considère l"inéquation
(I) : ln(3x-1)?2
5. Dérivée de lnuoùu >0 sur un intervalleI.
→Théorème :Soituune fonction dérivable surIet pour toutxdeI,u(x)>0. La fonctionln uest dérivable surIet, pour toutx?I, (lnu)?(x) =u?(x)u(x)
→Exemple :Soith:x?-→ln(4-x2). Sur quel intervalleI,hest-elle dérivable? Calculerh?(x) pourx?I.

6. Croissance comparée

n?1. Comparaison dexnet de lnxen +∞:limx→+∞lnxxn= 0 . A comparer à :limx→+∞e
xxn= +∞(ch.3) n?1. Comparaison dexnet de lnxen 0 : limx→0xnlnx= 0 . A comparer à :limx→-∞xnex= 0 (ch.3) →calculs de limite : Calculer limx→+∞(x3-lnx) et limx→1lnxx-1
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TSChapitre 9 : La fonction logarithme népérien2012-2013 III Puissance réelle d"un nombre strictement positif
1. La notationab(a >0,br´eel)
Définition :Pour touta >0, et pour tout réelb, on pose :ab= eblna (a >0s"impose par le fait que figurelnadans l"expression)
Remarque :

A partir de maintenant, les expressions 2,71,83, 40-23,⎷2π, ... prennent un sens. On calcule leurs valeurs
approchées à la machine.
Règles de calcul :
Pour tous réelsa >0,b >0 et quels que soient les réelsrets: ar×as=ar+s;a-r=1ar;(ab)c=abc;ar×br= (ab)r;ln(as) =slna
2. Fonctionx?-→xα(α r´eel fix´e) définie sur ]0;+∞[
?αquelconque
Théorème :

La fonctionf:x?-→xα(αréel fixé) est dérivable sur ]0;+∞[ et pour toutx >0,f?(x) =αxα-1

Démonstration :
Exemple :Déterminer la dérivée deh:x?-→x2⎷xpourx >0. ?α=1 navecn >0: Fonction racine n-ième
Pour toutx >0, la fonctionf:x?-→xnréalise une bijection de ]0;+∞[ sur ]0;+∞[. D"après le paragraphe 1,fadmet

donc une fonction réciproquef-1définie sur ]0;+∞[. Cette fonction est la fonction racine n-ième :x?-→n⎷
x
Autre notation de la fonction racine n-ième :
x >0et n?1,n⎷x=x1n. En effet, ces deux expressions ont le même logarithme donc elles sont égales.
Tracés dex?-→x3et dex?-→3⎷
xsur ]0;+∞[ O?i ?j y=x
C3⎷xC
x3
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quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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[PDF] I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien

Quelle est la fonction réciproque ?

Quelle est la formule de la réciproque ?

Comment déterminer l'expression de la fonction réciproque ?

I Fonction réciproque d"une fonction

1. Définition

2. Représentation graphique d"une fonction réciproque

II Logarithme népérien

1. Définition

1.ln1 = 0car e0= 1 ;lne = 1care1= e ;ln1e=-1care-1=1e

2. Pour toutx?R,

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2. Représentation graphique et limites

3. Propriétés

4. Sens de variation et signe

lnx= lny?x=y;

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lnx= 0?x= 1;

lnx <0?0< x <1;

lnx >0?x >1 .

On considère l"inéquation

5. Dérivée de lnuoùu >0 sur un intervalleI.

6. Croissance comparée

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1. La notationab(a >0,br´eel)

Remarque :

Règles de calcul :

2. Fonctionx?-→xα(α r´eel fix´e) définie sur ]0;+∞[

Théorème :

Démonstration :

Autre notation de la fonction racine n-ième :

Tracés dex?-→x3et dex?-→3⎷

C3⎷xC

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lnx= lny?x=y;

lnx= 0?x= 1;

lnx <0?0< x <1;

lnx >0?x >1 .