Fonctions réciproques
Dèfinition 2 (Fonction Bijective) une fonction f est bijective sur un domaine (intervalle) si chaque fois que f (x1) = f (x2) alors x1 = x2. Remarque 1
Université de Nice Année 2007-2008 Département de
La réciproque (ou l'inverse) d'une fonction x ?? f(x) est une fonction x ?? g(x) telle Mais d'apr`es la définition le point (f(x)x) n'est autre que.
2.2 Graphe dune fonction numérique – définition 2.3 Réciproque
Tracé du graphe de la fonction inverse f : x ?. 1 x définie sur Df = R?. 2.3 Réciproque composition des fonctions. Définition 16 (Réciproque).
Fonctions trigonométriques réciproques
Les fonctions sinus cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition
Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque
12 oct. 2017 3 Dérivée de la fonction réciproque ... Définition 1 : Fonction composée de f par g. Soit les fonctions f et g définies respectivement sur ...
II. Fonctions cyclométriques. 1. Introduction 2. La fonction réciproque
2. . 2. (pour que cette restriction soit injective). 5.1 Définition : arcsin : [-1
Analyse 2 FONCTIONS ELEMENTAIRES 1. Dérivée dune fonction
La fonction logarithme. Définition. La fonction logarithme naturel ln :]0?[? R est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. On a donc.
1 Fonction réciproque
Définition 3 (Fonction injective surjective et bijective). Soit f une fonction bijective de D dans E. On appelle fonction réciproque de f
Chapitre 7 Fonctions réciproques et nouvelles fonctions usuelles
q. 7.3 Fonctions hyperboliques. 7.3.1 Fonction sinus cosinus et tangente hyperboliques. Définition 7.18 On définit les
I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien
D'après le paragraphe précédent elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0; +?[. 1. Définition. La fonction logarithme népérien est la bijection
[PDF] Fonctions réciproques
11 1 1 Fonction réciproque – Définition Il arrive souvent que pour une fonction donnée f on a besoin (si c'est possible) d'une autre fonction g telle
[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque
f C I ? L'application qui a tout ( ) y f I ? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f On la note 1
[PDF] Fonctions réciproques
BTS MAI 2 Chap 8 : Fonctions réciproques I Définition Théor`eme 1 : Toute fonction f définie sur un intervalle I continue et strictement monotone sur
[PDF] Fonctions usuelles et réciproques Fiche de cours
L'application réciproque de ln est la fonction exponentielle c'est-à-dire ?x ? R ?y ?]0 +?[ exp(x) = y ?? x = ln y Définition 5 Fonction logarithme
[PDF] La notion de fonction réciproque et son enseignement
Les mathématiciens de la fin du XXè siècle proposent des définitions de la notion de fonction réciproque en liaison avec la notion de bijection
[PDF] Bijection Définition : Fonction réciproque Résumé
Bac Sc expérimentales – Résumé : Fonctions réciproques Définition : "Bijection" Théorème : Définition : "Fonction réciproque" Conséquence :
Fonction réciproque - Vikidia lencyclopédie des 8-13 ans
En analyse la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui à partir du résultat obtenu en
[PDF] Fonction réciproque dune fonction strictement monotone sur un
Soit f : I ?? R une fonction continue et strictement monotone définie sur un intervalle I ? R 63 1 Fonctions réciproques Définition 1 : Soient E
[PDF] 1 Fonctions réciproques
Définition 2 Si f est bijective alors on note f?1 la fonction dite ”réciproque de f” allant de J vers I et définie pour tout y ? J par f?1(y)
Quelle est la fonction réciproque ?
En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.Quelle est la formule de la réciproque ?
La relation réciproque d'une fonction f de X dans Y est la relation notée f-1, de Y dans X, telle que, pour tous les éléments du domaine de f, si y = f(x), alors x = f -1(y).Comment déterminer l'expression de la fonction réciproque ?
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f ? 1 f^{-1} f?1f, start superscript, minus, 1, end superscript.- La propriété réciproque est l'énoncé obtenue en inversant les propositions 1 et 2 d'une propriété directe. Elle doit être vraie et démontrée. de la propriété réciproque. si la proposition 2 de la propriété n'est pas vérifiée alors la proposition 1 n'est pas vérifiée.
Fonctions réciproquesy=f(x)
XY x = g(y)=f (y) -1 x=messagey=message codécodage décodagex=messageB. Aoubiza
IUT Belfort-Montbéliard
Département GTR
6 janvier 2003
Table des matières
11.1Fonctionsréciproques .......................................... 3
11.1.1 Fonction réciproque - Définition................................ 3
11.1.2Fonctionréciproque-Domaineetdomaineimage...................... 4
11.1.3Fonctionréciproque-Déterminationdelafonctionréciproque............... 4
11.1.4Fonctionréciproque-Propriétédecontinuité ........................ 5
11.1.5Fonctionréciproque-Graphe................................. 5
11.1.6Fonctionréciproque-Dérivée................................. 6
11.1.7Fonctionréciproque-unthéorèmed'existence........................ 7
11.2Fonctionstrigonométriquesréciproques................................. 7
11.2.1 Fonction réciproque desin - Définition............................. 7
11.2.2 Fonction réciproque desin - Propriétés ............................ 8
11.2.3 Fonction réciproque desin - Graphe.............................. 8
11.2.4 Fonction réciproque desin - Dérivée.............................. 9
11.2.5 Fonction réciproque decos - Définition ............................ 9
11.2.6 Fonction réciproque decos - Propriétés ............................ 9
11.2.7 Fonction réciproque decos - Graphe.............................. 10
11.2.8 Fonction réciproque decos - Dérivée.............................. 10
11.2.9Relationfondamentale...................................... 11
11.2.10Fonction réciproque detan - Définition ............................ 11
11.2.11Fonction réciproque detan - Propriétés ............................ 11
11.2.12Fonction réciproque detan - Graphe.............................. 12
11.2.13Fonction réciproque detan - Dérivée.............................. 12
11.2.14Fonction réciproque decot - Définition ............................ 13
11.2.15Fonction réciproque decot - Propriétés ............................ 13
11.2.16Fonction réciproque decot - Graphe.............................. 14
11.2.17Fonction réciproque decot - Dérivée.............................. 14
11.2.18Fonctionstrigonométriquesréciproques - Résumé....................... 14
11.3 Fonctions exponentielles de base................................... 15
11.3.1 Fonctions exponentielles de base - Propréités........................ 15
11.3.2 Fonctions exponentielles de base - Graphe.......................... 15
11.4 Fonction exponentielle de base.................................... 16
11.4.1 Fonction exponentielle - Définition............................... 16
11.4.2Fonctionexponentielle - Propriétésetlimitesusuelles .................... 17
11.4.3Fonctionexponentielle - Graphe ................................ 17
11.4.4Fonctionexponentielle - Dérivée ................................ 18
11.4.5Fonctionexponentielle - Dérivéedelacomposée ....................... 18
11.5Fonctionshyperboliques......................................... 19
11.5.1 Fonctions hyperboliques - Définitions ............................. 19
11.5.2 Fonctions hyperboliques - Fonctioncosh............................ 19
11.5.3 Fonctions hyperboliques - Fonctionsinh............................ 20
11.5.4Fonctionshyperboliques - Relationfondamentale....................... 20
11.6Fonctionshyperboliquesréciproques .................................. 20
11.6.1 Fonction réciproque decosh - Définition............................ 20
11.6.2 Fonction réciproque decosh - Propriétés............................ 21
11.6.3 Fonction réciproque decosh - Graphe ............................. 21
111.6.4 Fonction réciproque decosh - Dérivée............................. 21
11.6.5 Fonction réciproque desinh - Définition............................ 21
11.6.6 Fonction réciproque desinh - Propriétés............................ 22
11.6.7 Fonction réciproque desinh - Graphe ............................. 22
11.6.8 Fonction réciproque desinh - Dérivée ............................. 22
11.7 Fonction logarithme........................................... 23
11.7.1 Fonction logarithme - Définition ................................ 23
11.7.2 Fonction logarithme - Graphe.................................. 23
11.7.3 Fonction logarithme - Propriétés . ............................... 23
11.7.4 Fonction logarithme - Dérivée . . ............................... 25
11.7.5 Fonction logarithme - Dérivéeln(())............................ 25
11.8 Fonctions logarithme de base(0)................................. 27
11.8.1 Fonctions logarithme de base - Définition.......................... 27
11.8.2 Fonctions logarithme de base - Propriétés.......................... 27
11.8.3 Fonctions logarithme de base - Changementdebase.................... 27
11.8.4 Fonctions logarithme de base - Dérivation.......................... 28
11.9 Fonctions exponentielles de base................................... 28
11.9.1 Fonctions exponentielles de base - Nouvelleformulation.................. 28
11.9.2 Fonctions exponentielles de base - Dérivation........................ 28
11.10Fonctionspuissances........................................... 28
11.10.1Fonctions puissances - Définition................................ 28
11.10.2Fonctionspuissances - Dérivée ................................. 29
11.10.3Fonctionspuissances - Graphes................................. 29
11.11Comparaisondescroissances....................................... 29
211.1 Fonctions réciproques
11.1.1 Fonction réciproque - Définition
Il arrive souvent que, pour une fonction donnée, on a besoin (si c'est possible) d'une autre fonctiontelle
que : yfgxx Dèfinition 1(Fonctions réciproque)Siest une application dedansetest une application de danstelles que - (()) =pour tout - (()) =pour tout on dit queest la fonctionréciproquede,etqueest la fonctionréciproquede.Notation 1La fonction réciproque dese note
1 y=f x()XYx = g yf y() = ()
-1 xy Exemple 1Soientetles deux fonctions définies par :[0+[[0+[ 7 2 et:[0+[[0+[ 7 Ces deux fonctions vérifient les relations suivantes : 2 =pour tout[0+[ 2 2 =pour tout[0+[ Doncest la fonctionréciproquede,etest la fonctionréciproquede.Dèfinition 2(Fonction Bijective)une fonctionestbijectivesur un domaine (intervalle) si chaque fois
que( 1 2 ),alors 1 2 Remarque 1Rappelons que toute fonction bijective admet une fonction réciproque.Exemple 2Montrer que la fonction()=
3 est bijective.Solution :Montrons que si(
1 2 )alors 1 2Soient
1 et 2 deux réels quelconques tels que( 1 2 ).Ona 3132
et donc 31
32
=0 or 31
32
1 2 21
1 2 22
)=0 Le produit est nul si l'un des facteurs est nul. On déduit donc que 1 2 car 21
1 2 22
ne peut pas être nul dansR. (dire pourquoi?)
Exemple 3La fonction()=
2 définie pour tout réel, n'est pas bijective car(1) =(1)mais16=1. 3Test de la droite horizontale
Une fonctionestbijectivesi et seulement si toute droite horizontale ne peut rencontrer qu'au plus en un point.Fonction bijective
Même image pour 2 valeurs
différentes x 2 x 11 f( )x 2 f( ) x 11Fonction non bijective
11.1.2 Fonction réciproque - Domaine et domaine image
On déduit facilement les relations suivantes entre ledomaine imageet ledomainede définition : domaine de 1 =domaine image de domaine image de 1 =domaine de11.1.3 Fonction réciproque - Détermination de la fonction réciproque
Pour déterminer la fonction réciproque de=():1. Résoudre l'équation=()où l'inconnue est, on obtient alors=().
2. Remplacerparetpardans l'expression=()pour obtenir
1Exemple 4Soit()=
2 pour0. Déterminer sa fonction réciproque.Solution: On résout l'équation
2 0 où l'inconnue est,onobtient 0Maintenant on remplaceparetparon obtient
0Ainsi, la fonction réciproque
1 ()de()= 2 ,pour0, est la fonction racine carrée : 1 Point de vue graphique. Si on regarde le graphe de= 2 ,pourtouton voit que cette fonction ne peut pas avoir de réciproque pour tout. 02468-4 -2 2 4 x 2 Noter que la droite horizontale=4coupe la courbe de= 2 en deux points. Ce qui signifiequelafonction n'est pas bijective et donc elle n'admet pas de fonction réciproque. 4
11.1.4 Fonction réciproque - Propriété de continuité
Théorème 1Siest une fonction bijective continue sur un intervalle, alors sa fonction réciproque
1 est aussi continue.11.1.5 Fonction réciproque - Graphe
Théorème 2Les courbes des fonctionset de sa réciproque 1 sont symétriques par rapport à la droite Preuve.Lapentededroitepassantparlespointes()et()est donnée par e=1 Ce qui signifie que cette droite est orthogonale à la droite=de pente1En utilisant des arguments géométriques :(\)=(\)est donc les trianglesetsont "semblables", on déduit que y=f x()() b,a x ()a,b y=fx -1 y y=x B O A C Ce qui signifiequeest le symétrique depar rapport à la première bissectrice=.Exemple 5Lesgraphesdesfonctions
2 ,,et. y=x y y=x 2 y=x xCourbes de
2 ,,et Exemple 6Déterminer la fonction réciproque de=4+1et tracer son graphe. Solution :Résolvons l'équation=4+1où l'inconnue est: =4+1 =(1)4=1 414Maintenant on remplaceparetparon obtient
=1 414Ainsi,
1 1 4 1 4 . Les courbes deet de 1 sont symétriques par rapport à= 5 xy= x+ 41y y=x y= x- 1414
Exemple 7Déterminer la fonction réciproque de()= 2 pour0et tracer sa courbe. Solution :Résolvons l'équation où l'inconnue est 2 0 on obtient 0
Maintenant on remplaceparetparon obtient
0Ainsi,
1 ()==pour0. Les courbes deet de 1 sont symétriques par rapport à= y=x x y=x 2 y=xyCourbes de
2 ,et11.1.6 Fonction réciproque - Dérivée
Notons que siest bijective, alors elle admet une fonction réciproque 1 . Ces deux fonctions vérifient la relation suivante : 1 ()) =et 1 Ainsi, en dérivant des deux côtés, on obtient 1 0 =1 et en utilisant la relation de la dérivation des fonctions composées : 0 0 0 on déduit que 1 0 0 1 1 0 ()=1 d'où 1 0 ()=1 0 1 6 Exemple 8Déterminer la dérivée de la fonction réciproque de()= 3 Solution :La fonction réciproque est donnée par 1 13Sachant que
0 ()=3 2 et que( 1 0 1 0 1 , on déduit que g{i 1 ()=1 0 1 ())=1 3( 1 2 =1 3( 13 2 =1 3 2311.1.7 Fonction réciproque - un théorème d'existence
Rappelons le théorème suivant qui est très utile pour établir l'existence de la réciproque de certaines fonctions.
Théorème 3Siest une fonction
-continuesur un intervalle; -strictement monotonesur un intervalle.Alorsadmet une fonction réciproque
1 continue.Remarque 2D'après le théorème ci-dessus,
1. si une fonctionest continue et strictement croissante sur, alors elle admet une fonction réciproque
12. si une fonctionest continue et strictement décroissante sur, alors elle admet une fonction réciproque
111.2 Fonctions trigonométriques réciproques
Notons tout de suite que les fonctions trigonométriques ne sont pas injectives surR.Afin de déterminer
leurs fonctions réciproques, on part d'intervalles, les plus grands possibles, sur les quels elles sont strictement
monotones.11.2.1 Fonction réciproque desin - Définition
Un examen rapide du graphe desinmontre que le plus grand intervalle sur lequel la fonction est bijective
est de longueuret l'un de ces intervalle est[ 22].-1 0 1 x y 2 2 =sin En eet,sinest bijective sur un nombre infini de tels intervalles :· 3
22¸
Pourquoisinest bijective sur£
2 2La restriction de la fonctionsinà£
2 2Par conséquent elle admet une fonction réciproque qu'on appellearcsinuset qu'on notearcsin,ainsi:
2 2 sin arcsin [11] =arcsin [11]½=sin 2 2 711.2.2 Fonction réciproque desin - Propriétés
On a donc les propriétés fondamentale de cette nouvelle fonction :1.Ledomainededéfinition dearcsinest[11];
2. Le domaine image dearcsinest£
2 23.sin(arcsin)=pour tout[11];
4.arcsin(sin)=pour toutR(pourquoi?).
Remarque 3Cette nouvelle fonction est une fonction comme d'autre. Rappelez-vous la fonction racine carrée
son domaine est[0+[son domaine image est[0+[.Exemple 9Calculerarcsinµ
sinµ3 Solution :On est tenté de dire que la réponse est34ce qui est faut car34[22]. Ainsi, on a besoin de
trouver un nombredans[22]tel quesin=sin(34). Comment trouver?(Méthode 1)Onnotequesinvérifielarelationdesymétriegraphique sin2+´
=sin³2´ par suite on asin(34) = sin³2+4´
=sin³24´ =sin³4´ et4est dans l'intervalle[22].D'où,
arcsinquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] pierre et le loup cm2
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