Fonctions réciproques
Dèfinition 2 (Fonction Bijective) une fonction f est bijective sur un domaine (intervalle) si chaque fois que f (x1) = f (x2) alors x1 = x2. Remarque 1
Université de Nice Année 2007-2008 Département de
La réciproque (ou l'inverse) d'une fonction x ?? f(x) est une fonction x ?? g(x) telle Mais d'apr`es la définition le point (f(x)x) n'est autre que.
2.2 Graphe dune fonction numérique – définition 2.3 Réciproque
Tracé du graphe de la fonction inverse f : x ?. 1 x définie sur Df = R?. 2.3 Réciproque composition des fonctions. Définition 16 (Réciproque).
Fonctions trigonométriques réciproques
Les fonctions sinus cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition
Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque
12 oct. 2017 3 Dérivée de la fonction réciproque ... Définition 1 : Fonction composée de f par g. Soit les fonctions f et g définies respectivement sur ...
II. Fonctions cyclométriques. 1. Introduction 2. La fonction réciproque
2. . 2. (pour que cette restriction soit injective). 5.1 Définition : arcsin : [-1
Analyse 2 FONCTIONS ELEMENTAIRES 1. Dérivée dune fonction
La fonction logarithme. Définition. La fonction logarithme naturel ln :]0?[? R est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. On a donc.
1 Fonction réciproque
Définition 3 (Fonction injective surjective et bijective). Soit f une fonction bijective de D dans E. On appelle fonction réciproque de f
Chapitre 7 Fonctions réciproques et nouvelles fonctions usuelles
q. 7.3 Fonctions hyperboliques. 7.3.1 Fonction sinus cosinus et tangente hyperboliques. Définition 7.18 On définit les
I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien
D'après le paragraphe précédent elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0; +?[. 1. Définition. La fonction logarithme népérien est la bijection
[PDF] Fonctions réciproques
11 1 1 Fonction réciproque – Définition Il arrive souvent que pour une fonction donnée f on a besoin (si c'est possible) d'une autre fonction g telle
[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque
f C I ? L'application qui a tout ( ) y f I ? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f On la note 1
[PDF] Fonctions réciproques
BTS MAI 2 Chap 8 : Fonctions réciproques I Définition Théor`eme 1 : Toute fonction f définie sur un intervalle I continue et strictement monotone sur
[PDF] Fonctions usuelles et réciproques Fiche de cours
L'application réciproque de ln est la fonction exponentielle c'est-à-dire ?x ? R ?y ?]0 +?[ exp(x) = y ?? x = ln y Définition 5 Fonction logarithme
[PDF] La notion de fonction réciproque et son enseignement
Les mathématiciens de la fin du XXè siècle proposent des définitions de la notion de fonction réciproque en liaison avec la notion de bijection
[PDF] Bijection Définition : Fonction réciproque Résumé
Bac Sc expérimentales – Résumé : Fonctions réciproques Définition : "Bijection" Théorème : Définition : "Fonction réciproque" Conséquence :
Fonction réciproque - Vikidia lencyclopédie des 8-13 ans
En analyse la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui à partir du résultat obtenu en
[PDF] Fonction réciproque dune fonction strictement monotone sur un
Soit f : I ?? R une fonction continue et strictement monotone définie sur un intervalle I ? R 63 1 Fonctions réciproques Définition 1 : Soient E
[PDF] 1 Fonctions réciproques
Définition 2 Si f est bijective alors on note f?1 la fonction dite ”réciproque de f” allant de J vers I et définie pour tout y ? J par f?1(y)
Quelle est la fonction réciproque ?
En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.Quelle est la formule de la réciproque ?
La relation réciproque d'une fonction f de X dans Y est la relation notée f-1, de Y dans X, telle que, pour tous les éléments du domaine de f, si y = f(x), alors x = f -1(y).Comment déterminer l'expression de la fonction réciproque ?
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f ? 1 f^{-1} f?1f, start superscript, minus, 1, end superscript.- La propriété réciproque est l'énoncé obtenue en inversant les propositions 1 et 2 d'une propriété directe. Elle doit être vraie et démontrée. de la propriété réciproque. si la proposition 2 de la propriété n'est pas vérifiée alors la proposition 1 n'est pas vérifiée.
![[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque](https://pdfprof.com/Listes/18/14984-18Expose-65.pdf.pdf.jpg "[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque")
Exposé 65 : Fonction reciproque d"une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de ?. Exemple. Pre requis :
- notion d"intervalle - bijection - continuité et derivabilité d"une fonction - theoreme des valeurs intermediaires dans tout l"exposé, I designe un intervalle non vide de ?. On note( )mC Il"ensemble des fonctions continues et strictement monotones sur I.1) Fonction reciproque
Theoreme : Si ( )mf C I? alors f realise une bijection sur ( )f IPreuve :
( )f I est un intervalle d"apres le theoreme des valeurs intermédiaires : ( )f I f I→ est surjective par construction Soit 21 2( , )x x I?, supposons fstrictement croissante (on change le sens des inegalité si elle
est strictement decroissante, ou on considere f-qui sera alors strictement croissante)1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ? Definition : Soit
( )mf C I?. L"application qui a tout ( )y f I? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f. On la note 1f- Remarque :
1( )( )
y f xx f y x Iy f I Si ( )mf C I? alors 1 If f Id-=? et1
( )f If f Id-=? Preuve (si le jury le demande)
, ( )x I y f I? ?tel que 1( ); ( )y f x x f y-= = 1 1 1( ) ( )If f x f y x f f Id- - -= = ? =? ?
2) Propriete de la fonction reciproque
a) Sens de variation Proposition : Si ( )mf C I? alors 1f- est strictement monotone sur ( )f I et a le même sens de variation que f. Preuve : cas où f est strictement croissante sur I Soient
2 1 2( , ) ( ( ))y y f I? tel que 1 2y y<. On pose 1 1 2 2( ), ( )x f y x f y= =
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )y y f x f x x x f y f y- -< ? < ? < ? <
L"implication du milieu vient du fait que
f est croissante donc 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ? < or si on prend la contraposé on a 2 1 2 1( ) ( )f x f x x x≤ ? ≤.
b) Continuité Lemme : Soit ( )mf C I?.( )f I est un intervalle si et seulement si f est continue sur I. Preuve : cela vient du fais que l"image d"un compact par une fonction continue est un compact. Propriété : Si
( )mf C I? alors 1f- est continue sur ( )f I. Preuve ( à faire) :
fest continue et strictement monotone sur I donc fest bijective de I sur ( )f I. fcontinue implique ( )J f I=est un intervalle, or 1f- existe et est strictment monotone d"où 1( )f J I-=, intervalle, ce qui entraine 1f-continue.
Exemple :
[ ], 1,1:2 2 sinf x x c) Dérivabilité Theoreme : Soit ( )mf C I? et ox I? tel que f soit derivable en ox et "( ) 0of x≠ Alors 1f- est dérivable en ( )o oy f x=et on a 1 11 1( )"( )
"( ) "( ( ))o o of yf x f f y Remarque : il se peut que
f ne soit pas derivable en un point et que 1f-le soit. Sur le graphe f aura une tangente verticale, et donc 1f-une tangente horizontale. Preuve (du theoreme) :
Montrons que
1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- - La fonction
f étant dérivable en ox, on a ( ) ( )"( ) lim o o ox xof x f xf xx x -=-, comme 1f- est continue en oy, le théoreme de compositions de limites donne : 1 1 1 1( ( )) ( )"( ) lim lim
( ) ( ) ( )oo o o ox x y y oo f f y f x y yf x f y x f y f y Cette limite etant supposée non nulle, d"apres le theoreme de l"inverse d"une limite,on a (en fait c"est le theoreme des compositions de fonction avec la fonction inverse, sur un point non nul donc ou la fonction onverse est definie) 1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- - Exemple :
2 21 1 1(arctan )"1 1 tan (tan )"
tan arctanx x y y y x y x= = = d) Graphe Soit ( )mf C I?
Graphe de
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4
Definition : Soit
( )mf C I?. L"application qui a tout ( )y f I? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f. On la note 1f-Remarque :
1( )( )
y f xx f y x Iy f I Si ( )mf C I? alors 1If f Id-=? et1
( )f If f Id-=?Preuve (si le jury le demande)
, ( )x I y f I? ?tel que 1( ); ( )y f x x f y-= =1 1 1( ) ( )If f x f y x f f Id- - -= = ? =? ?
2) Propriete de la fonction reciproque
a) Sens de variation Proposition : Si ( )mf C I? alors 1f- est strictement monotone sur ( )f I et a le même sens de variation que f. Preuve : cas où f est strictement croissante sur ISoient
21 2( , ) ( ( ))y y f I? tel que 1 2y y<. On pose 1 1 2 2( ), ( )x f y x f y= =
1 11 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )y y f x f x x x f y f y- -< ? < ? < ? <
L"implication du milieu vient du fait que
f est croissante donc 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ? < or si on prend la contraposé on a2 1 2 1( ) ( )f x f x x x≤ ? ≤.
b) Continuité Lemme : Soit ( )mf C I?.( )f I est un intervalle si et seulement si f est continue sur I. Preuve : cela vient du fais que l"image d"un compact par une fonction continue est un compact.Propriété : Si
( )mf C I? alors 1f- est continue sur ( )f I.Preuve ( à faire) :
fest continue et strictement monotone sur I donc fest bijective de I sur ( )f I. fcontinue implique ( )J f I=est un intervalle, or 1f- existe et est strictment monotone d"où1( )f J I-=, intervalle, ce qui entraine 1f-continue.
Exemple :
[ ], 1,1:2 2 sinf x x c) Dérivabilité Theoreme : Soit ( )mf C I? et ox I? tel que f soit derivable en ox et "( ) 0of x≠ Alors 1f- est dérivable en ( )o oy f x=et on a 111 1( )"( )
"( ) "( ( ))o o of yf x f f yRemarque : il se peut que
f ne soit pas derivable en un point et que 1f-le soit. Sur le graphe f aura une tangente verticale, et donc 1f-une tangente horizontale.Preuve (du theoreme) :
Montrons que
1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- -La fonction
f étant dérivable en ox, on a ( ) ( )"( ) lim o o ox xof x f xf xx x -=-, comme 1f- est continue en oy, le théoreme de compositions de limites donne : 11 1 1( ( )) ( )"( ) lim lim
( ) ( ) ( )oo o o ox x y y oo f f y f x y yf x f y x f y f y Cette limite etant supposée non nulle, d"apres le theoreme de l"inverse d"une limite,on a (en fait c"est le theoreme des compositions de fonction avec la fonction inverse, sur un point non nul donc ou la fonction onverse est definie)1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- -Exemple :
2 21 1 1(arctan )"1 1 tan (tan )"
tan arctanx x y y y x y x= = = d) GrapheSoit ( )mf C I?
Graphe de
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