[PDF] 1 Fonction réciproque Définition 3 (Fonction injective

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1 FONCTION RÉCIPROQUE

1 Fonction réciproque

1.1 Bijection

Définition 1(Ensemble image).

Soitfune fonction définie surDf. SoitI?Df. On notef(I)l"ensemble imagedeIparfdéfini par : f(I) ={y?R|?x?I,f(x) =y}

Exemple 2.

Si on considèref(x) =x2, alors :

? f(R) =R+ ? f(R-) =R+ ? f([1,4[) = [1,16[ ? f(]-2,3]) = [0,9] Définition 3(Fonction injective, surjective et bijective). Soitf:Df→Eune fonction définie surDfet à valeur dansE. On dit quefest : ?injectivedeDfdansEsi et seulement si pour toutydansEil existeau plus unantécédent de yparf. Ce qui s"écrit encore : ?(x1,x2)?D2f, f(x1) =f(x2)?x1=x2 ?surjectivedeDfdansEsi et seulement si pour toutydansEil existeau moins unantécédent deyparf. Ce qui s"écrit encore : ?y?E,?x?Dftel quef(x) =y ?bijectivedeDfdansEsi et seulement si elle est injectiveetsurjective deDfdansE. Dans ce cas, pour toutydansEil existeexactement unantécédent deyparf.

Exemples 1.

1. La fonctionf:?

R +→R x?→x2est injective. En effet, pour toutx1?R+etx2?R+, f(x1) =f(x2)?x21=x22?x1=x2oux1=-x2 or commex1etx2sont positifs, on a forcémentx1=x2.

2. La fonctionf:?

R→R+

x?→x2est surjective. En effet, pour touty?R+,f(⎷ y) = (⎷y)2=y, ce qui signifie que yest un antécédent deyparf.

3. La fonctionf:?

R +→R+ x?→x2est surjective. En reprenant les deux raisonnements précédents, on a bien quefest injective et surjective.

IUT de Cachan GEII21

1.1 Bijection1 FONCTION RÉCIPROQUE

Théorème 4(des valeurs intermédiaires (TVI)). SoitIun intervalle et soitfun fonction continue surI. Alorsf(I), l"ensemble image deIparf, est un intervalle. -11 2345

1 2 3 4 5 6-1

I f(I)

Corollaire 5.

Soitfune fonction définie et continue sur l"intervalle[a,b]telle que : f(a)×f(b)<0 L"équationf(x) = 0admet au moins une solution sur l"intervalle[a,b].

Remarques.

1. Il n"y a pas forcément unicité de la solution

2. La réciproque est fausse

Proposition 6.

Soitfune fonction définie et continue sur un intervalleI. Sifest strictement monotone surIalorsf est bijective deIdansf(I).

Exemple 7.

Soitf(x) =x-1

x-2.

La fonctionfest définie et dérivable sur]- ∞,2[?]2,+∞[. Pour toutx?]- ∞,2[?]2,+∞[,

f ?(x) =-1 (x-2)2<0

La fonctionfest donc strictement décroissante sur l"intervalle]- ∞,2[et sur l"intervalle]2,+∞[.

Commelimx→2f(x) = +∞etlimx→∞f(x) = 1, on af(]- ∞,2[) =f(]2,+∞[) =]1,+∞[, et on en déduit que

fest bijective de]- ∞,2[dans]1,+∞[et de]2,+∞[dans]1,+∞[.

IUT de Cachan GEII22

1.2 Fonction réciproque1 FONCTION RÉCIPROQUE

1.2 Fonction réciproque

Définition 8(Fonction réciproque).

Soitfune fonction bijective deDdansE. On appellefonction réciproquedef, la fonction, notéef-1, définie deEdansDpar : ?x?E, f-1(x) =b?f(b) =x

Ceci signifie quef-1est la fonction qui donne l"antécédent dexparf(cet antécédent est unique puisque

fest supposée bijective).

Exemples 2.

1.f(x) =exest définie et bijective deRdans]0,+∞[.

Pour toutx?R,ln(ex) =x, doncf-1(x) = ln(x)de]0,+∞[dansR.

2.g(x) =x2est définie et bijective deR+dansR+.

Pour toutx?R+,⎷

x2=|x|=x, doncg-1(x) =⎷xdeR+dansR+.

Remarque.

Attention a ne pas confondre la fonction réciproque def, notéef-1(x), et l"inverse def(x), noté

(f(x))-1=1 f(x).

Méthode

Pour déterminer l"expression de la fonction réciproquef-1, il faut trouverxtel quef(x) =y. L"expression

dexsera alors donnée en fonction dey.

Exemple 9.

Soitf(x) =x-1

x-2avecx?]2,+∞]. On a vu dans l"exemple 7 quefest bijective de]2,+∞[dans]1,+∞[. Soity?]1,+∞[tel que : f(x) =y?x-1 x-2=y ?x-1 =y(x-2) =xy-2y ?x-xy= 1-2y(on isole les termes avec desxà gauche et les termes sansxà droite) ?x(1-y) = 1-2y ?x=1-2y 1-y

Doncf-1(y) =1-2y

1-ysur]1,+∞[.

Proposition 10.

Soitfune fonction bijective deDdansE. Alors :

1.?x?D,f-1◦f(x) =x.

2.?x?E,f◦f-1(x) =x.

3.? ?D,(f-1)-1(x) =f(x).

IUT de Cachan GEII23

1.3 Arccos - Arcsin - Arctan1 FONCTION RÉCIPROQUE

4. Les courbes représentative des fonctionsfetf-1, notées respectivementCfetCf-1, sont la symétrie

l"une de l"autre par rapport à la droite d"équationx=y. -11 234

1 2 3 4-1

Cf Cf-1 y=x Si de plus la fonctionfest dérivable et quef?(x)?= 0pour toutx?D, alorsf-1est dérivable surEet pour toutx?E, (f-1)?(x) =1 f?◦f-1(x)

Remarque.

Les points 1. et 2. permettent de montrer qu"une fonctiongest la réciproque def.

Exemple 11.

Soientf(x) =x2+ 2x+ 2définie sur]-1,+∞[etg(x) =⎷ x-1-1définie sur]1,+∞[.

fest définie et dérivable sur l"intervalle]-1,+∞[. Pour toutx?]-1,+∞[,f?(x) = 2x+ 2>0, donc

fest strictement croissante, elle est donc bijective de]-1,+∞[dansf(]-1,+∞[) =]1,+∞[.

Pour toutx?]-1,+∞[,

g◦f=? f(x)-1-1 =⎷x2+ 2x+ 1-1 =?(x+ 1)2-1 =|x+ 1| -1 =x

Pour toutx?]1,+∞[,

f◦g=g(x)2+ 2g(x) + 2 = (⎷ x-1-1)2+ 2⎷x-1-2 + 2 =x-1-2⎷x-1 + 1 + 2⎷x-1 =x

Donc, pour toutx?]1,+∞[,g(x) =f-1(x).

1.3 Arccos - Arcsin - Arctan

Définition 12(Fonction Arccos).

Soitfla fonction définie par :

f: [0,π]-→[-1,1] x?-→cos(x)

On appelleArccosla fonction réciproque def.

IUT de Cachan GEII24

1.3 Arccos - Arcsin - Arctan1 FONCTION RÉCIPROQUE

Proposition 13(Propriétés de la fonction Arccos).

Soitfla fonction définie par :

f: [-1,1]-→[0,π] x?-→Arccos(x) ?La fonctionfest dérivable sur]-1,1[et pour toutx?]-1,1[, f ?(x) =-1 ⎷1-x2 ?La courbe représentative def, notéeCfest la suivante : 2π

0.5 1.0-0.5-1.0

Cf

Démonstration.

La fonctioncosest dérivable sur[0,π]et sa dérivée (-sin) ne s"annule pas sur]0,π[. La fonction Arccos

est donc dérivable surcos(]0,π[) =]-1,1[et sa dérivée est donnée par la formule : (f-1)?(x) =1 f?◦f-1(x)

On a alors :

Arccos

?(x) =1 -sin(Arccos(x))

Or grâce à la formule :

?x?R,cos2(x) + sin2(x) = 1 on a : cos

2(Arccos(x)) + sin2(Arccos(x)) = 1?x2+ sin2(Arccos(x)) = 1

?sin2(Arccos(x)) = 1-x2>0puiquex?]-1,1[ ?sin(Arccos(x)) =⎷ 1-x2

D"où :

Arccos

?(x) =-1 ⎷1-x2

IUT de Cachan GEII25

1.3 Arccos - Arcsin - Arctan1 FONCTION RÉCIPROQUE

La courbe représentative de Arccos est obtenue en faisant lasymétrie de la courbe représentative de

cospar rapport à la droitey=x. -11 23

1 2 3-1

Arccos

cos y=x

Méthode

Pour déterminer la valeur de Arccos(x), on se pose la question :Quel est l"angle de[0,π]dont le cosinus

vautx?

Exemple 14.

Arccos?1

2? = "Quel est l"angle de[0,π]dont le cosinus vaut12?" =π3

Définition 15(Fonction Arcsin).

Soitfla fonction définie par :

f:?

2,π2?

-→[-1,1] x?-→sin(x)

On appelleArcsinla fonction réciproque def.

Proposition 16(Propriétés de la fonction Arcsin).

Soitfla fonction définie par :

f: [-1,1]-→?

2,π2?

x?-→Arcsin(x) ?La fonctionfest dérivable sur]-1,1[et pour toutx?]-1,1[, f ?(x) =1 ⎷1-x2

IUT de Cachan GEII26

1.3 Arccos - Arcsin - Arctan1 FONCTION RÉCIPROQUE

?La courbe représentative def, notéeCfest la suivante : 2π 2

0.5 1.0-0.5-1.0Cf

Démonstration.

La fonctionsinest dérivable sur?

2,π2?

et sa dérivée (cos) ne s"annule pas sur? -π2,π2? . La fonction

Arcsin est donc dérivable sursin??

2,π2??

=]-1,1[et de la même manière que pour Arccos, on a :

Arcsin

?(x) =1 cos(Arcsin(x)) avec cos

2(Arcsin(x)) + sin2(Arcsin(x)) = 1?cos2(Arcsin(x)) +x2= 1

?cos2(Arcsin(x)) = 1-x2>0puiquex?]-1,1[ ?cos(Arcsin(x)) =⎷ 1-x2

D"où :

Arccos

?(x) =1 ⎷1-x2

La courbe représentative de Arcsin est obtenue en faisant lasymétrie de la courbe représentative de

sinpar rapport à la droitey=x. -1 -21 2

1 2-1-2

Arcsin

sin y=x

IUT de Cachan GEII27

1.3 Arccos - Arcsin - Arctan1 FONCTION RÉCIPROQUE

Méthode

Pour déterminer la valeur de Arcsin(x), on se pose la question :Quel est l"angle de?

2,π2?

dont le sinus vautx?

Exemple 17.

Arcsin?1

2? = "Quel est l"angle de? -π2,π2? dont le sinus vaut12?" =π6

Définition 18(Fonction Arctan).

Soitfla fonction définie par :

f:?

2,π2?

-→R x?-→tan(x)

On appelleArctanla fonction réciproque def.

Proposition 19(Propriétés de la fonction Arcsin).

Soitfla fonction définie par :

f:R-→?

2,π2?

x?-→Arctan(x) ?La fonctionfest dérivable surRet pour toutx?R, f ?(x) =1 1 +x2 ?La courbe représentative def, notéeCfest la suivante : 2π 2

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8Cf

Démonstration.

La fonctiontanest dérivable sur?

2,π2?

et sa dérivée (1 + tan2) ne s"annule pas sur? -π2,π2? . La fonction Arctan est donc dérivable surtan??

2,π2??

=Ret de la même manière que précédemment,

Arctan

?(x) =1

1 + tan2(Arctan(x))=11 +x2

IUT de Cachan GEII28

1.3 Arccos - Arcsin - Arctan1 FONCTION RÉCIPROQUE

La courbe représentative de Arctan est obtenue en faisant lasymétrie de la courbe représentative de

tanpar rapport à la droitey=x. -1 -2 -3 -4 -5 -61 23456

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

Arctan

tan y=x

Méthode

Pour déterminer la valeur de Arctan(x), on se pose la question :Quel est l"angle de?

2,π2?

dont la tangente vautx?

Exemple 20.

Arctan(1)= "Quel est l"angle de?

2,π2?

dont la tangente vaut1?" =π4

IUT de Cachan GEII29

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