Fonctions réciproques
Dèfinition 2 (Fonction Bijective) une fonction f est bijective sur un domaine (intervalle) si chaque fois que f (x1) = f (x2) alors x1 = x2. Remarque 1
Université de Nice Année 2007-2008 Département de
La réciproque (ou l'inverse) d'une fonction x ?? f(x) est une fonction x ?? g(x) telle Mais d'apr`es la définition le point (f(x)x) n'est autre que.
2.2 Graphe dune fonction numérique – définition 2.3 Réciproque
Tracé du graphe de la fonction inverse f : x ?. 1 x définie sur Df = R?. 2.3 Réciproque composition des fonctions. Définition 16 (Réciproque).
Fonctions trigonométriques réciproques
Les fonctions sinus cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition
Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque
12 oct. 2017 3 Dérivée de la fonction réciproque ... Définition 1 : Fonction composée de f par g. Soit les fonctions f et g définies respectivement sur ...
II. Fonctions cyclométriques. 1. Introduction 2. La fonction réciproque
2. . 2. (pour que cette restriction soit injective). 5.1 Définition : arcsin : [-1
Analyse 2 FONCTIONS ELEMENTAIRES 1. Dérivée dune fonction
La fonction logarithme. Définition. La fonction logarithme naturel ln :]0?[? R est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. On a donc.
1 Fonction réciproque
Définition 3 (Fonction injective surjective et bijective). Soit f une fonction bijective de D dans E. On appelle fonction réciproque de f
Chapitre 7 Fonctions réciproques et nouvelles fonctions usuelles
q. 7.3 Fonctions hyperboliques. 7.3.1 Fonction sinus cosinus et tangente hyperboliques. Définition 7.18 On définit les
I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien
D'après le paragraphe précédent elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0; +?[. 1. Définition. La fonction logarithme népérien est la bijection
[PDF] Fonctions réciproques
11 1 1 Fonction réciproque – Définition Il arrive souvent que pour une fonction donnée f on a besoin (si c'est possible) d'une autre fonction g telle
[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque
f C I ? L'application qui a tout ( ) y f I ? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f On la note 1
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BTS MAI 2 Chap 8 : Fonctions réciproques I Définition Théor`eme 1 : Toute fonction f définie sur un intervalle I continue et strictement monotone sur
[PDF] Fonctions usuelles et réciproques Fiche de cours
L'application réciproque de ln est la fonction exponentielle c'est-à-dire ?x ? R ?y ?]0 +?[ exp(x) = y ?? x = ln y Définition 5 Fonction logarithme
[PDF] La notion de fonction réciproque et son enseignement
Les mathématiciens de la fin du XXè siècle proposent des définitions de la notion de fonction réciproque en liaison avec la notion de bijection
[PDF] Bijection Définition : Fonction réciproque Résumé
Bac Sc expérimentales – Résumé : Fonctions réciproques Définition : "Bijection" Théorème : Définition : "Fonction réciproque" Conséquence :
Fonction réciproque - Vikidia lencyclopédie des 8-13 ans
En analyse la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui à partir du résultat obtenu en
[PDF] Fonction réciproque dune fonction strictement monotone sur un
Soit f : I ?? R une fonction continue et strictement monotone définie sur un intervalle I ? R 63 1 Fonctions réciproques Définition 1 : Soient E
[PDF] 1 Fonctions réciproques
Définition 2 Si f est bijective alors on note f?1 la fonction dite ”réciproque de f” allant de J vers I et définie pour tout y ? J par f?1(y)
Quelle est la fonction réciproque ?
En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.Quelle est la formule de la réciproque ?
La relation réciproque d'une fonction f de X dans Y est la relation notée f-1, de Y dans X, telle que, pour tous les éléments du domaine de f, si y = f(x), alors x = f -1(y).Comment déterminer l'expression de la fonction réciproque ?
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f ? 1 f^{-1} f?1f, start superscript, minus, 1, end superscript.- La propriété réciproque est l'énoncé obtenue en inversant les propositions 1 et 2 d'une propriété directe. Elle doit être vraie et démontrée. de la propriété réciproque. si la proposition 2 de la propriété n'est pas vérifiée alors la proposition 1 n'est pas vérifiée.
Composition de fonctions, dérivées
successives et fonction réciproqueTable des matières
1 Dérivée de la composée2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Variation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Le théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Dérivées successives5
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Relation de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Interprétation de la dérivée seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Dérivée de la fonction réciproque7
3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone. . . . . . . . . . . . 7
3.2 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
1 Dérivée de la composée
1.1 Définition
Définition 1 :Fonction composée defparg
On appelleg◦fdéfinie surDfpar :g◦f(x) =g[f(x)] Remarque :Celarevientàappliquersuccessivementlafonctionfetlafonctiong. x f----→y=f(x)g----→z=g(y) =g[f(x)]=g◦f(x) Cela nécessite la conditionf?Df??Dg, i.e. :?x?Df,f(x)?Dg. soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement parf(x) =x+3 etg(x) =lnx. La fonctiong◦fest telle queg◦f(x) =ln(x+3) La fonctionfest définie surR, mais comme on applique ensuite la fonction ln, il est nécessaire d"avoirf(x)>0, soitx+3>0?x>-3.On réduit doncDfà]-3 ;+∞[
?La composée de deux fonctions n"est pas une opération commutative. En effet dans la plupart des casg◦f?=f◦gcomme sur l"exemple suivant : Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =x-2 etg(x) =4x+3. Les deux fonctions étant définies surR, les fonctionsg◦fetf◦gsont donc aussi définies surR. On a alors : g◦f(x) =g(x-2)=4(x-2) +3=4x-5 f◦g(x) =f(4x+3)= (4x+3)-2=4x+1 Exemple :Décomposer les fonctionsf1,f2etf3suivantes en fonctions élémen- taires en précisant leur ensemble de définition : f1(x) =1
3x-1f2(x) =?4-x2f3(x) =ln(ex+2)
f1est définie surR-?13?
et l"on décomposef1=h◦gavec : g(x) =3x-1 eth(x) =1 x f2est définie sur[-2 ; 2]et l"on décomposef2=k◦h◦gavec : g(x) =x2h(x) =4-xetk(x) =⎷ x f3est définie surRet l"on décomposef3=k◦h◦gavec : g(x) =exh(x) =x+2 etk(x) =lnx Remarque :La composition de fonctions est une opération associative : h◦(g◦f) = (h◦g)◦f=h◦g◦fPAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
1.2 Variation d"une fonction composée
Théorème 1 :Soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement sur I etf(I). Sifetgontmême variationresp.t sur I etf(I)alors la fonctiong◦fest croissantesur I. Sifetgont desvariations opposésresp. sur I etf(I)alors la fonctiong◦f estdécroissantesur I. Démonstration :Nous ferons la démonstration pour une fonctionfcroissante sur I et une fonctiongdécroissante surf(I). fest croissante sur I :?x1,x2?I,x1La fonctiong◦fest décroissante sur I.
Exemple :Soit la fonctionhdéfinie sur]-∞;1]parh(x) =⎷ 1-x1) Décomposerhen deux fonctions élémentaires.
2) Déterminer les variations deh.
1) La fonctionhse décompose eng◦f, avec :f(x) =1-xetg(x) =⎷x
2) On sait que la fonction :
fest décroissante sur]-∞; 1]etf(]-∞; 1]) = [0 ;+∞[gest croissante sur[0 ;+∞[
d"après le théorème des fonctions composées,hest décroissante sur]-∞; 1] ?Il n"est donc pas nécessaire pour ce cas particulier de déterminer le signe de la dérivée pour connaître les variations de la fonctionh.1.3 Le théorème
Théorème 2 :Soituetvdeux fonctions dérivables respectivement sur les intervalles I et J tel queu(I)?J.Soit la fonctionfdéfinie sur I par :f=v◦u
La fonctionfest dérivable sur I et :f?=u?×v?◦u. Démonstration :Soitaun point de I etxun point de I du voisinage dea. Calculons le taux de variation de la fonctionfena.PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
f(x)-f(a)On poseX=u(x)etA=u(a), on a donc :
f(x)-f(a) x-a=v(X)-v(A)X-A×u(x)-u(a)x-a SurIlafonctionuestcontinuecardérivable,donc limx→aX=limx→au(x) =u(a) =A. Commeuetvsont dérivables respectivement sur I et J, on passe à la limite : limX→Av(X)-v(A)
X-A=v?(A)
lim x→au(x)-u(a)Par produit, on a :
lim x→af(x)-f(a)x-a=u?(a)×v?(A) La fonctionfest dérivable en tout point de I, commeA=u(a), on a alors : f ?=u?×v?◦u.1.4 Applications
Déterminer la dérivée de la fonctionf(x) =cos?x-12x+1?On décompose la fonctionfen :???u(x) =x-1
2x+1 v(x) =cosx La fonctionuest une fonction rationnelle donc dérivable surR-? -1 2?La fonctionvest dérivable surR.
La fonctionfest donc dérivable surR-?
-1 2? . On dérive alors la fonc- tionf: f ?(x) =u?(x)×v?◦u(x) =(2x+1)-2(x-1) (2x+1)2×? -sin?x-12x+1?? -3 (2x+1)2sin?x-12x+1? Soit la fonctionfdéfinie pour toutx?=1 par :f(x) =x2+1x-1 a) Calculer la dérivéef?de la fonctionf. b) En déduire la dérivée des fonctionsgethsuivantes : g(x) =x+1 ⎷x-1eth(x) =x4+1x2-1 a) On dérive la fonctionf:f?(x) =2x(x-1)-(x2+1) (x-1)2=x2-2x-1(x-1)2PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
2. DÉRIVÉES SUCCESSIVES
b) Ondécompose alorslesfonctionsgethàl"aidedelafonctionfet d"une autre fonction élémentaire. g(x) =x+1 ⎷x-1=(⎷ x)2+1⎷x-1eth(x) =x4+1x2-1=(x2)2+1(x2)-1 On pose alors les fonctionsuetvdéfinies par :u(x) =⎷ xetv(x) = x 2On a donc :g=f◦ueth=f◦v
Ensembles de dérivation :
gest dérivable sur]0 ; 1[?]1 ;+∞[ hest dérivable surR-{-1 ; 1} On dérive alors les fonctionsgeth, à l"aide de la composée de fonc- tions : g ?(x) =u?(x)×f?◦u(x) =12⎷x×(⎷
x)2-2⎷x-1 (⎷x-1)2=x-2⎷ x-12⎷x(⎷x-1)2
h ?(x) =v?(x)×f?◦u(x) =2x×(x2)2-2(x2)-1 ((x2)-1)2=2x(x4-2x2-1)(x2-1)22 Dérivées successives
2.1 Définition
Définition 2 :Soit une fonctionfdérivable surD. Sa fonction dérivéef?est appelé dérivée première (ou d"ordre 1) de la fonctionfsurD. dérivée seconde (ou d"ordre 2) de la fonctionf. Par itération, pour tout natureln?2, on définit la fonction dérivéen-ième (ou d"ordren), notéef(n)comme étant la fonction dérivée de la fonction dérivée d"ordre(n-1), soit : f (n)=? f(n-1)?? Exemple :Déterminer les dérivées d"ordre 1, 2 et 3 des fonctions suivantes:f(x) =x3-2x2+x-1
f ?(x) =3x2-4x+1 ,f??(x) =6x-4 ,f(3)(x) =6g(x) =cos2x+sin2x
g ?(x) =-2sin2x+2cos2x,g??(x) =-4cos2x-4sin2x=-4g(x) g (3)(x) =8sin2x-8cos2x=-4g?(x)PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
2. DÉRIVÉES SUCCESSIVES
2.2 Relation de récurrence
Soit la fonctionfdéfinie sur]-1 ;+∞[par :f(x) =ln(x+1) a) Calculer les dérivées d"ordre 1, 2, 3 et 4. En déduire une conjecture quant à la la dérivée d"ordren. b) Démontrer par récurrence cette conjecture. a)f?(x) =1x+1f??(x) =-1(x+1)2f(3)(x) =2(x+1)3 f (4)(x) =-2×3 (x+1)4 On s"aperçoit que les dérivées successives ont alternativementun signe "+», quand l"ordre de la dérivée est impair, et un signe "-», quand l"ordre de la dérivée est pair. La puissance au dénominateur augmente de 1 à chaque fois que l"on dérive. La puissance est liée à l"ordre de la dérivée. Le coefficient du numérateur est quant à lui multiplié, à chaque dérivation, par la puissance du dénominateur. On peut raisonnablement conjecturer que : ?n?N?,f(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n b) Soit la propriétéPn, pourn?1 :f(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)nInitialisation :Pourn=1,f?(x) =1
x+1=(-1)00!(x+1). La propositionP1 est vérifiée. La proposition est initialisée. Hérédité :Soitn?N?, supposons quef(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n, montronsquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] pierre et le loup cm2
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