Fonctions réciproques
Dèfinition 2 (Fonction Bijective) une fonction f est bijective sur un domaine (intervalle) si chaque fois que f (x1) = f (x2) alors x1 = x2. Remarque 1
Université de Nice Année 2007-2008 Département de
La réciproque (ou l'inverse) d'une fonction x ?? f(x) est une fonction x ?? g(x) telle Mais d'apr`es la définition le point (f(x)x) n'est autre que.
2.2 Graphe dune fonction numérique – définition 2.3 Réciproque
Tracé du graphe de la fonction inverse f : x ?. 1 x définie sur Df = R?. 2.3 Réciproque composition des fonctions. Définition 16 (Réciproque).
Fonctions trigonométriques réciproques
Les fonctions sinus cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition
Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque
12 oct. 2017 3 Dérivée de la fonction réciproque ... Définition 1 : Fonction composée de f par g. Soit les fonctions f et g définies respectivement sur ...
II. Fonctions cyclométriques. 1. Introduction 2. La fonction réciproque
2. . 2. (pour que cette restriction soit injective). 5.1 Définition : arcsin : [-1
Analyse 2 FONCTIONS ELEMENTAIRES 1. Dérivée dune fonction
La fonction logarithme. Définition. La fonction logarithme naturel ln :]0?[? R est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. On a donc.
1 Fonction réciproque
Définition 3 (Fonction injective surjective et bijective). Soit f une fonction bijective de D dans E. On appelle fonction réciproque de f
Chapitre 7 Fonctions réciproques et nouvelles fonctions usuelles
q. 7.3 Fonctions hyperboliques. 7.3.1 Fonction sinus cosinus et tangente hyperboliques. Définition 7.18 On définit les
I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien
D'après le paragraphe précédent elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0; +?[. 1. Définition. La fonction logarithme népérien est la bijection
[PDF] Fonctions réciproques
11 1 1 Fonction réciproque – Définition Il arrive souvent que pour une fonction donnée f on a besoin (si c'est possible) d'une autre fonction g telle
[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque
f C I ? L'application qui a tout ( ) y f I ? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f On la note 1
[PDF] Fonctions réciproques
BTS MAI 2 Chap 8 : Fonctions réciproques I Définition Théor`eme 1 : Toute fonction f définie sur un intervalle I continue et strictement monotone sur
[PDF] Fonctions usuelles et réciproques Fiche de cours
L'application réciproque de ln est la fonction exponentielle c'est-à-dire ?x ? R ?y ?]0 +?[ exp(x) = y ?? x = ln y Définition 5 Fonction logarithme
[PDF] La notion de fonction réciproque et son enseignement
Les mathématiciens de la fin du XXè siècle proposent des définitions de la notion de fonction réciproque en liaison avec la notion de bijection
[PDF] Bijection Définition : Fonction réciproque Résumé
Bac Sc expérimentales – Résumé : Fonctions réciproques Définition : "Bijection" Théorème : Définition : "Fonction réciproque" Conséquence :
Fonction réciproque - Vikidia lencyclopédie des 8-13 ans
En analyse la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui à partir du résultat obtenu en
[PDF] Fonction réciproque dune fonction strictement monotone sur un
Soit f : I ?? R une fonction continue et strictement monotone définie sur un intervalle I ? R 63 1 Fonctions réciproques Définition 1 : Soient E
[PDF] 1 Fonctions réciproques
Définition 2 Si f est bijective alors on note f?1 la fonction dite ”réciproque de f” allant de J vers I et définie pour tout y ? J par f?1(y)
Quelle est la fonction réciproque ?
En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.Quelle est la formule de la réciproque ?
La relation réciproque d'une fonction f de X dans Y est la relation notée f-1, de Y dans X, telle que, pour tous les éléments du domaine de f, si y = f(x), alors x = f -1(y).Comment déterminer l'expression de la fonction réciproque ?
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f ? 1 f^{-1} f?1f, start superscript, minus, 1, end superscript.- La propriété réciproque est l'énoncé obtenue en inversant les propositions 1 et 2 d'une propriété directe. Elle doit être vraie et démontrée. de la propriété réciproque. si la proposition 2 de la propriété n'est pas vérifiée alors la proposition 1 n'est pas vérifiée.
Analyse 2
FONCTIONS ELEMENTAIRES
1. Derivee d'une fonction reciproque
Theoreme.SoientIun intervalle deRetf:I!Rune fonction continue et strictement monotone. Alors (i)J=f(I)est un intervalle; (ii)fadmet une fonction reciproqueg:J!I; (iii)gest continue. Theoreme.Soitf:I!Rune fonction derivable avecf0>0surI(ouf0<0 surI). Alors (i)fadmet une fonction reciproqueg:J=f(I)!I; (ii)gest derivable; (iii) pour touty=f(x)dansJ,g0(y) = 1=f0(x). Notation pratique.On ecrity=f(x), puisdy=f0(x)dx. D'oug0(y) =dx=dy=1=f0(x). Il faut enn remplacerxparg(y).
2. La fonction exponentielle
Theoreme (admis).Il existe une et une seule fonction derivablef:R!Rqui satisfaitf0(x) =f(x)etf(0) = 1. Denition.Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et elle est notee f(x) = expx=ex. Proposition.La solution def0(x) =kf(x)etf(0) =y0esty=y0exp(kx). Theoreme.Pour touta;b2R, on aexp(a+b) = (expa)(expb).Corollaire.Pour toutx2R, on aexpx >0.
Theoreme.Pour toutn2N, on a
(i) expxx n!+1quandx!+1; (ii)xnexpx!0quandx! 1. Theoreme.La fonction exponentielle est indeniment derivable, strictement croissante et son image est l'intervalle]0;+1[. Denition.Etant donnea= expb >0, on denit la fonction exponentielle de baseaparax= exp(bx).Theoreme.Etant donnesa >0etx;y2R, on a(ax)y=axy.
3. La fonction logarithme
Denition.La fonction logarithme naturelln :]0;1[!Rest la fonction reciproque de la fonction exponentielle.On a donc
x= ln(y) y >0,y= expx x2R Theoreme.La fonction logarithme naturel est la primitive de1=xsur l'intervalle ]0;1[qui est nulle en1.Theoreme.Pour touta;b >0, on aln(ab) = lna+ lnb.
Theoreme.On a :
(i)limx!+1lnx= +1;limx!0+lnx=1; (ii) pour toutn >0,lnxx n!0quandx!+1. Denition.Soita >0. La fonction logarithme de basealoga:]0;1[!Rest la fonction reciproque de la fonction exponentielle de basea.On a donc
x= loga(y) y >0,y=ax x2RProposition.Soita >0. On a :
(i)loga(x) =lnxlna;loga(a) = 1; (ii)ln(ax) =x(lna)pour toutx2R.4. Les fonctions trigonometriques
SoitS=f(x;y)2R2:x2+y2= 1gle cercle unite du planR2avec son orientation trigonometrique. La position d'un pointPse deplacant sur ce cercle peut ^etre denie par son abscisse curviligne, c'est-a-dire la longueur orientee de l'arcAPdu cercle, ouA= (1;0). On identie cette abscisse curviligne a l'angledeOAaOP.Par denition, la longueur du cercle est 2.
Denition.Soit2R. On denitcosetsincomme l'abscisse et l'ordonnee du pointPdu cercleSdeni par l'angle. Pour6=2 +k, on posetan=sincos. Theoreme.Les fonctionscosetsinainsi denies verient : (i) elles sont periodiques de periode2; (ii)cosest paire etsinest impaire; (iii)cos2+ sin2= 1.Theoreme.Soienta;b2R. On a :
(i)cos(a+b) = cosacosbsinasinb; sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa; 2 (ii)tan(a+b) =tana+tanb1tanatanb.Lemme.Quand!0,sin
!1. Theoreme.Les fonctionscosetsinsont derivables surRet on acos0=sinet sin0=cos. La fonctiontanest derivable sur les intervalles]2
+k;2 + (k+ 1)[ ettan0= 1 + tan2= 1=cos2.Proposition.On aacosx+bsinx=Asin(x+')ouA=pa
2+b2et'est
l'angle du point(b=A;a=A)deS.5. Les fonctions reciproques des fonctions trigonometriques
Denition.La fonctionarcsin : [1;1]![2
;2 ]est la fonction reciproque de la restriction de la fonctionsina l'intervalle[2 ;2On a donc
x= arcsin(y) y2[1;1],y= sinx x2[2 ;2 Proposition.La fonctionarcsinest derivable sur]1;1[et (arcsin)0(x) =1p1x2:
Denition.La fonctionarccos : [1;1]![0;]est la fonction reciproque de la restriction de la fonctioncosa l'intervalle[0;].On a donc
x= arccos(y) y2[1;1],y= cosx x2[0;] Proposition.La fonctionarccosest derivable sur]1;1[et (arccos)0(x) =1p1x2:
Denition.La fonctionarctan :R!]2
;2 [est la fonction reciproque de la restriction de la fonctiontana l'intervalle]2 ;2On a donc
x= arctan(y) y2R,y= tanx x2]2 ;2 3Proposition.La fonctionarctanest derivable surRet
(arctan)0(x) =11 +x2:
6. Les fonctions hyperboliques et leurs fonctions reciproques
Denition.On denit le cosinus, le sinus et la tangente hyperboliques par coshx=ex+ex2 ; sinhx=exex2 ; tanhx=exexe x+ex: Theoreme.Les fonctionscosh,sinhettanhainsi denies verient : (i)coshest paire,sinhettanhsont impaires; (iii)cosh2xsinh2x= 1et1tanh2x= 1=cosh2x; (iv)cosh0= sinh,sinh0= coshettanh0= 1tanh2. Denition.La fonctionargsinh:R!Rest la fonction reciproque de la fonction sinh.On a doncx=argsinh(y),y= sinhx:
Proposition.
(i)(argsinh)0(x) = 1=px 2+ 1; (ii)argsinhx= ln(x+px2+ 1).
Denition.La fonctionargcosh: [1;+1[![0;+1[est la fonction reciproque de la restriction de la fonctioncosha l'intervalle[0;+1[.On a donc
x=argcosh(y) y2[1;+1[,y= coshx x2[0;+1[Proposition.
(i)(argcosh)0(x) = 1=px 21;(ii)argcoshx= ln(x+px 21).
Denition.La fonctionargtanh:R!]1;1[est la fonction reciproque de la fonctiontanh.
On a donc
x=argtanh(y) y2]1;1[,y= tanhx x2RProposition.
(i)(argtanh)0(x) =11x2; (ii)argtanhx=12 ln1+x1x. 4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] pierre et le loup cm2
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