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Divisibilite - Arithmetique

Specialite Maths terminale S : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

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Demontrer que la somme de trois entiers consecutifs est divisible par 3.Demonstration des proprietes du cours

a,b,csont trois entiers relatifs non nuls. Demontrer les proprietes suivantes :

1) Siadivisebetbdivisecalorsadivisec.

2) Siadivisebetbdiviseaalorsaetbsont egaux ou opposes.

3) Sicdiviseaetbalors pour tous entiers relatifsuetv,cdiviseau+bv.8 divisen21?

1) Demontrer que le produit de deux entiers consecutifs est pair.

2) Demontrer que lorsquenest un entier impair, 8 divisen21.Avec la contraposee

Soitnun entier naturel. Demontrer que sin2est pair alorsnest pair.Un classique

Montrer que si l'on soustrait a un entier naturel strictement inferieur a 100, la somme de ses chires,

alors le resultat est toujours divisible par 9.Fraction est irreductible

Soitnun entier naturel.

1. Mon trerque si un en tiernaturel ddivise 12n+ 7 et 3n+ 1 alors il divise 3. 2.

En d eduireq uela fraction

12n+ 73n+ 1est irreductible.Deteminer toutes les valeurs de l'entier relatifntelles que10n43n+ 1soit un entier relatif.Le nombrendesigne un entier naturel.

1. Demontrer quen+ 1 divisen2+ 5n+ 4 etn2+ 3n+ 2.

2. Determiner l'ensemble des valeurs denpour lesquelles 3n2+ 15n+ 19 est divisible parn+ 1.

3. En deduire que, quel que soitn, 3n2+ 15n+ 19 n'est pas divisible parn2+ 3n+ 2.Divisibilite dea+b- les dierents cas possiblesa,bsont des entiers relatifs.cest un entier relatif non nul.

Rappel: Sicdiviseaetbalorscdivise8

:a+b et ab Que peut-on dire des armations suivantes. Justier par un raisonnement.

1) Sicdiviseamais pasb, alorscne divise pasa+b

2) Sicne divise nia, nibalorscne divise pasa+b.

3) 3 ne divise pas 3n+ 1 ounest un entier naturel.Resoudre une equation dansN

1.

Donner la liste des diviseurs de 20 dans N.

2. En d eduiretou sles couples ( x;y) d'entiers naturels solutions de l'equation :

4x2y2= 20Divisibilite et combinaisons lineaires

Pour quelles valeurs de l'entier naturelna-t-onn+ 8 divisible parn? 1

Recurrence et arithmetique

Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 32n1 est un multiple de 8.Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 7n1 est divisible par 6.Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 4n+ 15n1 est divisible par 9.SoitP(n) la propriete denie surNpar :

4 n+ 1 est divisible par 3

1) Demontrer que siP(n) est vraie alorsP(n+ 1) est vraie.

2) Que peut-on conclure?Erreur classique dans les recurrences

Pour tout entier natureln, on considere les deux proprietes suivantes : P n: 10n1 est divisible par 9 Q n: 10n+ 1 est divisible par 9

1) Demontrer que siPnest vraie alorsPn+1est vraie.

2) Demontrer que siQnest vraie alorsQn+1est vraie.

3) Un eleve arme : " DoncPnetQnsont vraies pour tout entier natureln.

Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.

4) Demontrer quePnest vraie pour tout entier natureln.

5) Demontrer queQnest fausse pour tout entier natureln.

On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.Divisibilite : une equation de Pell-Fermat On considere l'equation (E) :a22b2= 1 et (a;b) un couple d'entiers solution de cette equation. 1. (a)

Mon trerque aest impair.

(b)

Mon trerque best pair.

2.

Mon trerque aetbsont premiers entre eux.

3. Mon trerque le couple (3 a+ 4b; 2a+ 3b) est aussi un couple solution de l'equation (E). 4. A l'aide d'un esolution evidente,trouv erun couple solution a vecdes en tierssup erieurs a100. 5.

Ecrire un algorithme en langage natur elp ermettantde trouv erun couple solution a vecdes en tierssup erieurs aun s euil

xe a l'avance.2quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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